专题02 函数概念与基本初等函数（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知函数 若存在最小值，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】 当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知函数 若的值域为,则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【详解】 根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意列不等式组即可求得. 【详解】 要使函数有意义， 只需 解得：且， 从而的定义域为. 故答案为： 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）函数的定义域为　　　　　　. 【答案】 【分析】由被开方数不小于0,得出关于的对数不等式,求出的范围,即是定义域. 【详解】由, 所以函数的定义域是. 故答案为:. 【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题. 5．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 定义域是两个函数定义域的交集. 【详解】 因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】 对于函数，有 ，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 7．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0，根式内表达式大于等于0，两者的交集即为函数的定义域． 【详解】 ， ，解得． 故答案为：． 8．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）函数的定义域是　　　　　　． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，解得 ，所以函数的定义域是，故答案为. 9．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分别考虑根式和对数函数的定义域要求，然后取它们的交集即可. 【详解】 由题意得 ，解得. 故答案为：. 10．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）函数的定义域为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用对数和偶次根式有意义的条件限制列不等式，计算即得结果． 【详解】 依题意知，函数有意义，则需 ，解得，故定义域为． 故答案为：． 11．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）函数的定义域是　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用对数函数和二次根式的性质建立不等式组，求解参数即可. 【详解】 由题意得 ，解得. 故答案为： 12．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设函数 ①若，则的最小值为　　　　　　　　　　； ②若有最小值，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 对① ，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对② ，由指数函数在开区间内没有最小值，可得最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得. 【详解】 ① 当时， ， 则当时，， 当时，， 故的最小值为； ② 由 ，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于， 则当且时，有，符合要求； 当时，，故不符合要求，故舍去. 综上所述，. 故答案为：； 13．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）设函数 若存在点在函数的图象上，则的一个取值为　　　　　　，的最小值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可. 【详解】 当时，将点代入， 得到，解得，则的一个取值为， 当时，满足，则， 由题意得此方程在上有解，得到，解得， 则的最小值为. 故答案为：1；0 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象(     ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 【答案】A 【分析】 由题可得：,利用图像平移的规则求解即可. 【详解】 由题可得：,所以只需将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 故选：A 2．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过图象变换得到和的函数表达式，再根据重合条件逐一验证选项. 【详解】 根据图象变换规则，甲得到的对应的函数为，乙得到的对应的函数为. 因为与重合，故. 选项A，，则，， 两者不相等，排除. 选项B，，则，， 两者不相等，排除. 选项C，，则，， 两者不相等，排除. 选项D，，则，， 两者相等，符合条件. 故选：D 3．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ） A. 是偶函数 B.  C. 是奇函数 D.  【答案】B 【分析】 根据三角函数图象变换的知识求得，结合导数确定正确答案. 【详解】 函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数，则是奇函数，A选项错误. ，B选项正确. 为偶函数，C选项错误. ，D选项错误. 故选：B 4．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数奇偶性排除AB，再利用函数单调性或是极限值即可排除D. 【详解】 ，定义域为，关于原点对称， 当时，则，且，显然图中没有符合的， 当时， ，其既不恒等于， 也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误； 当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合， 则只考虑的情况， 当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误， 从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误. 故选：C. 5．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）为了得到的图象，只需把图象上所有点（       ） A. 纵坐标变成原来的2倍，再向右平移3个单位 B. 纵坐标变成原来的2倍，再向左平移3个单位 C. 纵坐标变成原来的，再向右平移3个单位 D. 纵坐标变成原来的，再向左平移3个单位 【答案】C 【分析】 先对进行化简，再利用对数函数图像的变换规律进行分析即可. 【详解】 ，将图像上所有点的纵坐标变成原来的，就得到， 再将的图像向右平移个单位就得到. 故选：. 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）若函数的导函数在区间（0,1）上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（       ） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【分析】 观察所给函数图象的切线斜率是否关于对称即可. 【详解】 由题可知，函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，即函数图象切线的斜率关于对称. 对于① ：在处与处的切线斜率符号不同(即导数不同)，因此并不关于对称，① 不符题意； 对于② ：的切线斜率从逐渐减小，并不关于对称，② 不符题意； 对于③ ：在处的斜率（即导数）均相同，关于对称，③ 符合题意； 对于④ ：的图像可能有一对称中心,即,两边求导得，,得,关于轴对称，④ 符合题意. 故选：C. 7．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意利用点代入法得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】 因为函数经过点，得，所以， 根据题意可知，的最大值为图象上的点到直线的最大距离的两倍， 设直线与函数相切， 联立 ，消去，得， 则由，解得， 则直线与直线间的距离为， 故的最大值为. 故答案为：. 考点03 函数的基本性质 1．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断. 【详解】 是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的； 是偶函数，所以选项B是错误的； 既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的； 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的； 故选：D. 2．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】 A：设，定义域为全体实数， ，所以该函数是奇函数，不符合题意； B：设，定义域为，显然不是实数集，不符合题意； C：设，定义域为全体实数， ，所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：令，定义域为全体实数， ，所以该函数是偶函数，符合题意， 故选：D 3．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答. 【详解】 对于A，函数定义域是，不是偶函数，A错误； 对于B，当时，函数在上单调递减，B错误. 对于C，函数在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R，， 故是偶函数， 当时，在上单调递增，D正确； 故选：D 4．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D. 【详解】 对A，二次函数的对称轴为， 不是偶函数，故A错误； 对B，函数的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误； 对C，， 定义域为，所以函数是偶函数， 结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误； 对D，，定义域为， 所以函数是偶函数，因为，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值，故D正确. 故选：D 5．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）下列函数中，在区间上为减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角函数，指数函数和对数函数的性质，即可判断选项. 【详解】 A，根据正弦函数的性质可知，，所以在上为增函数，故A错误； B，是偶函数，关于轴对称，，所以在上是增函数，在上是减函数，故B错误； C，的定义域是，函数是区间上是增函数，故C错误； D，根据指数函数的性质可知，在区间上是减函数，故D正确. 故选：D 6．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 当时，此时为开口向上的二次函数，其对称轴为. 由题意知： ，解得. 故选：C. 7．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 用定义分别判断每个函数的奇偶性，求导判断单调性，得到答案. 【详解】 A选项，定义域关于原点对称，，所以是奇函数， 但是在和上分别单调递减，在定义域内不是减函数， 如，A错误， B选项，由得，所以定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误； C选项，定义域为关于原点对称，是奇函数， ，所以是上的减函数，C正确； D选项，由得，所以定义域是关于原点对称， ，所以是偶函数，D错误. 故选：C. 8．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据奇函数定义、在上递减逐项判断可得答案. 【详解】 对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，在开区间上单调递减，故A不正确； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以为奇函数，且在上单调递减，故C正确； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 由于在上单调递增， 所以在上单调递增，故D错误, 故选：C. 9．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先判断的奇偶性和值域，再逐项验证即可. 【详解】 由为奇函数且值域为， 对于A，为非奇非偶函数，故A错误， 对于B，令，可知定义域为，， 所以为奇函数，当，当，所以，故B正确； 对于C，令，的定义域为，， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，由，所以为偶函数，故D错误. 故选：B. 10．（25-26学年高三上·北京通州·期中）下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据奇函数的判定方法及函数在上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】 对于A，，定义域为，，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，定义域为，， 所以为奇函数，又和都为上的增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数是奇函数，但在上不是单调函数，故C错误； 对于D，，定义域为， 因为，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故D错误. 故选：B 11．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）函数（       ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】 先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】 因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 12．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知函数和在实数集上的图象均为一条连续不断的曲线，且满足：、，都有． 命题若函数在实数集上单调递增，则函数不是减函数； 命题若函数在实数集上无最大值，则函数无最大值． 则下列判断正确的是（     ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】 利用函数单调性的定义结合绝对值不等式的性质可判断命题；取，，利用函数、的单调性可判断命题. 【详解】 对于命题，设，因为是上的增函数，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，故函数不是减函数，故命题为真命题； 对于命题，不妨取，，这两个函数的定义域均为， 令，则， 令，则， 所以函数、在上均为增函数， 任取、且，则，， 即 ，且， 所以，， 故，满足题设条件， 函数在实数集上无最大值，但函数在实数集上有最大值，命题为假命题. 故选：C. 13．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知 的最小值为，则的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据基本不等式、换元法、指数函数、二次函数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】 易错点睛： 忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误. 二次函数分析错误：在时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在上是减函数. 14．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象关于原点中心对称； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数极值点个数为3． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　． 【答案】② ③ 【分析】 对① ，由函数奇偶性定义判断；对② ，判断函数零点的存在性；对③ ，由的符号判断；对④ ，分别在和寻求函数的极值点，再结合偶函数性质判断. 【详解】 对于① ：定义域为，对，， 所以是偶函数，关于轴对称，① 错误； 对于② ：令，， 由零点存在性定理，，，即，② 正确； 对于③ ：令，因为， 所以当时，， 即函数的图象在函数的图象上方； 当时，， 即函数的图象在函数的图象下方； 所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③ 正确； 对于④ ：，令， 当时， 因为， 所以在单调递增，又， 所以，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值，是一个极小值点. 当时，， 所以在单调递减，又， 所以，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，是一个极大值点. 又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点， 所以函数至少有个极值点，④ 错误； 故答案为：② ③. 15．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　. 【答案】② ④ 【分析】 借助复合函数单调性及指数函数单调性判断可得① ；构造符合要求的函数可得② ；利用偶函数定义判断可得③ ；构造符合要求的函数可得④. 【详解】 对① ：若在上单调递增，由也在上单调递增， 则也在上单调递增，故也在上单调递增， 又在上单调递减，故不能恒成立，故① 错误； 对② ：例如，该函数在上单调递减， 有恒成立，故② 正确； 对③ ：令，则， 又定义域为，故为偶函数， 由为奇函数， 故不存在函数，使得恒成立，故③ 错误； 对④ ：令，其中为任意偶函数， 则 ， 由偶函数可有无数种选择，故存在无穷多个，故④ 正确. 故答案为：② ④. 16．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是　　　　　　　　； ①存在使得恒成立； ②使得恒成立的存在且唯一； ③使得恒成立的存在且唯一； ④满足当时，恒成立的有无穷多个． 【答案】② ③ ④ 【分析】 ① 由题可得为奇函数，为偶函数即可判断；对于② 首先解出，令，即可解得；对于③ 由题可得 ，解方程即可求解；对于④ 构造函数 ，即可判断. 【详解】 对于① ，由于为定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，由于为偶函数， 所以不存在使得恒成立，故① 不正确； 对于② ，由于对任意都成立， 令，则，解得：， 因为为偶函数，所以，令，得， 则，解得：， 所以使得恒成立的存在且唯一，故② 正确； 对于③ ，由于，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以 ，解得，， 所以使得恒成立的存在且唯一，则③ 正确； 对于④ ，由，可得，构造函数 ， 所以满足，，由于可以取任意非零实数， 所以满足当时，恒成立的有无穷多个，故④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指对数函数性质判断大小关系即可. 【详解】 由，即. 故选：A 2．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加8小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 由条件列方程求，再求对应条件下的时间增加量即可. 【详解】 由题意得， 所以，所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时， 训练时间增加为（小时）. 故选：A. 3．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（       ）（参考数据：，） A. 0.2小时 B. 0.5小时 C. 0.8小时 D. 2小时 【答案】B 【分析】 根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值. 【详解】 由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ，  因此， 则小时. 4．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月，分解率为，经过24个月，分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（     ）参考数据： A. 36个月 B. 40个月 C. 47个月 D. 64个月 【答案】B 【分析】 根据已知条件，利用待定系数法求出a，b的值，可得，结合对数的运算性质，即可求出t的近似值． 【详解】 依题意有 解得，，故， 令，得， 故. 故选：B 5．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】 由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：，其中自变量L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数.已知在某企业中，，且时，时，则当时，对应的约为（     ） 参考数据：，，，， A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数模型代入所给数据可得，利用换底公式计算可得，可求出结果. 【详解】 由可得表达式为， 代入数据可得 ，解得； 当时，可得，所以， 即，因此，所以可得， 因此，可得， 即，即； 根据参考数据，可得约为. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于利用所给函数模型求出对应参数，再利用对数运算法则以及换底公式即可求出结果. 7．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数和幂函数的单调性，可比较的大小，再根据中间量，可判断的大小. 【详解】 因为指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递减，，所以， 又， 所以. 又，所以. 故选：B 8．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）教室常常通风，有利于改善高三学习环境. 若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（   ）分钟.（参考数据） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据时求出参数，然后根据题意列出不等式求解即可. 【详解】 由题知，当时，即，解得，所以， 令得， 所以要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风分钟. 故选：C 9．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（       ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【分析】 由题意得出，然后两边取以10为底的对数，再对比参考数据可得出. 【详解】 由题意知，， 即，， 而，，，， ，， 正整数的值为14. 故选：B. 10．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在（     ）年首次突破PF．（参考数据：，）（     ） A. 2032 B. 2033 C. 2034 D. 2035 【答案】D 【分析】 先从2025年开始，经过n年DeepSeek的算力首次突破PF，再由题意列不等式结合对数运算性质即可计算求解. 【详解】 设从2025年开始，经过n年DeepSeek的算力首次突破PF， 则由题， 所以. 故DeepSeek的算力将在年首次突破PF. 故选：D 11．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性一一判断即可. 【详解】 对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为在定义域上单调递减，所以， 所以， 又，， 所以，故D正确. 故选：D 12．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若距离由变到时，光功率由变到，则（     ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】B 【分析】 由指数函数模型代入数据计算即可. 【详解】 由题意可得：，也即，得, ，， 两式相除可得：, 两边同时取对数可得：, 所以，则它们的比值不会是固定值. 故选：B 13．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（       ） A. 5 B. 6 C.  D.  【答案】C 【分析】 由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得 ，化简即可求解. 【详解】 由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以 ，则，解得， 故选：C 14．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由指数函数单调性得到，由正弦函数单调性得到，再结合对数运算得到，解求解. 【详解】 ， 由在上单调递增，可得：， 由指数函数的单调性可得：， 所以， 故选：A 15．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可 【详解】 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 故选：B 16．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过　　　　　　天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：，） 【答案】54 【分析】 设每天的增长率为，得到，求得，设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只，得到，结合对数的运算，即可求解． 【详解】 由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍， 设每天的增长率为，则有，解得， 设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只， 则有，所以，即， 故，所以， 故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只． 故答案为：54． 考点05 函数与方程 1．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 易得函数在上单调递增，结合，，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】 由，则，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， ， 则函数有且仅有一个零点，且，则. 故选：C 2．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知函数 ，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为． 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 分，， ，四种情况作出函数的简图，然后对四个结论逐一判断正误. 【详解】 对于① ：当时，显然，当时，无零点； 当时，由可得，所以的零点是0. 故① 正确； 对于② ：当时，简图如下： 当时，简图如下： 当时，简图如下： 当时，简图如下： 由图可知，若无最小值，则或. 故② 错误； 对于③ ：若存在实数，使得对任意的，都有， 由图可知或，此时存在使得恒成立，则的最小值为，故③ 正确； 对于④ ：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根. 不妨设三个根由小到大依次为，，，显然. 由得，故，且， 所以，故，从而. 故④ 正确. 故答案为：① ③ ④. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是：分，， ，四种情况作出函数的简图. 考点06 函数的新定义 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数 是“阶准偶函数”，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案. 【详解】 解：根据题意，函数 是“阶准偶函数”， 则集合中恰有个元素. 当时，函数 有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾， 当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即； 当时，函数 ，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】 本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题. 2．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设 ，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【详解】 依题意， ， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ① 当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ② 当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③ 当时，没有意义，所以不是的实数根． ④ 当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有 ，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 故选：A 【点睛】 思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 3．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若 ，则； ④若 ，则都有． 其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 对于① ② ③ ，先根据新定义写出的等式，再结合函数的具体表达式，通过解方程判断解集，从而确定结论的正误；对于④ ，利用数形结合的方法，作出相关图象分析即可确定结论的正误. 【详解】 对于① ，已知，，则，所以，解得，即，所以① 正确； 对于② ，已知，，则，所以，解得，即，所以② 正确； 对于③ ，已知 ，，当时，若，即，有，所以，无解， 若，即，有，所以，解得； 当时，，则，所以，无解.综上，，所以③ 错误； 对于④ ，已知 ，作图如下，将的图象左移个单位，即可得的图象， 则当时，总有使得，此时，所以④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 4．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 根据的取值范围，分别求出，的值，判断① ；作出函数与函数的图像，即可判断② ；对的取值分类讨论，即可判断③ ；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④ ． 【详解】 对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：① ② ④. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数概念与基本初等函数 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．A 2．B 3．【答案】 【分析】 由题意列不等式组即可求得. 【详解】 要使函数有意义， 只需 解得：且， 从而的定义域为. 故答案为： 4．【答案】 【分析】由被开方数不小于0,得出关于的对数不等式,求出的范围,即是定义域. 【详解】由, 所以函数的定义域是. 故答案为:. 【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题. 5．【答案】 【分析】 定义域是两个函数定义域的交集. 【详解】 因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】 对于函数，有 ，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 7．【答案】 【分析】 利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0，根式内表达式大于等于0，两者的交集即为函数的定义域． 【详解】 ， ，解得． 故答案为：． 8．【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，解得 ，所以函数的定义域是，故答案为. 9．【答案】 【分析】 分别考虑根式和对数函数的定义域要求，然后取它们的交集即可. 【详解】 由题意得 ，解得. 故答案为：. 10．【答案】 【分析】 利用对数和偶次根式有意义的条件限制列不等式，计算即得结果． 【详解】 依题意知，函数有意义，则需 ，解得，故定义域为． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 利用对数函数和二次根式的性质建立不等式组，求解参数即可. 【详解】 由题意得 ，解得. 故答案为： 12．【答案】①     ② 【分析】 对① ，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对② ，由指数函数在开区间内没有最小值，可得最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得. 【详解】 ① 当时， ， 则当时，， 当时，， 故的最小值为； ② 由 ，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于， 则当且时，有，符合要求； 当时，，故不符合要求，故舍去. 综上所述，. 故答案为：； 13．【答案】①     ② 【分析】 利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可. 【详解】 当时，将点代入， 得到，解得，则的一个取值为， 当时，满足，则， 由题意得此方程在上有解，得到，解得， 则的最小值为. 故答案为：1；0 考点02 函数的图象 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．【答案】 【分析】 根据题意利用点代入法得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】 因为函数经过点，得，所以， 根据题意可知，的最大值为图象上的点到直线的最大距离的两倍， 设直线与函数相切， 联立 ，消去，得， 则由，解得， 则直线与直线间的距离为， 故的最大值为. 故答案为：. 考点03 函数的基本性质 1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．B 12．C 13．【答案】 【分析】 根据基本不等式、换元法、指数函数、二次函数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】 易错点睛： 忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误. 二次函数分析错误：在时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在上是减函数. 14．【答案】② ③ 【分析】 对① ，由函数奇偶性定义判断；对② ，判断函数零点的存在性；对③ ，由的符号判断；对④ ，分别在和寻求函数的极值点，再结合偶函数性质判断. 【详解】 对于① ：定义域为，对，， 所以是偶函数，关于轴对称，① 错误； 对于② ：令，， 由零点存在性定理，，，即，② 正确； 对于③ ：令，因为， 所以当时，， 即函数的图象在函数的图象上方； 当时，， 即函数的图象在函数的图象下方； 所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③ 正确； 对于④ ：，令， 当时， 因为， 所以在单调递增，又， 所以，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值，是一个极小值点. 当时，， 所以在单调递减，又， 所以，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，是一个极大值点. 又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点， 所以函数至少有个极值点，④ 错误； 故答案为：② ③. 15．【答案】② ④ 【分析】 借助复合函数单调性及指数函数单调性判断可得① ；构造符合要求的函数可得② ；利用偶函数定义判断可得③ ；构造符合要求的函数可得④. 【详解】 对① ：若在上单调递增，由也在上单调递增， 则也在上单调递增，故也在上单调递增， 又在上单调递减，故不能恒成立，故① 错误； 对② ：例如，该函数在上单调递减， 有恒成立，故② 正确； 对③ ：令，则， 又定义域为，故为偶函数， 由为奇函数， 故不存在函数，使得恒成立，故③ 错误； 对④ ：令，其中为任意偶函数， 则 ， 由偶函数可有无数种选择，故存在无穷多个，故④ 正确. 故答案为：② ④. 16．【答案】② ③ ④ 【分析】 ① 由题可得为奇函数，为偶函数即可判断；对于② 首先解出，令，即可解得；对于③ 由题可得 ，解方程即可求解；对于④ 构造函数 ，即可判断. 【详解】 对于① ，由于为定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，由于为偶函数， 所以不存在使得恒成立，故① 不正确； 对于② ，由于对任意都成立， 令，则，解得：， 因为为偶函数，所以，令，得， 则，解得：， 所以使得恒成立的存在且唯一，故② 正确； 对于③ ，由于，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以 ，解得，， 所以使得恒成立的存在且唯一，则③ 正确； 对于④ ，由，可得，构造函数 ， 所以满足，，由于可以取任意非零实数， 所以满足当时，恒成立的有无穷多个，故④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 考点04 指、对、幂函数 1．A 2．A 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 9．B 10．D 11．D 12．B 13．C 14．A 15．B 16．【答案】54 【分析】 设每天的增长率为，得到，求得，设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只，得到，结合对数的运算，即可求解． 【详解】 由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍， 设每天的增长率为，则有，解得， 设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只， 则有，所以，即， 故，所以， 故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只． 故答案为：54． 考点05 函数与方程 1．C 2．【答案】① ③ ④ 【分析】 分，， ，四种情况作出函数的简图，然后对四个结论逐一判断正误. 【详解】 对于① ：当时，显然，当时，无零点； 当时，由可得，所以的零点是0. 故① 正确； 对于② ：当时，简图如下： 当时，简图如下： 当时，简图如下： 当时，简图如下： 由图可知，若无最小值，则或. 故② 错误； 对于③ ：若存在实数，使得对任意的，都有， 由图可知或，此时存在使得恒成立，则的最小值为，故③ 正确； 对于④ ：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根. 不妨设三个根由小到大依次为，，，显然. 由得，故，且， 所以，故，从而. 故④ 正确. 故答案为：① ③ ④. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是：分，， ，四种情况作出函数的简图. 考点06 函数的新定义 1．B 2．A 3．【答案】① ② ④ 【分析】 对于① ② ③ ，先根据新定义写出的等式，再结合函数的具体表达式，通过解方程判断解集，从而确定结论的正误；对于④ ，利用数形结合的方法，作出相关图象分析即可确定结论的正误. 【详解】 对于① ，已知，，则，所以，解得，即，所以① 正确； 对于② ，已知，，则，所以，解得，即，所以② 正确； 对于③ ，已知 ，，当时，若，即，有，所以，无解， 若，即，有，所以，解得； 当时，，则，所以，无解.综上，，所以③ 错误； 对于④ ，已知 ，作图如下，将的图象左移个单位，即可得的图象， 则当时，总有使得，此时，所以④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 4．【答案】① ② ④ 【分析】 根据的取值范围，分别求出，的值，判断① ；作出函数与函数的图像，即可判断② ；对的取值分类讨论，即可判断③ ；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④ ． 【详解】 对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：① ② ④. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知函数 若存在最小值，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知函数 若的值域为,则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　. 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）函数的定义域为　　　　　　. 5．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）函数的定义域是　　　　　　． 9．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）函数的定义域为　　　　　. 11．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）函数的定义域是　　　　　　． 12．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设函数 ①若，则的最小值为　　　　　　　　　　； ②若有最小值，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）设函数 若存在点在函数的图象上，则的一个取值为　　　　　　，的最小值为　　　　　　． 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象(     ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 2．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ） A. 是偶函数 B.  C. 是奇函数 D.  4．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）为了得到的图象，只需把图象上所有点（       ） A. 纵坐标变成原来的2倍，再向右平移3个单位 B. 纵坐标变成原来的2倍，再向左平移3个单位 C. 纵坐标变成原来的，再向右平移3个单位 D. 纵坐标变成原来的，再向左平移3个单位 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）若函数的导函数在区间（0,1）上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（       ） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 7．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为　　　　　　　　　　. 考点03 函数的基本性质 1．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）下列函数中，在区间上为减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·北京通州·期中）下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）函数（       ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 12．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知函数和在实数集上的图象均为一条连续不断的曲线，且满足：、，都有． 命题若函数在实数集上单调递增，则函数不是减函数； 命题若函数在实数集上无最大值，则函数无最大值． 则下列判断正确的是（     ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 13．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知 的最小值为，则的取值范围为　　　　　　　． 14．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象关于原点中心对称； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数极值点个数为3． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　． 15．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　. 16．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是　　　　　　　　； ①存在使得恒成立； ②使得恒成立的存在且唯一； ③使得恒成立的存在且唯一； ④满足当时，恒成立的有无穷多个． 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加8小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（       ）（参考数据：，） A. 0.2小时 B. 0.5小时 C. 0.8小时 D. 2小时 4．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月，分解率为，经过24个月，分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（     ）参考数据： A. 36个月 B. 40个月 C. 47个月 D. 64个月 5．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：，其中自变量L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数.已知在某企业中，，且时，时，则当时，对应的约为（     ） 参考数据：，，，， A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）教室常常通风，有利于改善高三学习环境. 若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（   ）分钟.（参考数据） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（       ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在（     ）年首次突破PF．（参考数据：，）（     ） A. 2032 B. 2033 C. 2034 D. 2035 11．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若距离由变到时，光功率由变到，则（     ） A.  B. 4 C.  D.  13．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（       ） A. 5 B. 6 C.  D.  14．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过　　　　　　天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：，） 考点05 函数与方程 1．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知函数 ，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为． 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　． 考点06 函数的新定义 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数 是“阶准偶函数”，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设 ，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若 ，则； ④若 ，则都有． 其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $