1.1～1.3 探索勾股定理 一定是直角三角形吗 勾股定理的应用周练 错题巩固与压轴训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册勾股定理单元周测卷，60分钟100分，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，融合生活（如梯子滑动、旗杆测量）与文化（勾股定理历史）情境，考查定理应用及模型构建，适配单元教学目标。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|勾股数判断（如3,4,5）、实际路径问题（花圃捷径）|基础辨识，结合生活场景| |填空题|6/30|勾股数组规律（第7题）、梯子滑动（第8题）、方位角应用（第11题）|规律探究与空间想象| |解答题|8/40|实验装置分析（第14题）、旗杆测量方案（第18题）、类勾股三角形定义（第17题）|综合应用，渗透模型意识与推理能力|

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第1章 勾股定理（1.1～1.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•新城区校级期末）·【A】下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．3，4，5 B．1，2， C．5，12，13 D．6，8，12 2．（2026春•海淀区校级期中）·【A】下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，9 C．6，12，13 D．7，24，25 3．（2026春•东西湖区期末）·【A】如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 4．（2026•安徽模拟）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 5．（2026春•呼兰区校级期中）·【B】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（　　） A．14m B．12m C．10m D．8m 6．（2025春•思明区校级期末）·【C】勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•芜湖期末）·【A】勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　 　 ． 8．（2026春•呼兰区校级期中）·【B】一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚移动的距离是　 　 米． 9．（2025春•咸丰县期末）·【B】如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　 ． 10．（2025•十堰校级模拟）·【B】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12cm，即BD＝12cm，则水深BC的长为 　 　 cm． 11．（2025•广饶县一模）·【B】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12nmile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16nmile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　 　 nmile． 12．（2026春•市中区校级期中）·【C】在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•同步）·【A】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 14．（2026春•官渡区校级期中）·【B】实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中AC＝8dm，BC＝6dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 15．（2026春•庐阳区校级期中）·【B】“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高3.5米（即AB＝CD＝3.5米），施救点E距离地面的高度EC＝18.5米，此时云梯的长度AE为25米． （1）求云梯底部A到楼房的距离AD． （2）消防员发现E处上方9米的F处有人未撤离，为了救出F处被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部A需沿AD方向前进多少米？ 16．（2026•拱墅区一模）·【B】【阅读理解】定义：我们把满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB．设CD＝m，AC＝n（m＜n），BD＝p，BE＝q（其中m，n，p，q都为正整数）．易得DE＝m，AE＝n．由△DEB∽△ACB，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论：AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）． 【尝试探究】 （1）当m＝1，n＝4时，求AC：BC：AB． （2）设a＝n2﹣m2，b＝2mn，c＝n2+m2，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数；也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数a＝7，b＝24，c＝25，求m，n的值． 17．（2026春•海淀区校级月考）·【B】在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC 的三边长分别是，和2，因为，所以△ABC是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”． 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法　 　 ；（填“正确”或“错误”） （2）已知△ABC的其中两边长分别为1、2，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为　 　 ； （3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的代数式表示其周长． 18．（2025秋•龙岗区期末）·【B】综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17m； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8m． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为　 　 m． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1m； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5m． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5m； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4m至点D，发现此时绳子另一端上升2m至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3） 结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 19．（2024秋•邛崃市校级期中）·【C】我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　 　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　 　 ； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 20．（2024秋•浦口区校级期中）·【C】张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示； （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D D B A 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•新城区校级期末）·【A】下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．3，4，5 B．1，2， C．5，12，13 D．6，8，12 【答案】D 【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵12+（）2＝4，22＝4， ∴12+（）2＝22， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵52+122＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵62+82＝100，122＝144， ∴62+82≠122， ∴不能构成直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 2．（2026春•海淀区校级期中）·【A】下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，9 C．6，12，13 D．7，24，25 【答案】D 【解答】解：A、∵22+32＝4+9＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴以2、3，4为三角形的三边，不是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵62+82＝36+64＝100，92＝81， ∴62+82≠92， ∴以6、8，9为三角形的三边，不是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵62+122＝36+144＝180，132＝169， ∴62+122≠132， ∴以6、12、13为三角形的三边，不是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵72+242＝49+576＝625，252＝625， ∴72+242＝252， ∴以7、24，25为三角形的三边，是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 3．（2026春•东西湖区期末）·【A】如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 4．（2026•安徽模拟）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：由题意，过C作CH⊥AB于H， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx，则ADABx． ∴根据面积法可得，CHx． ∴AHx． ∴DH＝AD+AHx． ∵CD，DH2+CH2＝CD2， ∴（x）2+（x）2＝（）2， ∴x＝2． ∴BC＝2x＝4． 故选：D． 5．（2026春•呼兰区校级期中）·【B】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（　　） A．14m B．12m C．10m D．8m 【答案】B 【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m． 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+52＝（x+1）2， ∴x＝12， ∴AB＝12． ∴旗杆的高12m． 故选：B． 6．（2025春•思明区校级期末）·【C】勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 【答案】A 【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a，b，c． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•芜湖期末）·【A】勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　（11，60，61）　 ． 【答案】（11，60，61） 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 8．（2026春•呼兰区校级期中）·【B】一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚移动的距离是　0.8　 米． 【答案】0.8． 【解答】解：如图所示：AB相当于梯子，△ABC是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△EFC是下滑后的形状，∠C＝90°， 即：AB＝EF＝2.5米，CB＝0.7米，AE＝0.4米，BF是梯脚移动的距离． 在Rt△ACB中，由勾股定理可得： AB2＝AC2+BC2， AC2.4（米）． ∴EC＝AC﹣AE＝2.4﹣0.4＝2m， 在Rt△ECF中，由勾股定理可得： EF2＝EC2+CF2， CF1.5（米）， BF＝CF﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8（米）， ∴梯脚移动的距离为0.8米． 故答案为：0.8． 9．（2025春•咸丰县期末）·【B】如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　45°　 ． 【答案】45°． 【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F， 由题意得： AB2＝12+32＝10， AE2＝12+22＝5， EB2＝12+22＝5， ∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°， ∵BD∥EC， ∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠AFD＝∠ADF， ∵∠AFD是△ABF的一个外角， ∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°， ∴∠ADB﹣∠ABD＝45°， 故答案为：45°． 10．（2025•十堰校级模拟）·【B】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12cm，即BD＝12cm，则水深BC的长为 　9　 cm． 【答案】9． 【解答】解：由题意，设水深为hcm，则荷花的高（h+6）cm，且水平距离为12cm， 由勾股定理，CD2＝BD2+BC2， ∴（h+6）2＝122+h2． ∴h＝9． 答：水深9cm． 故答案为：9． 11．（2025•广饶县一模）·【B】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12nmile的速度沿北偏东60°方向航行，“海天”号以每小时16nmile的速度沿北偏西30°方向航行.2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　40　 nmile． 【答案】40 【解答】解：如图： 由题意得：MP＝12×2＝24（海里），NP＝16×2＝32（海里），∠APM＝60°，∠APN＝30°， ∴∠NPM＝∠APN+∠APM＝90°， 在Rt△NPM中，MN40（海里）， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40nmile， 故答案为：40． 12．（2026春•市中区校级期中）·【C】在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB， ∴∠KCE＝∠A， ∵CK＝CA，CE＝AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长， 在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8， ∴CGBC＝4，BG＝4， 在Rt△KBG中，BK2． 故答案为2． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•同步）·【A】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 【答案】图（2）是正确的，理由见解答． 【解答】解：图（2）是正确的， 理由：72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625， ∵72+242＝252，152+202≠242， ∴图（1）中只有1个三角形是直角三角形， 故图（1）是不正确的； ∵72+242＝252，152+202＝252， ∴图（1）中有2个三角形是直角三角形， 故图（2）是正确的； ∵72+202≠252，152+242≠252， ∴图（3）中没有直角三角形， 故图（3）是不正确的； 综上所述：图（2）是正确的． 14．（2026春•官渡区校级期中）·【B】实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中AC＝8dm，BC＝6dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为18dm； （2）滑块B向左滑动的距离为9dm． （2）利用题意求出AB的值，再根据勾股定理求出BD的长度，再算出BE即可． 【解答】解：（1）由题意知：在△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝8dm，BC＝6dm， 由勾股定理得：， ∴绳子总长度为 AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）若物体C升高7dm，此时AB＝10+7＝17（dm）， 在 Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm）． ∴滑块B向左滑动的距离为9dm． 15．（2026春•庐阳区校级期中）·【B】“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高3.5米（即AB＝CD＝3.5米），施救点E距离地面的高度EC＝18.5米，此时云梯的长度AE为25米． （1）求云梯底部A到楼房的距离AD． （2）消防员发现E处上方9米的F处有人未撤离，为了救出F处被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部A需沿AD方向前进多少米？ 【答案】解：（1）由题意可知：∠ADE＝90°，ED＝EC﹣CD＝18.5﹣3.5＝15（米）， 在Rt△ADE中，（米）， 答：云梯底部到楼房的距离AD为20米， （2）DF＝ED+EF＝15+9＝24（米），FN＝AE＝25（米）， 在Rt△FND中，ND7（米）， ∴AN＝AD﹣ND＝20﹣7＝13（米）， 答：云梯底部需沿AD方向前进13米． （2）云梯不变即FN＝AE，再根据勾股定理，求出ND，再由AN＝AD﹣ND求出AN，即为前进的路程． 【解答】解：（1）由题意可知：∠ADE＝90°，ED＝EC﹣CD＝18.5﹣3.5＝15（米）， 在Rt△ADE中，（米）， 答：云梯底部到楼房的距离AD为20米， （2）DF＝ED+EF＝15+9＝24（米），FN＝AE＝25（米）， 在Rt△FND中，ND7（米）， ∴AN＝AD﹣ND＝20﹣7＝13（米）， 答：云梯底部需沿AD方向前进13米． 16．（2026•拱墅区一模）·【B】【阅读理解】定义：我们把满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB．设CD＝m，AC＝n（m＜n），BD＝p，BE＝q（其中m，n，p，q都为正整数）．易得DE＝m，AE＝n．由△DEB∽△ACB，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论：AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）． 【尝试探究】 （1）当m＝1，n＝4时，求AC：BC：AB． （2）设a＝n2﹣m2，b＝2mn，c＝n2+m2，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数；也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数a＝7，b＝24，c＝25，求m，n的值． 【答案】（1）15：8：17； （2）是勾股数，理由如下： 由题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2， ∵m，n为正整数，且m＜n， ∴a，b，c均为正整数，是一组勾股数； （3）m＝3，n＝4． （2）依据题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2，又m，n为正整数，且m＜n，故a，b，c均为正整数，是一组勾股数，从而得解； （3）依据题意，由n2﹣m2＝7，n2+m2＝25，则2n2＝32，则n＝4；2m2＝18，则m＝3，即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，当m＝1，n＝4时， ∴AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）＝（16﹣1）：8：（16+1）＝15：8：17； （2）是勾股数，理由如下： 由题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2， ∵m，n为正整数，且m＜n， ∴a，b，c均为正整数，是一组勾股数； （3）由n2﹣m2＝7，n2+m2＝25， ∴2n2＝32，则n＝4；2m2＝18，则m＝3． ∴2mn＝24＝b，符合题意． 17．（2026春•海淀区校级月考）·【B】在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC 的三边长分别是，和2，因为，所以△ABC是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”． 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法　正确　 ；（填“正确”或“错误”） （2）已知△ABC的其中两边长分别为1、2，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为　或　 ； （3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的代数式表示其周长． 【答案】（1）正确； （2）或； （3）周长为：． （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a，b，c，则a＝b＝c， ∴a2+b2＝2c2． ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； （2）设另一边长为x， ①12+22＝2x2，解得x，符合题意； ②12+x2＝2×22，解得，符合题意； ③x2+22＝2×12，解得x＝0（不合题意，舍去）； 故答案为：或； （3）∵x＜y＜z， ∴x2＜y2＜z2， ∴y2+z2＞2x2，x2+y2＜2z2， ∴x2+z2＝2y2， ∵x2+y2＝z2， ∴y2z2， ∴x2z2． ∴zx，yx． ∴周长为：（1）x． 18．（2025秋•龙岗区期末）·【B】综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17m； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8m． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为　15　 m． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1m； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5m． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5m； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4m至点D，发现此时绳子另一端上升2m至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 【答案】（1）15； （2）12米； （3）12米． （2）依据题意，设旗杆b高度为x米，绳子长度为L米，又叠合长度比旗杆长1米，可得L＝x+1，结合绳子拉直时，旗杆底端与绳子末端相距5米，从而x2+52＝（x+1）2，进而计算可以得解； （3）依据题意，设旗杆c高度为x米，绳子长度为L米，又绳子拉直至B点，BC＝5米，故（L﹣x）2＝x2+52，又绳子端点前进4米至D，绳子另一端上升2米至E，则联立方程：（L+2﹣x）2＝x2+（5+4）2，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意， 设旗杆a高度为x米， ∵绳子长度为17米，且绳子拉直时构成直角三角形， ∴由勾股定理：x2+64＝289． ∴x2＝225． ∴x＝15． 答案：15； （2）由题意，设旗杆b高度为x米，绳子长度为L米． ∵叠合长度比旗杆长1米， ∴L＝x+1． ∵绳子拉直时，旗杆底端与绳子末端相距5米， ∴由勾股定理：x2+52＝（x+1）2． ∴x2+25＝x2+2x+1． ∴x＝12． 答：旗杆b的高度为12米； （3）由题意，设旗杆c高度为x米，绳子长度为L米， ∵绳子拉直至B点，BC＝5米， ∴（L﹣x）2＝x2+52． ∵绳子端点前进4米至D，绳子另一端上升2米至E， ∴（L+2﹣x）2＝x2+（5+4）2． ∴L﹣x+1＝14， ∴x＝12． 答：旗杆c的高度12米． 19．（2024秋•邛崃市校级期中）·【C】我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　1　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　　 ； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 【答案】（1）1； （2）； （3）h（BC）的值为13或﹣3． （2）如图4中，求出高BH即可解决问题； （3）如图3中，分两种情况讨论：当△ABC是锐角三角形时：当△ABC是钝角三角形时：利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC， ∴BD＝DC＝3， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝6﹣5＝1， 故答案为：1； （2）如图4中，作BH⊥AC于H， ∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12， ∴AC13， ∵•AC•BH•AB•BC， ∴13BH＝5×12， ∴BH， ∴h（AC）＝AC﹣BH＝13， 故答案为：； （3）如图3中，分两种情况讨论： 当△ABC是锐角三角形时： ∵AD⊥BC，AB＝25，AC＝17，AD＝15， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝252﹣152＝400，CD2＝AC2﹣AD2＝172﹣152＝64， ∴BD＝20，CD＝8， ∴BC＝BD+CD＝28， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝28﹣15＝13； 当△ABC是钝角三角形时： 同理可得BD＝20，C′D＝8， ∴BC′＝BD﹣C′D＝12， ∴h（BC）＝BC′﹣AD＝12﹣15＝﹣3， 综上所述：h（BC）的值为13或﹣3． 20．（2024秋•浦口区校级期中）·【C】张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示； （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想． 【答案】见试题解答内容 （2）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【解答】解：（1）由图表可以得出： ∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1， n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1， n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1， … ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1． （2）a、b、c为边的三角形时： ∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1， c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $