精品解析：湖南省长沙市南雅中学、雅礼实验中学等五校联考2025-2026学年高二上学期12月限时训练数学试题

2024级高二年级第一学期限时训练 数学 时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 2. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 5. 若函数，则函数在区间上的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线 C. 上的点到的距离均为. D. 是两条平行直线 7. 已知等比数列首项，前项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，的导函数是，则（ ） A. B. 在点处切线斜率为 C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为 10. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 11. 函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为_____. 13. 若直线与曲线和圆都相切，则此圆的半径________． 14. 已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，则圆心的轨迹方程为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，记，且，. （1）求的极小值； （2）设，， （i）证明：数列是等差数列； （ii）求数列的前项和为. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点. （i）设直线斜率分别为，，且满足 ，证明直线l恒过定点； （ii）若直线l经过点，点在第一象限，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形的面积为? 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级第一学期限时训练 数学 时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 2. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求得准线方程求解. 【详解】由抛物线方程可得其焦点在轴正半轴上，且，解得， 故其准线方程为，又点的纵坐标为1， 则点到准线的距离为 . 故选：D. 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 4. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 5. 若函数，则函数在区间上的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求出在上的增区间 【详解】由，得， 由，得， 因为，所以， 所以函数在区间上的单调增区间为， 故选：A 6. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线 C. 上的点到的距离均为. D. 是两条平行直线 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 7. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，可求得、表达式，结合题干条件，即可求得q的值. 【详解】当公比时，，不满足题意，当时，，， 所以，解得， 故选：D 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线的对称性和已知条件得出与的关系，再利用向量的运算求出，最后根据双曲线的定义求出离心率. 【详解】因为双曲线关于原点对称，且直线过原点与双曲线交于，两点，所以，. 已知，所以.  由双曲线的定义可知，将代入可得： ， 解得，则.  因为，且，，所以，则. 在中，根据余弦定理可得： ，即. 因为为AB，的中点，所以，. ，，则. 又因为，，所以，则.  双曲线的离心率（），由可得，则.  双曲线的离心率为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，的导函数是，则（ ） A. B. 在点处的切线斜率为 C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复合函数的导数、导数的几何意义及平均变化率、瞬时变化率等知识逐项判断即可. 【详解】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 11. 函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断. 详解】令，解得或， 因此 对于A：，因此不为等差数列，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， ， ，故C正确； 对于D： ，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由已知建立关系，结合得关系求解. 【详解】设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距分别为， 由题知，，于是， 则，即 故答案为：. 13. 若直线与曲线和圆都相切，则此圆的半径________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可根据直线与曲线相切求出，直线方程为，然后根据直线与圆相切以及点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】设直线在曲线上的切点为， 则，解得，切点为， 将点代入中，解得，，即， 因为直线与圆相切，圆心， 所以， 故答案为：. 14. 已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，则圆心轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，利用勾股定理建立方程，化简即可得解. 【详解】为圆的一条弦，是弦的中点， 所以圆心在线段的中垂线上，的半径为， 设，因为与直线相切，所以的半径为， 因为，所以，因为， 所以，化简得的轨迹方程为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为、，递减区间为 【解析】 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 16. 记为等差数列前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：先由等腰直角三角形得且，故，再利用“三角形中位线定理”得，运用平行传递性结合线面平行判定定理即可证平面； 法二：取的中点N，的中点M，连接，依次求证和得到即可求证平面； （2）先建立适当空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再由即可计算得线面角的正弦值； 【小问1详解】 解法1： 与为等腰直角三角形且， 所以，.. E为的中点，， ，，即， ∴四边形为平行四边形，故， 分别为的中点，，所以， 平面，平面，平面； 解法2： 取的中点N，的中点M，连接， 与为等腰直角三角形且， 由，.. 分别为的中点， ，且. ，， ，∴四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； 【小问2详解】 平面，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为，， ，取，. 设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数，记，且，. （1）求的极小值； （2）设，， （i）证明：数列是等差数列； （ii）求数列的前项和为. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到极小值； （2）（i）求导，得到，，求出，，则，所以是以为首项，公差的等差数列， （ii）计算出，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 定义域为R，， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增； 所以的极小值为 ； 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 所以， 又， 所以，，故为公比为2的等比数列， 由（1）可知，则，，所以， ， 则，所以是以为首项，公差的等差数列， (ii)由（i）知，，所以. ， 2， 两式相减可得 ， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点. （i）设直线的斜率分别为，，且满足 ，证明直线l恒过定点； （ii）若直线l经过点，点在第一象限，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形的面积为? 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）(i)证明见解析；（ii）存在，两条 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义判断M的轨迹，求出即可得椭圆标准方程； （2）(i)先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定点； （ii）设过焦点的直线方程，联立椭圆方程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换元、函数单调性分析，结合面积值判断直线条数. 【小问1详解】 因为， 由椭圆的定义可知M的轨迹C是F1，F2为焦点的椭圆， 设C的方程为 根据题意，解得， ∴C的方程为； 【小问2详解】 如图， （i）由，设直线：，，， 直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足， 联立，得. ， ，， ， 即. 化简可得：，解得：，则直线过定点. （ii）满足题意的直线条数有两条， 证明如下：由题意可知直线PQ的斜率不为0， 设，，，不妨令，， 联立，可得 ， 因为四边形的面积为， 所以， 因为，代入①可得，， 代入②式可得， 所以， 即或， 令，则， 令因为恒成立，所以，即在单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知：所以在上有唯一零点， 综上所述，满足题意的直线l有两条. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $