高中数学竞赛知识点归纳（一试·二试）与总结大全2026-2027学年高二、高三全程数学备考资料

高中数学竞赛知识点归纳（一试·二试）与总结大全 第一部分 全国高中数学联赛一试 全国高中数学联赛一试所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》，但在方法的要求上略有提高。一试考验更多的是熟练度与计算速度，答题时间仅有80分钟。 试卷结构：8道填空题（每题8分）+ 3道解答题（16分、20分、20分），满分120分。 一、集合与逻辑用语 1.1 集合的基本概念与运算 集合的表示法：列举法、描述法 集合间的关系：子集、真子集、相等 并集： 交集： 补集： 差集： 1.2 常用逻辑用语 命题的四种形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题 充分条件与必要条件 逻辑联结词：且（）、或（）、非（） 全称量词（）与存在量词（） 1.3 容斥原理 对于有限集合： 二、函数 2.1 函数的基本性质 单调性：若 时，，则 单调递增。 奇偶性： 偶函数：，图像关于 轴对称 奇函数：，图像关于原点对称 周期性：， 为周期。 2.2 基本初等函数 幂函数： 指数函数：（） 性质：，， 对数函数：（） 换底公式： 常用性质：， 2.3 二次函数与二次方程 二次函数：（） 顶点坐标： 对称轴： 韦达定理：对于 的两根 ： 根的判别式： ：两个不等实根 ：两个相等实根 ：无实根（两个共轭复根） 2.4 函数迭代与函数方程 函数迭代：， 次复合。 常见函数方程： 柯西方程：，连续解为 指数型：，连续解为 2.5 导数与函数极值 基本导数公式： ， 运算法则： 极值判定：若 ，且 ，则 为极小值点；若 ，则为极大值点。 三、数列 3.1 等差数列 通项公式： 前 $n$ 项和： 性质：若 ，则 3.2 等比数列 通项公式：（） 前 $n$ 项和： 性质：若 ，则 3.3 递推数列 一阶线性递推： 解法：构造等比数列，设 二阶线性常系数递推： 特征方程法：设 ，解得特征根 。 若 ： 若 ： 常见求和公式： 3.4 数学归纳法 第一数学归纳法： 1. 验证 时命题成立 2. 假设 时成立，证明 时也成立 第二数学归纳法： 3. 验证 时命题成立 4. 假设 时均成立，证明 时也成立 四、不等式 4.1 基本不等式 均值不等式（AM-GM）：对于正实数 ： 等号当且仅当 时成立。 常用特例： （） （） 4.2 柯西不等式（Cauchy-Schwarz） 对于实数 和 ： 等号当且仅当 时成立（约定分母为0时分子也为0）。 4.3 排序不等式 设 ，，则： 即：反序和 $\leq$ 乱序和 $\leq$ 顺序和 4.4 切比雪夫不等式 若 ，，则： 4.5 绝对值不等式 三角不等式： 五、三角函数 5.1 基本公式 同角三角函数关系： 诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 5.2 和差化积与积化和差 和差公式： 倍角公式： 半角公式： 积化和差： 和差化积： 5.3 三角函数的图像与性质 函数 周期 奇偶性 单调增区间 值域 奇 偶 奇 5.4 解三角形 正弦定理： 其中 为外接圆半径。 余弦定理： 面积公式： 其中 为内切圆半径。 六、复数 6.1 复数的基本概念 代数形式：，其中 ，。 模： 共轭复数： 6.2 复数的运算 6.3 复数的三角形式与指数形式 三角形式：，其中 ，。 指数形式（欧拉公式）： 棣莫弗定理： 单位根：方程 的 个根为： 七、向量 7.1 向量的基本概念与运算 数量积（点积）： 坐标表示：若 ，，则： 向量模： 夹角公式： 7.2 向量的应用 定比分点公式：若点 分 的比为 ，则： 三角形重心： 八、立体几何 8.1 空间直线与平面的位置关系 线面平行判定：若 ，，且 ，则 。 线面垂直判定：若 ，，且 ，，则 。 三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 8.2 空间角 异面直线所成角：过空间任一点作两条异面直线的平行线，所成的锐角或直角。 线面角：直线与它在平面内的射影所成的角。 二面角：从二面角的棱出发，分别在两个面内作垂直于棱的两条射线，所成的角。 向量法求空间角： 线面角 ： 二面角： 8.3 常见几何体的表面积与体积 球： 表面积： 体积： 柱体：（ 为底面积， 为高） 锥体： 台体： 九、解析几何 9.1 直线 常见直线方程： 点斜式： 斜截式： 一般式： 参数式： 点到直线距离：点 到直线 的距离： 两条直线的夹角： 9.2 圆 标准方程：，圆心 ，半径 。 一般方程：（） 参数方程： 9.3 椭圆 标准方程：（） 基本量： 长轴：，短轴： 焦距：，其中 离心率：（） 焦点：， 准线： 焦半径公式：， 9.4 双曲线 标准方程：（） 基本量： 实轴：，虚轴： 焦距：，其中 离心率：（） 渐近线： 9.5 抛物线 标准方程：（） 焦点： 准线： 焦半径： 9.6 圆锥曲线的统一定义 平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 （离心率）的点的轨迹： ：椭圆 ：抛物线 ：双曲线 9.7 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线方程与圆锥曲线方程，消元后得一元二次方程，通过判别式 判断： ：相交（两个交点） ：相切 ：相离 弦长公式：若直线 与曲线交于 、，则： 十、计数原理与概率 10.1 排列组合 排列数：从 个不同元素中取出 个的排列数： 组合数：从 个不同元素中取出 个的组合数： 组合数性质： 10.2 二项式定理 通项公式： 10.3 概率 古典概型： 几何概型： 互斥事件：（、 互斥） 对立事件： 独立事件： 十一、一试高频考点总结 优先级 考点 说明 必考 组合计数 连续5年考查，主要考查排列组合、计数原理、分类讨论 必考 解析几何 直线与圆、圆锥曲线的基础性质、轨迹问题 必考 函数与方程 函数性质、最值、导数应用 必考 立体几何 空间几何体的表面积、体积、线面关系、空间角 高频 复数 运算、模长、共轭复数，性价比高 高频 三角函数 图像与性质、恒等变换、解三角形 高频 集合 运算、元素个数、子集问题，送分题 高频 概率 古典概型、几何概型、计数逻辑 中频 数列 等差等比、递推关系、求和 中频 向量 基本概念、运算、数量积 低频 不等式 均值、柯西等，难度中等偏上 第二部分 全国高中数学联赛二试（加试） 全国高中数学联赛二试在知识方面有所扩展，涉及平面几何、代数、数论、组合数学四个模块。试卷共4道解答题（40分、40分、50分、50分），满分180分，考试时间170分钟。 一、平面几何 1.1 几个重要定理 梅涅劳斯定理（Menelaus' Theorem）： 若一条直线截 的三边（或其延长线）于 、、，则： 逆定理也成立。 塞瓦定理（Ceva's Theorem）： 若 、、 是 的三条共点线段（ 在 上， 在 上， 在 上），则： 逆定理也成立。 托勒密定理（Ptolemy's Theorem）： 圆内接四边形 中： 逆定理：若四边形对角线满足上式，则该四边形可内接于圆。 西姆松定理（Simson's Theorem）： 从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）作垂线，三个垂足共线（西姆松线）。 逆定理也成立。 1.2 三角形五心 名称 定义 坐标公式（） 内心 三条角平分线的交点 外心 三条垂直平分线的交点 外接圆圆心 重心 三条中线的交点 垂心 三条高的交点 （向量形式） 旁心 一内角平分线与两外角平分线的交点 欧拉线：在任意三角形中，外心 、重心 、垂心 三点共线，且 。 欧拉公式：，其中 为外接圆半径， 为内切圆半径。 1.3 重要点与线 费马点（Fermat Point）：到三角形三顶点距离之和最小的点。 若三角形的三个内角均小于 ，费马点在三角形内部，且 。 若有一个内角 ，费马点即为该钝角顶点。 九点圆：三角形三边中点、三个垂足、垂心到三顶点线段的中点，这九点共圆。 九点圆圆心为 的中点，半径为 。 1.4 圆幂与根轴 圆幂：点 对圆 的幂为 。 若 在圆外，过 的割线交圆于 、，则 。 若 在圆内，过 的弦被 分成两段 、，则 。 根轴：到两个圆幂相等的点的轨迹是一条直线，称为两圆的根轴。 两圆相交时，根轴为过两交点的直线（公共弦）。 两圆相切时，根轴为过切点的公切线。 两圆相离时，根轴在两圆之间。 1.5 几何变换 对称变换（反射）：以某直线为轴的镜像变换。 旋转变换：绕定点旋转一定角度。特别地，旋转 常用于构造等边三角形。 平移变换：按某向量平移。 位似变换：以某点为中心，按比例缩放。 反演变换：以 为圆心、 为半径的圆为基圆，点 的反演点 满足 ，且 、、 共线。 1.6 几何不等式 三角形不等式：，。 外森比克不等式：（ 为面积），等号当且仅当等边三角形。 欧拉不等式：，等号当且仅当等边三角形。 1.7 面积方法 海伦公式：，其中 。 利用正弦的面积公式：。 二、代数 2.1 多项式 带余除法：对于多项式 、（），存在唯一的 、 使得： 其中 或 。 因式分解定理：。 有理根定理：若整系数多项式 有有理根 （既约），则 ，。 韦达定理（高次）：对于 的根 ： 虚根成对定理：实系数多项式的虚根成对出现（共轭复根）。 2.2 不等式（进阶） 柯西不等式的一般形式： 赫尔德不等式： 其中 ，。 舒尔不等式：对于非负实数 和正数 ： 当 时： 琴生不等式：若 是凸函数，则： 2.3 数列与递推（进阶） 特征根法（二阶线性递推）： 对于 ，解特征方程 。 不动点法（分式递推）： 对于 ，解不动点方程 。 2.4 函数方程 柯西方程： 若 连续（或在某区间有界、或单调），则 。 指数型方程： 连续解：（） 对数型方程： 连续解： 2.5 复数（进阶应用） 单位根的性质： 设 为 次本原单位根，则： 用复数解几何问题：复平面上的旋转、位似等变换可方便地用复数乘法表示。 三、数论（初等数论） 3.1 整除理论 带余除法：对任意整数 、正整数 ，存在唯一的整数 、 使得： 最大公约数与最小公倍数： 辗转相除法（欧几里得算法）求 3.2 同余 定义： 性质： 若 ，，则 剩余系： 完全剩余系：模 的 个不同余的整数 简化剩余系：模 的 个与 互质的剩余类代表 3.3 重要定理 费马小定理：若 为素数， 为整数，且 ，则： 等价形式：对任意整数 ，。 欧拉定理：若 ，则： 其中 为欧拉函数，表示 中与 互质的数的个数。 威尔逊定理：若 为素数，则： 逆定理也成立。 裴蜀定理（Bezout's Theorem）： 对任意整数 、，存在整数 、 使得： 特别地， 当且仅当存在整数 、 使得 。 孙子定理（中国剩余定理）： 若 两两互质，则同余方程组： 在模 下有唯一解。 3.4 不定方程 一次不定方程： 有整数解的充要条件： 佩尔方程（Pell's Equation）：（ 且不是完全平方数） 总有无穷多组正整数解。 若 为基本解（最小正整数解），则全部解可由： 给出。 费马大定理：（）无正整数解。 3.5 素数与算术基本定理 算术基本定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积（不计顺序）。 素数定理：，其中 为不超过 的素数个数。 素数判定： 试除法：若 为合数，则必有素因子 。 3.6 高斯函数（取整函数） 定义： 表示不超过 的最大整数（地板函数）。 性质： （ 为整数） 勒让德公式： 中素数 的幂次为 四、组合数学 4.1 组合计数 加法原理：完成一件事有 类方法，第 类有 种方法，则共有 种方法。 乘法原理：完成一件事需 个步骤，第 步有 种方法，则共有 种方法。 圆排列： 个不同元素的圆排列数为 。 重复元素的排列：若有 个元素，其中第 类有 个相同元素，则排列数为： 可重复组合：从 个不同元素中可重复地选取 个的组合数为： 4.2 组合恒等式 范德蒙德恒等式： 组合数求和： 4.3 容斥原理 4.4 抽屉原理 第一抽屉原理：将 个物体放入 个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于2个物体。 第二抽屉原理：将 个物体放入 个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于 个物体。 4.5 极端原理 在有限集合中，必存在最大元与最小元。利用极端元素（最大、最小、最远等）进行反证或构造。 4.6 图论基础 基本概念： 图 ， 为顶点集， 为边集 度：与顶点关联的边数 握手定理： 树：连通无圈图。 个顶点的树有 条边。 欧拉路径与欧拉回路： 欧拉回路：经过每条边恰好一次且回到起点的闭合路径 存在条件：连通图且每个顶点度数为偶数 哈密顿路径：经过每个顶点恰好一次的路径。 4.7 染色法与构造 染色法：通过对对象染色（如棋盘染色），利用奇偶性或不变量证明存在性或不可能性。 算两次（Fubini原理）：用两种不同方式计算同一个量，建立等式。 五、二试备考策略 5.1 四大模块难度与优先级 模块 难度 备考建议 平面几何 相对较易 优先突破，确保基础分；熟练掌握辅助线技巧 代数 中等 强化代数变形和构造思想；熟练掌握多项式、不等式 数论 较难 夯实整除、同余基础；重点突破不定方程 组合 较难 侧重归纳推理和模型应用；总结经典题型思路 5.2 备考核心原则 全面覆盖，重点突破：四个模块不能有严重短板，否则简单题失分会非常严重。 几何优先：二试通常前两题（代数+几何）相对简单，优先确保这两题的得分。 数论与组合：后两题难度较大，需在基础扎实的前提下逐步提升。 附录：常用数学符号与公式速查 希腊字母 大写 小写 读音 常用含义 伽马 欧拉常数、参数 德尔塔 判别式、变化量 西格玛 求和 派 乘积、圆周率 斐 黄金分割、函数 普西 函数 欧米伽 角速度、集合 常用求和公式 三角函数特殊角值 角度 不存在 重要常数 圆周率： 自然常数： 黄金分割： 欧拉常数： 说明：本文档根据全国高中数学联赛竞赛大纲整理，涵盖一试和二试的核心知识点与公式。一试侧重高中课内知识的灵活运用，二试则拓展至平面几何、代数、数论、组合四大模块。建议考生在熟练掌握基础知识的前提下，通过大量真题训练提升解题速度和准确率。 学科网（北京）股份有限公司 $