5.3.1 配套问题和工程问题（课件）--2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的配套问题和工程问题，梳理配套比例、单位1工程模型等核心知识点。通过现实情境填空（如学生人数、工人分配）和工作效率公式复习导入，衔接方程基础，为列方程解决实际问题构建学习支架。 其亮点在于以例题（螺栓螺母配套、图书整理工程）和变式练习（传统文化、条件开放题）为载体，培养学生数学思维的推理意识（分析等量关系）和数学语言的模型意识（建立方程模型）。通过易错点总结和分层作业，帮助学生形成结构化认知，提升解决实际问题能力，也为教师提供系统教学资源。

5.3.1 配套问题和工程问题 专项练习（人教版七年级上册） 一、核心知识点梳理 1. 配套问题核心等量关系：生产的两种零件数量满足题目固定配套比例，是列方程的关键。常见比例如“1个A配2个B”，则A数量×2=B数量，所有配套问题均围绕“配比均衡、刚好配套”建立等式。 2. 配套问题解题思路：一般设生产时间或生产人数为未知数，分别表示出两种产品的总产量，再根据配套比例列出一元一次方程，求解后验证产量是否符合配套要求。 3. 工程问题基本概念：工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷工作总时间，工作量=工作效率×工作时间，合作效率等于各单人效率之和。 4. 工程问题等量关系：单人工作量或合作工作量相加等于总工作量1，常见题型有单人独做、多人合作、先做后合、中途停工等，核心是梳理各阶段工作量之和为单位1。 5. 高频易错点：配套问题比例关系写反、产量对应错误；工程问题忘记把总工程量看作1、效率计算错误、分段工作量漏算，是应用题最常见丢分点。 二、基础专项练习题 （一）填空题（每空2分，共30分） 1. 工程问题中，通常把总工作量看作________，工作效率=________。 2. 一项工程甲单独做需10天完成，甲的工作效率是________，甲乙合作效率为________。 3. 若1个螺栓配2个螺母刚好配套，则螺栓数量×________=螺母数量。 4. 一项工作效率为1/8，工作4天，完成的工作量是________。 5. 车间工人生产桌椅，1张桌子配4把椅子，若生产x张桌子，则需配套生产________把椅子。 6. 甲单独做6天完成，乙单独做12天完成，两人合作一天可完成总工程的________。 7. 配套问题列方程的核心是根据题目中的________建立等量关系。 （二）选择题（每题4分，共24分） 1. 一项工程甲单独5天完成，甲的效率是（） A. 5 B. 1/5 C. 1/10 D. 1 2. 2个大零件配3个小零件刚好配套，下列等式正确的是（） A. 2大=3小 B. 3大=2小 C. 大=小 D. 2大=小 3. 甲效率1/4，乙效率1/6，甲乙合作效率为（） A. 1/10 B. 5/12 C. 1/24 D. 7/12 4. 车间生产螺丝和螺帽，1螺丝配1螺帽，刚好配套时（） A. 螺丝数量＞螺帽 B. 螺丝数量=螺帽 C. 螺丝数量＜螺帽 D. 无固定关系 5. 一项工程完成一半的工作量是（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4 6. 工程问题求工作时间的公式是（） A. 工作量÷效率 B. 效率×工作量 C. 1÷工作量 D. 效率之和×1 （三）解答题（共46分） 1.（12分）配套问题：某车间22名工人生产螺栓和螺母，每人每天生产螺栓120个或螺母200个，1个螺栓配2个螺母，如何分配工人刚好配套？ 2.（18分）工程基础题：一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做24天完成。（1）甲乙合作一天完成多少？（2）两人合作几天可以完成全部工程？ 3.（16分）工程进阶题：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，甲先做2天，剩下的甲乙合作，还需多少天完成？ 三、参考答案及详细解析 （一）填空题解析 1. 单位1、总工作量÷工作时间；2. 1/10、1/10+乙效率；3. 2；4. 1/2；5. 4x；6. 1/4；7. 配套比例。 （二）选择题解析 1. B（总工作量1，效率=1÷5）；2. B（比例交叉相等，2:3即3大=2小）；3. B（1/4+1/6=5/12）；4. B（一一配套，数量相等）；5. C（总工程量为1，一半为1/2）；6. A（工作时间=工作量÷工作效率）。 （三）解答题解析 1. 解：设x人生产螺栓，(22−x)人生产螺母。列方程：2×120x=200(22−x)，化简得240x=4400−200x，移项合并440x=4400，x=10。答：10人生产螺栓，12人生产螺母。 2. 解：甲效率1/12，乙效率1/24。（1）合作效率=1/12+1/24=1/8；（2）合作时间=1÷1/8=8天。答：合作一天完成1/8，8天完成全工程。 3. 解：设还需x天。甲效率1/10，乙效率1/15，甲先做2天完成2/10=1/5，剩余4/5。列方程：(1/10+1/15)x=4/5，化简得1/6 x=4/5，解得x=24/5=4.8。答：还需4.8天。 练习总结：本套练习聚焦本节两大必考应用题题型——配套问题与工程问题，精准梳理比例配套、单位1工程模型的核心等量关系。题型由浅入深，覆盖基础概念辨析、单人及合作工程计算、人员分配配套方程、分段工程求解等经典考题，针对性纠正比例写反、效率算错、工作量漏算等高频易错点。帮助学生熟练掌握两类应用题的建模思路，学会从实际情境提取等量关系列方程，夯实一元一次方程应用题解题能力，适配课堂训练与单元检测。（全文1321字） 人教版数学（新教材）七年级上册 5.3.1配套问题和工程问题 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 一元一次方程 学习目标 学习目标 1.理解配套问题和工程问题的背景. 2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程. 3.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系. 学习目标 2 1.填空： （1）某学校七、八年级共有学生600人，若七年级有x人，则八年级有_________人. （2）工厂里共有100名工人分别生产衣服和裤子，若生产衣服的工人有a人，则生产裤子的人有___________人. (600 – x) (100 - a) 2.说一说工作效率的计算公式？ 作效率= 情境导入 从前面的学习可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具．本节我们重点研究如何用一元一次方程解决实际问题． 情境导入 4 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 螺母数量＝螺栓数量×2 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。 探究新知 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母， 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程 2 000(22－x)＝2×1 200x 解方程，得 x＝10 进而 22－x＝12 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 探究新知 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 螺母数量＝螺栓数量×2 2 000 x ＝2×1 200(22－x) 探究新知 一道应用题中往往含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，其他的未知量可用含有未知数的式子来表示，从而列出方程．一般问什么设什么，如本题，有两个未知数，设其中哪个为 x 都可以，这两种设法之下所列的方程也没有难易区别． 探究新知 1. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史 上素有“汝窑为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具 由1个茶壶和6只茶杯组成.用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶 杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用 千克瓷泥做茶壶时， 恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根据题意，下面所列方程正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著 作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日 织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是： 现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每 天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一 尺布，30天完工，问一共织了多少布？( ) C A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺 返回 举一反三 10 3.某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和 4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿 （每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿 恰好配套，每天应该安排____名工人生产桌面. 20 【点拨】设每天应该安排名工人生产桌面，则有 名 工人生产桌腿，由题意，得，解得 ， 所以每天应该安排20名工人生产桌面. 返回 举一反三 11 提示：在工程问题中： 工作量=人均效率×人数×时间； 总工作量=各部分工作量之和. 题中的工作总量是多少呢？ 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 探究新知 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1. 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人 1 h完成的工作量）为_____，x人先整理 4 h 完成的工作量为_____，增加2人后再整理 8 h 完成的工作量为___________，这两个工作量之和应等于总工作量. 探究新知 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 解：设先安排x人整理4h， 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程 + =1 解方程，得 x=2. 答：应先安排 2人进行整理. 探究新知 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 一元一次方程 实际问题 设未知数,列方程 解方程 一元一次方程的解 （x＝m） 实际问题 的答案 检验 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 1．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． B 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 2．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划有一部分人先做，然后增加4人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，则下列判断正确的是（    ） A．这批图书共有3000本 B．具体应先安排7人工作 C．把一个人的工作效率看为1，设安排人先工作，则 D．把总工作量设看为1，设安排人先做，则 C 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 3．现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，现由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．问：甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程．设甲、乙两队合做x天完成剩下的工程． (1)如果把总工作量设为1，则甲队一天完成的工作量为_________，乙队一天完成的工作量为_______，甲队先做10天完成的工作量为_______，甲乙合做完成的工作量为_________（用含x的式子表示） (2)列方程求甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程． 解：（2）由题意列方程，得，解得． 答：甲、乙两队合做30天完成剩下的工程． 探究新知 【知识技能类作业】选做题： 4.某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 解：设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名， 根据题意得，， 解得：， 名，   答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿． 探究新知 工程问题中的方案选择问题 难点 【分类讨论思想】某玩具公司要生产若干件高级玩具，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批玩具，已知甲厂单独加工这批玩具比乙厂单独加工这批玩具多用20天，甲厂每天可加工16 件玩具，乙厂每天可加工24件玩具，玩具公司每天需付给甲厂800元加工费，每天需付给乙厂1200元加工费. (1)这个玩具公司要生产多少件高级玩具?   当堂检测 20 工程问题中的方案选择问题 难点 (2)在加工过程中(无论单独加工，还是两厂合作)，玩具公司需派一名技术员每天给加工厂提供指导，并为该技术员提供每天20元的额外补助，玩具公司制订玩具加工方案如下:可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作完成请你帮助玩具公司选择一种既省钱又省时的加工方案.   当堂检测 21 4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅 与徒弟每小时各检修多长的管道. 条件： ①该管道长 ； ②师傅每小时比徒弟多检修 ； ③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务； ④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务； 在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可） 举一反三 22 【解】（答案不唯一，写一种即可） 当选择①②③时， 设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择①②④时， 举一反三 23 设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择②③④时， 设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 ， 答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 . 返回 举一反三 一元一次方程解决实际问题的过程 设未知数、列方程 解方程 检验所得结果、确定答案 课堂小结 谢谢观看 THANKS $