专题08 平面解析几何（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题08 平面解析几何 5大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点01 直线与圆 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知直线，点和点，若，则实数的值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】B 【详解】求出直线的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数的值. 【详解】 ，由于，则直线的斜率为 即， 故选：B 2．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知圆截直线所得弦的长度为1，那么k的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求得结果. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 由得，得， 又因为，所以. 故选：D 3．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用垂径定理直接求解即可. 【详解】 由题意知：坐标原点到直线的距离； 圆的圆心为，半径，被圆截得的弦长为. 故选：D. 4．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）直线与圆（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 位置关系不确定 【答案】C 【分析】 求出直线所过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可. 【详解】 圆的圆心的坐标为，半径， 直线，由 ，解得 ， 即直线过定点，由， 则位于圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：C 5．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为. 【详解】为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 6．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）在平面直角坐标系中，圆，直线和点. （1）求圆心到直线的距离； （2）动点在圆上， ①求的最大值与最小值； ②求的取值范围.（直接写出答案） 【答案】（1）；     （2）① 最大值8，最小值2；②.      【分析】 （1）将圆方程化为标准式得圆心坐标，用点到直线距离公式求距离； （2）① 计算点到圆心的距离，结合圆的半径得的最值； ②设目标式为，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离不超过半径求范围. (1) 小问详解： 圆的方程配方得，圆心，半径. 圆心到直线的距离. (2) 小问详解： ① 点到圆心的距离. 的最大值为，最小值为. ②设，直线与圆有交点， 圆心到直线的距离不超过半径，即. 解得，即的取值范围为. 7．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）圆与直线相切于点，则圆的半径为　　　　　　　　　　，直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 ① 根据点在圆上代入计算即可得到圆的半径；② 由条件可知直线与直线垂直，从而得到直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】 ① 由条件可知点在圆上，即，解得：， 圆的方程，所以圆的半径； 设圆的圆心， ② 由条件可知直线与直线垂直，所以直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：① ;② 8．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有　　　　　　　　　　. ①曲线关于点对称； ②曲线所围成的图形面积小于3； ③点的纵坐标的取值范围为； ④线段长度的最小值为1. 【答案】③ ④ 【分析】 根据对称性、面积、图象等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 ① ，当时，， 当时，，，无解. 当时，， 解得或，所以曲线过点， 这两点不关于对称，所以① 错误. ③ ，对于，由于，所以，，， 当时，，， 所以无解. 当时，， 解得，所以点的纵坐标的取值范围为，③ 正确. ② ，由③ 可得，故曲线即为， 整理得， 当时，， 故关于的方程有一正一负两个解， 设， 则 ， ， 而，故， 故在轴的右侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而曲线关于轴对称， 故在轴的左侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而直线、直线、直线、直线围成的平面区域即为四边形围成的平面区域，其面积为， 故曲线所围成的图形面积大于3，故② 错误. ④ ，设，其中， ， 由于，所以， 所以，所以， 所以线段长度的最小值为1，此时，所以④ 正确. 故答案为：③ ④ 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据椭圆定义得，，再根据关系即可得到答案. 【详解】 P为椭圆上的动点，，且， 则P的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即，，所以， 故选：C． 2．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意得，又，利用离心率的公式即可求解. 【详解】 根据题意有， 所以. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用椭圆的短轴长与离心率，结合求出椭圆的基本参数，得到标准方程； （2）设直线方程与椭圆联立，利用向量垂直的条件求出直线斜率，再通过弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形面积. (1) 小问详解： 由短轴长，得，故. 由离心率，得. 结合，代入得，解得. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设直线方程为，代入椭圆方程得. 设，，则，. 由，得，代入、，化简得， 解得，此时， 原点到直线的距离， 弦长. 故的面积为. 4．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，结合正弦型函数的性质以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】 设圆柱的底面直径为，由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 则椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，可得，所以， 所以，解得． 故答案为： 5．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知椭圆的长轴长为，且. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】（1），；     （2） 设直线的方程为，如下图所示： 联立 ，消去得， 由韦达定理得， 直线的方程为，令，得， 要证三点共线，只需证， 因为，所以需证，即证， 将代入，化简得， 即，整理为， 代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立，故三点共线.      【分析】 （1）椭圆的长轴长和、的关系求出椭圆方程和离心率； （2）再利用直线与椭圆相交，通过联立方程求出相关点的坐标，进而证明三点共线. (1) 小问详解： 已知椭圆长轴长为，得， 因为，所以， 因此，椭圆方程为， 由，得离心率； (2) 小问详解： 略 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知椭圆的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）由和即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在，结合四边形的面积求解即可. (1) 小问详解： 由题意可得：， ，所以， 所以， 即椭圆方程为； (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：， 四边形的面积为,舍去， 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ， 所以四边形的面积为， 即， 即： 解得，即， 所以直线的方程为：或. 7．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题意求得，代入即可求解； （2）由题意可得，分直线斜率不存在，直线斜率为，直线斜率存在三种情况，结合韦达定理列式计算可解. (1) 小问详解： 由题意可得椭圆焦点在轴上， 因为椭圆的一个顶点为，所以， 因为离心率为，则，解得， 所以， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： 由题意可知，若是直角三角形，则只能，即， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 将代入计算可得，取， 此时线段的垂直平分线与轴交于点， 则， 因为，所以不是直角三角形，不符合题意舍去； 当直线斜率为时，此时线段在轴上， 由对称性可知，线段的垂直平分线为轴，故点位置不确定，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 直线与椭圆联立方程可得 ，得， 因为在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点，则， 则，， ， ， 线段的中点坐标为， 所以线段垂直平分线方程为， 令，则，即， ， 则， 即， 即， 化简可得，解得， 所以，即或. 8．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，的周长为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）两条平行直线、不与坐标轴平行，已知与椭圆交于、两点，与椭圆交于、两点，、、、四点构成四边形，试问四边形是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线、，若不可能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）不可能，理由如下： 如下图所示： 若四边形为等腰梯形，则， 设直线、交于点，因为，所以，故， 从而， 分别取线段、的中点、，则，， 故、、三点共线，则， 不妨设直线的方程为，设点、， 联立 可得， ，可得， 由韦达定理可得， 故，故点， 设直线的方程为，同理可得点， 直线的斜率为， 因为，即与不垂直， 因此不存在满足题设条件的两条平行直线、，使得四边形为等腰梯形.      【分析】 （1）由椭圆的离心率和的周长可求得、的值，据此可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）分别取线段、的中点、，若四边形为等腰梯形，则，设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线方程分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出直线的斜率，结合两直线垂直于斜率的关系可得出结论. (1) 小问详解： 椭圆的离心率为，故， 的周长为，解得，， 故，所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 根据渐近线方程求出的值，再根据可求结果. 【详解】 因为渐近线方程为，所以， 所以. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）双曲线的渐近线为，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的渐近线方程可得出关于的等式，解之即可. 【详解】 在双曲线中，，则，， 故该双曲线的渐近线方程为，即，解得. 故选：A. 3．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，利用双曲线的定义，求得，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】 由，根据双曲线的定义，可得， 因为，可得，且， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以 又由双曲线的离心率，即双曲线的离心率为. 故选：B. 4．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是　　　　　． 【答案】(答案不唯一) 【分析】 根据双曲线渐近线方程以及直线过坐标原点可知， 若双曲线与直线没有公共点则，所以可求出离心率取值范围，即可求解. 【详解】 由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 若双曲线与直线没有公共点，则需满足 所以离心率， 所以离心率可以取内的一个值. 故答案为：(答案不唯一) 5．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）双曲线的一条渐近线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】（或） 【分析】 根据题意，化简得到双曲线的标准方程，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】 由双曲线，可得其标准方程为， 可得，即， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线其中一条渐近线为（或） 故答案为：（或）. 6．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为　　　　　　． 【答案】①     ② （答案不唯一） 【分析】 第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得，进而解不等式求解即可. 【详解】 当时，双曲线为，此时， 则双曲线的渐近线方程为. 双曲线，即， 其渐近线方程为， 要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形， 根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等， 则，解得，可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 7．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公式和的关系即可得到所求范围 【详解】 双曲线（，）的渐近线方程为， 因为一条渐近线的倾斜角的范围是， 所以，即，所以， 所以，即. 故答案为：. 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 利用抛物线的标准方程先确定F坐标，结合定义与正三角形的性质计算即可. 【详解】 由抛物线的定义可知，且，过作， 可知D为的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C 2．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（     ） A. 4 B. 3 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】 对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（   ） A. 存在，对所有点，均不存在使得 B. 任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C. 存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D. 任意，当点运动时，都满足 【答案】C 【分析】 首先确定两抛物线交点，根据抛物线对称轴为轴可确定A错误；设，，讨论在同一条抛物线上和分别在两条抛物线上的情况，可求得当时，不存在三对不同的点满足条件，知B错误；取即可验证得到C正确；取，，可验证得到D错误. 【详解】 由 ，得： 或 ，即两抛物线交点为和； 对于A，与图象均关于轴对称，点在轴上， 当关于轴对称时，，A错误； 对于B，若关于点对称，则可设，， 若均在上，则 ，解得：； 即当时，存在一组关于对称的点和； 若分别在和上， 不妨令在上，在上， 由 得：，则， 若，则，方程组无解，此时不存在关于对称的点； 当时，不存在三对不同的点，满足每对点关于点对称，B错误； 对于C，当时，到点的距离等于的点的轨迹为； 由 得： ，满足， 此时存在两点到点的距离等于； 由 得： ，满足， 此时存在两点到点的距离等于； 当时，曲线上恰有四个点满足到的距离等于， 即存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于，C正确； 对于D，当时，，取，， 此时， 此时不满足，D错误. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 直接由抛物线的定义求解即可. 【详解】 由抛物线的定义可得，解得. 故答案为：2. 5．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知抛物线：，则抛物线的准线方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的性质，求解抛物线的准线方程. 【详解】 由，则，所以其准线方程为. 故答案为：. 6．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）抛物线的准线l的方程为　　　　　　　　　　．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】① ；    ② 【分析】 由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程，即可求得切线倾斜角，此时取最大值. 【详解】 抛物线即的准线l的方程为； l与y轴交于点A，则有，则当AP与抛物线相切时最大， 设切点为，，∴切线方程为，切线过点A，则，解得. ∴切线斜率为，即倾斜角为或，故的最大值为. 故答案为：；. 7．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】 利用直线求交点，利用弦长公式求线段长，通过代数运算可求最小值. 【详解】 由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得抛物线方程为， 因为，可知，所以，不妨取， 设直线方程为：，则垂线方程为：， 联立解得：，所以， ， 则 ， 当时，取到最小值， 故答案为： 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，是否存在使得？说明理由； （3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 【答案】（1）；     （2） 不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 当时，设， 由 ，消去得， ，因此， 则，， 所以， ， 因为，所以，所以，无解， 所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足．     （3） 为定值． 设， 由 消去得， ，因此， 则， 所以线段的中点为，线段的中点在直线上时， 所以，所以； 所以 . 【分析】 （1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明； （3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值． (1) 小问详解： 椭圆的离心率为，且过点． ，解得，， 椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 2．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知椭圆经过点． （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由椭圆经过点，代入求得，得出以椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，即可求解； （2）联立方程组，得到，求得直线的方程，令，得到，在求得直线的方程为，令，化简得到，即可得到答案. (1) 小问详解： 解：由椭圆经过点，可得， 即，解得，所以椭圆的方程为， 又由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的离心率为. (2) 小问详解： 解：联立方程组 ，整理得， 设，则且， 又由椭圆的左顶点为，则直线的方程为， 令，可得，即， 所以直线的斜率为，且， 所以直线的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点. 3．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），的面积；（2）存在；． 【分析】 （1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点. 【详解】 解：（1）依题意，，解得． 因为，即， 所以，， 所以离心率， 的面积． （2）由已知，直线的方程为， 当时， 直线的方程为，交y轴于点； 当时， 直线的方程为，交y轴于点． 若直线经过y轴上定点，则， 即，直线交y轴于点． 下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点． 联立 消y整理，得， 设，． 则，． 设点，所以直线的方程：． 令，得 ． 因为， 所以． 所以直线过定点． 综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点． 【点睛】 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 【答案】（1）     （2）证明：直线的方程为，即，将其代入， 消去，整理得. 设，. ∴，. 记的面积是，的面积是. 由题意，， ∵， ∴， ∵，. ∴的面积等于的面积；     （3）证明：由（2）知，，，， ∴， ， ， .      【分析】 （1）利用，直线的斜率为，建立方程组，即可求椭圆的方程； （2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论； （3）由（2）直接利用两点间的距离公式结合根与系数的关系证明. (1) 小问详解： ∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为， 由，，得， 又，解得，， ∴椭圆的方程为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长； （Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点． 【答案】（1）；（2）；（3）直线恒过定点, 设，， 由题意，设直线的方程为， 由 得， 显然，，则，， 因为直线与平行，所以， 则的直线方程为， 令，则，即 , ， 直线的方程为, 令，得, 因为，故， 所以直线恒过定点. 【分析】 （1）由题意布列关于a，b的方程组，即可得到结果； （2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M点坐标，结合两点间距离公式可得结果； （3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可得到结果. 【详解】 （1）因为，所以    因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形， 所以 , 又 , 所以 ， 所以椭圆方程为 . （2）方法一： 设, ， , , , ， （舍） 所以. 方法二： 设， 因为与垂直， 所以点在以为直径的圆上， 又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为, ， ， （舍） 所以      方法三： 设直线的斜率为， ，其中        化简得 当时， 得 ， 显然直线存在斜率且斜率不为0. 因为与垂直， 所以 , 得，， , 所以 （3）略 【点睛】 圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 5大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点01 直线与圆 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知直线，点和点，若，则实数的值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  2．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知圆截直线所得弦的长度为1，那么k的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  3．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）直线与圆（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 位置关系不确定 5．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）在平面直角坐标系中，圆，直线和点. （1）求圆心到直线的距离； （2）动点在圆上， ①求的最大值与最小值； ②求的取值范围.（直接写出答案） 7．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）圆与直线相切于点，则圆的半径为　　　　　　　　　　，直线的方程为　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有　　　　　　　　　　. ①曲线关于点对称； ②曲线所围成的图形面积小于3； ③点的纵坐标的取值范围为； ④线段长度的最小值为1. 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积. 4．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则　　　　　　． 5．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知椭圆的长轴长为，且. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知椭圆的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 7．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程. 8．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，的周长为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）两条平行直线、不与坐标轴平行，已知与椭圆交于、两点，与椭圆交于、两点，、、、四点构成四边形，试问四边形是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线、，若不可能，请说明理由． 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D. 2 2．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）双曲线的渐近线为，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是　　　　　． 5．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）双曲线的一条渐近线方程为　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　　. 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（     ） A. 4 B. 3 C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（   ） A. 存在，对所有点，均不存在使得 B. 任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C. 存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D. 任意，当点运动时，都满足 4．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则　　　　　　　　　　　. 5．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知抛物线：，则抛物线的准线方程为　　　　　　． 6．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）抛物线的准线l的方程为　　　　　　　　　　．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为　　　　　　　　. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，是否存在使得？说明理由； （3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 2．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知椭圆经过点． （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由． 3．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长； （Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点01 直线与圆 1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．【答案】（1）；     （2）① 最大值8，最小值2；②.      【分析】 （1）将圆方程化为标准式得圆心坐标，用点到直线距离公式求距离； （2）① 计算点到圆心的距离，结合圆的半径得的最值； ②设目标式为，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离不超过半径求范围. (1) 小问详解： 圆的方程配方得，圆心，半径. 圆心到直线的距离. (2) 小问详解： ① 点到圆心的距离. 的最大值为，最小值为. ②设，直线与圆有交点， 圆心到直线的距离不超过半径，即. 解得，即的取值范围为. 7．【答案】①     ② 【分析】 ① 根据点在圆上代入计算即可得到圆的半径；② 由条件可知直线与直线垂直，从而得到直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】 ① 由条件可知点在圆上，即，解得：， 圆的方程，所以圆的半径； 设圆的圆心， ② 由条件可知直线与直线垂直，所以直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：① ;② 8．【答案】③ ④ 【分析】 根据对称性、面积、图象等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 ① ，当时，， 当时，，，无解. 当时，， 解得或，所以曲线过点， 这两点不关于对称，所以① 错误. ③ ，对于，由于，所以，，， 当时，，， 所以无解. 当时，， 解得，所以点的纵坐标的取值范围为，③ 正确. ② ，由③ 可得，故曲线即为， 整理得， 当时，， 故关于的方程有一正一负两个解， 设， 则 ， ， 而，故， 故在轴的右侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而曲线关于轴对称， 故在轴的左侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而直线、直线、直线、直线围成的平面区域即为四边形围成的平面区域，其面积为， 故曲线所围成的图形面积大于3，故② 错误. ④ ，设，其中， ， 由于，所以， 所以，所以， 所以线段长度的最小值为1，此时，所以④ 正确. 故答案为：③ ④ 考点02 椭圆及其性质 1．C 2．B 3．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用椭圆的短轴长与离心率，结合求出椭圆的基本参数，得到标准方程； （2）设直线方程与椭圆联立，利用向量垂直的条件求出直线斜率，再通过弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形面积. (1) 小问详解： 由短轴长，得，故. 由离心率，得. 结合，代入得，解得. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设直线方程为，代入椭圆方程得. 设，，则，. 由，得，代入、，化简得， 解得，此时， 原点到直线的距离， 弦长. 故的面积为. 4．【答案】 【分析】 根据题意，结合正弦型函数的性质以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】 设圆柱的底面直径为，由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 则椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，可得，所以， 所以，解得． 故答案为： 5．【答案】（1），；     （2） 设直线的方程为，如下图所示： 联立 ，消去得， 由韦达定理得， 直线的方程为，令，得， 要证三点共线，只需证， 因为，所以需证，即证， 将代入，化简得， 即，整理为， 代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立，故三点共线.      【分析】 （1）椭圆的长轴长和、的关系求出椭圆方程和离心率； （2）再利用直线与椭圆相交，通过联立方程求出相关点的坐标，进而证明三点共线. (1) 小问详解： 已知椭圆长轴长为，得， 因为，所以， 因此，椭圆方程为， 由，得离心率； (2) 小问详解： 略 6．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）由和即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在，结合四边形的面积求解即可. (1) 小问详解： 由题意可得：， ，所以， 所以， 即椭圆方程为； (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：， 四边形的面积为,舍去， 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ， 所以四边形的面积为， 即， 即： 解得，即， 所以直线的方程为：或. 7．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题意求得，代入即可求解； （2）由题意可得，分直线斜率不存在，直线斜率为，直线斜率存在三种情况，结合韦达定理列式计算可解. (1) 小问详解： 由题意可得椭圆焦点在轴上， 因为椭圆的一个顶点为，所以， 因为离心率为，则，解得， 所以， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： 由题意可知，若是直角三角形，则只能，即， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 将代入计算可得，取， 此时线段的垂直平分线与轴交于点， 则， 因为，所以不是直角三角形，不符合题意舍去； 当直线斜率为时，此时线段在轴上， 由对称性可知，线段的垂直平分线为轴，故点位置不确定，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 直线与椭圆联立方程可得 ，得， 因为在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点，则， 则，， ， ， 线段的中点坐标为， 所以线段垂直平分线方程为， 令，则，即， ， 则， 即， 即， 化简可得，解得， 所以，即或. 8．【答案】（1）     （2）不可能，理由如下： 如下图所示： 若四边形为等腰梯形，则， 设直线、交于点，因为，所以，故， 从而， 分别取线段、的中点、，则，， 故、、三点共线，则， 不妨设直线的方程为，设点、， 联立 可得， ，可得， 由韦达定理可得， 故，故点， 设直线的方程为，同理可得点， 直线的斜率为， 因为，即与不垂直， 因此不存在满足题设条件的两条平行直线、，使得四边形为等腰梯形.      【分析】 （1）由椭圆的离心率和的周长可求得、的值，据此可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）分别取线段、的中点、，若四边形为等腰梯形，则，设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线方程分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出直线的斜率，结合两直线垂直于斜率的关系可得出结论. (1) 小问详解： 椭圆的离心率为，故， 的周长为，解得，， 故，所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 考点03 双曲线及其性质 1．C 2．A 3．B 4．【答案】(答案不唯一) 【分析】 根据双曲线渐近线方程以及直线过坐标原点可知， 若双曲线与直线没有公共点则，所以可求出离心率取值范围，即可求解. 【详解】 由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 若双曲线与直线没有公共点，则需满足 所以离心率， 所以离心率可以取内的一个值. 故答案为：(答案不唯一) 5．【答案】（或） 【分析】 根据题意，化简得到双曲线的标准方程，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】 由双曲线，可得其标准方程为， 可得，即， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线其中一条渐近线为（或） 故答案为：（或）. 6．【答案】①     ② （答案不唯一） 【分析】 第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得，进而解不等式求解即可. 【详解】 当时，双曲线为，此时， 则双曲线的渐近线方程为. 双曲线，即， 其渐近线方程为， 要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形， 根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等， 则，解得，可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 7．【答案】 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公式和的关系即可得到所求范围 【详解】 双曲线（，）的渐近线方程为， 因为一条渐近线的倾斜角的范围是， 所以，即，所以， 所以，即. 故答案为：. 考点04 抛物线及其性质 1．C 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 直接由抛物线的定义求解即可. 【详解】 由抛物线的定义可得，解得. 故答案为：2. 5．【答案】 【分析】 根据抛物线的性质，求解抛物线的准线方程. 【详解】 由，则，所以其准线方程为. 故答案为：. 6．【答案】① ；    ② 【分析】 由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程，即可求得切线倾斜角，此时取最大值. 【详解】 抛物线即的准线l的方程为； l与y轴交于点A，则有，则当AP与抛物线相切时最大， 设切点为，，∴切线方程为，切线过点A，则，解得. ∴切线斜率为，即倾斜角为或，故的最大值为. 故答案为：；. 7．【答案】6 【分析】 利用直线求交点，利用弦长公式求线段长，通过代数运算可求最小值. 【详解】 由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得抛物线方程为， 因为，可知，所以，不妨取， 设直线方程为：，则垂线方程为：， 联立解得：，所以， ， 则 ， 当时，取到最小值， 故答案为： 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．【答案】（1）；     （2） 不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 当时，设， 由 ，消去得， ，因此， 则，， 所以， ， 因为，所以，所以，无解， 所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足．     （3） 为定值． 设， 由 消去得， ，因此， 则， 所以线段的中点为，线段的中点在直线上时， 所以，所以； 所以 . 【分析】 （1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明； （3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值． (1) 小问详解： 椭圆的离心率为，且过点． ，解得，， 椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 2．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由椭圆经过点，代入求得，得出以椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，即可求解； （2）联立方程组，得到，求得直线的方程，令，得到，在求得直线的方程为，令，化简得到，即可得到答案. (1) 小问详解： 解：由椭圆经过点，可得， 即，解得，所以椭圆的方程为， 又由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的离心率为. (2) 小问详解： 解：联立方程组 ，整理得， 设，则且， 又由椭圆的左顶点为，则直线的方程为， 令，可得，即， 所以直线的斜率为，且， 所以直线的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点. 3．【答案】（1），的面积；（2）存在；． 【分析】 （1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点. 【详解】 解：（1）依题意，，解得． 因为，即， 所以，， 所以离心率， 的面积． （2）由已知，直线的方程为， 当时， 直线的方程为，交y轴于点； 当时， 直线的方程为，交y轴于点． 若直线经过y轴上定点，则， 即，直线交y轴于点． 下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点． 联立 消y整理，得， 设，． 则，． 设点，所以直线的方程：． 令，得 ． 因为， 所以． 所以直线过定点． 综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点． 【点睛】 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．【答案】（1）     （2）证明：直线的方程为，即，将其代入， 消去，整理得. 设，. ∴，. 记的面积是，的面积是. 由题意，， ∵， ∴， ∵，. ∴的面积等于的面积；     （3）证明：由（2）知，，，， ∴， ， ， .      【分析】 （1）利用，直线的斜率为，建立方程组，即可求椭圆的方程； （2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论； （3）由（2）直接利用两点间的距离公式结合根与系数的关系证明. (1) 小问详解： ∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为， 由，，得， 又，解得，， ∴椭圆的方程为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 5．【答案】（1）；（2）；（3）直线恒过定点, 设，， 由题意，设直线的方程为， 由 得， 显然，，则，， 因为直线与平行，所以， 则的直线方程为， 令，则，即 , ， 直线的方程为, 令，得, 因为，故， 所以直线恒过定点. 【分析】 （1）由题意布列关于a，b的方程组，即可得到结果； （2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M点坐标，结合两点间距离公式可得结果； （3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可得到结果. 【详解】 （1）因为，所以    因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形， 所以 , 又 , 所以 ， 所以椭圆方程为 . （2）方法一： 设, ， , , , ， （舍） 所以. 方法二： 设， 因为与垂直， 所以点在以为直径的圆上， 又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为, ， ， （舍） 所以      方法三： 设直线的斜率为， ，其中        化简得 当时， 得 ， 显然直线存在斜率且斜率不为0. 因为与垂直， 所以 , 得，， , 所以 （3）略 【点睛】 圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $