5.3.4费用综合比较（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的费用综合比较问题，涵盖两种收费模型、解题思路及分界点等核心知识点。通过激励语导入，以生活场景问题为起点，从基础知识点梳理到专项练习，再到“不同能效空调费用比较”探究活动，构建从理论到实践的学习支架。 其亮点是以电话套餐、租车等生活实例为载体，引导学生列代数式、解方程、分类讨论分界点，培养数学眼光观察、数学思维思考、数学语言表达现实世界的核心素养。采用“梳理-练习-探究-检测”流程，帮助学生建立解题标准，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

5.3.4 费用综合比较 专项练习（人教版七年级上册） 一、核心知识点梳理 1. 题型本质：费用综合比较问题是一元一次方程典型实际应用，常见于电话套餐、租车方案、购物优惠、会员收费、出行付费等生活场景，核心是两种不同收费方案的对比计算。 2. 两种基本收费模型：①固定费用+变动费用，总费用=固定基础费+单次费用×数量；②无固定费用，总费用=单次费用×数量，大部分题型围绕这两类模型建立代数式。 3. 解题核心思路：先设统一的未知量，如使用次数、消费数量、出行里程等；再分别用含未知数的式子表示两种方案的总费用；最后根据费用相等、方案更省、费用高低列方程或比较大小。 4. 分界点意义：令两种方案费用相等，解出的未知数数值为最优分界点。当变量小于、等于、大于分界点时，对应最优省钱方案不同，是本题型核心考点。 5. 高频易错点：代数式列写错误、混淆固定费与变动费、忘记分段讨论、分界点判断颠倒、单位不统一，是费用比较应用题的主要丢分点。 二、基础专项练习题 （一）填空题（每空2分，共30分） 1. 费用比较问题中，通常先设________，再分别列出两种方案的________。 2. 方案A：月租10元，每次使用收费0.5元，使用x次总费用为________元。 3. 方案B：无月租，每次使用收费1元，使用x次总费用为________元。 4. 当两种方案费用相等时，求出的未知数的值叫做________。 5. 租车甲方案：起步20元，每千米1元，行驶x千米费用为________元。 6. 购物会员费30元，会员购物每件优惠2元，购买x件优惠后总花费可表示为________。 7. 若固定费用越高，使用次数越多时，该方案越________（填划算/不划算）。 （二）选择题（每题4分，共24分） 1. 方案一：固定15元+0.4元/次；方案二：0.7元/次，费用相等时次数为（） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 2. 当使用次数超过分界点后，通常哪种方案更省钱（） A. 无固定费方案 B. 有固定费方案 C. 费用相同 D. 无法判断 3. 甲收费：y₁=5x+20，乙收费：y₂=8x，当x=5时（） A. 甲更省 B. 乙更省 C. 费用相等 D. 无法比较 4. 费用比较问题的解题关键是（） A. 设未知数 B. 列出两种费用代数式 C. 计算数值 D. 估算结果 5. 两种收费方案费用相等时，下列说法正确的是（） A. 任意次数都一样 B. 该次数下两方案无差别 C. 只能选第一种 D. 只能选第二种 6. 当使用次数很少时，更划算的是（） A. 高固定费方案 B. 低单次费方案 C. 无固定费方案 D. 都一样 （三）解答题（共46分） 1.（12分）基础对比题：某手机流量两种套餐，A套餐月租18元，每GB流量3元；B套餐无月租，每GB流量5元。设使用流量x GB，分别列出两种套餐的费用式子。 2.（18分）分界点计算题：承接上题，求流量使用多少GB时，两种套餐费用相等；并说明流量多于、少于该数值时分别选哪种套餐划算。 3.（16分）实际应用题：班级外出租车，甲公司包车费80元基础费，每人加收2元；乙公司无基础费，每人收费6元。求多少人乘车时，两家费用相同，并分析人数变化的优选方案。 三、参考答案及详细解析 （一）填空题解析 1. 未知数、费用表达式；2. 10+0.5x；3. x；4. 分界点；5. 20+x；6. 30+（原价-2）x；7. 划算。 （二）选择题解析 1. B（列方程15+0.4x=0.7x，解得x=50）；2. B（高频规律：用量大选低单价、有固定费方案）；3. B（x=5时，y₁=45，y₂=40，乙更省）；4. B（列出两种费用代数式是解题核心）；5. B（分界点处两方案费用一致）；6. C（用量少，避免固定费用更省钱）。 （三）解答题解析 1. 解：A套餐费用：18+3x；B套餐费用：5x。 2. 解：令18+3x=5x，移项合并得2x=18，解得x=9。答：流量9GB时费用相等；流量大于9GB选A套餐，流量小于9GB选B套餐更划算。 3. 解：设x人乘车，甲费用80+2x，乙费用6x。列方程80+2x=6x，解得x=20。答：20人时费用相同；人数多于20人选甲，人数少于20人选乙更省钱。 练习总结：本套练习聚焦费用综合比较核心题型，系统讲解固定+变动收费、纯变动收费两类经典模型，覆盖代数式列写、费用相等求分界点、分类优选方案等必考考点。针对性解决学生式子列错、分界点判断颠倒、不会分类讨论等易错问题，帮助学生建立“列式—求临界点—分类判断”的标准解题流程，熟练运用一元一次方程解决生活中的方案优选问题，完善方程应用题知识体系，适配单元复习与期末基础考查。（全文1321字） 人教版数学（新教材）七年级上册 5.3.4费用综合比较 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 一元一次方程 学习目标 学习目标 1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件列表对比，对不同能耗的空调综合费用进行比较. 2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力. 学习目标 2 探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两 款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 两款空调的部分基本信息表 探究新知 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 （1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？ （2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？ 空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量 空调的售价与电费 使用时间 综合费用＝空调的售价＋电费 探究新知 （3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？ 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000＋0.5×640t，即 3000＋320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600＋0.5×800t，即 2600＋400t. （4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？ 3000＋320t＝2600＋400t， 解得 t＝5. 探究新知 （5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 （3000＋320t）＋（80t－400）， 也就是 3000＋320t＋80（t－5）. 这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 探究新知 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。 通常，1级能效电器既节能又省钱！ 探究新知 1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值相等的情况； 2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论． 解答这类问题的一般步骤 探究新知 1.某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具 体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔 偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________. 汽车修理费 元 赔偿率 … … 元 举一反三 9 【点拨】因为 （元）， （元）， （元），且 ， ， ，所以此人的汽车修理 费的取值范围是 ，由题意，得 ，解得 ， 所以此人的汽车修理费是 元. 返回 举一反三 10 【知识技能类作业】必做题： 1．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ） A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 D 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 2．今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 C 探究新知 【知识技能类作业】必做题： 3．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 2 探究新知 【知识技能类作业】选做题： 4．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 解：（2）根据题意可得：， 解得： ． 故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少． 探究新知 1.某超市为促销商品，推出如下优惠方案: 一次性购物不超过100元不享受任何优惠； 一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折； 一次性购物超过300元一律8折. 李明两次购物，实际付款金额分别为80元、252元，如果李明一次性购买这些物品，那么应付款_____________元. 288或316 当堂检测 2.某水果批发市场橙子的价格如表: (1)小凯分两次共购买40千克,第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出217元,求小凯第一次和第二次分别购买橙子的数量; 当堂检测 (1)小凯分两次共购买40千克,第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出217元,求小凯第一次和第二次分别购买橙子的数量; 解:(1)设小凯第一次购买xkg橙子,则第二次购买(40-x)kg橙子. 由笫二次购买的数量多于第一次购买的数量可知，第一次购买橙子不超过20kg,第二次购买橙子在20kg以上但不超过40kg. 依题意得6x+5(40-x)=217, 解得x=17,所以40-x=23. 答:小凯第一次购买17kg橙子，第二 次购买23kg橙子. 当堂检测 (2)小坤分两次共购买100千克,第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买橙子的单价不相同,共付出436元,请问小坤第一次、第二次分别购买橙子多少千克?（列方程求解) (2)设小坤第一次购买ykg橙子,则第二次购买(100-y)kg橙子. 由第二次购买的数量多于第一次购买的数量可知,第一次购买橙子少于50 kg,第二次购买橙子多于50kg. 因为两次购买橙子的单价不相同,所以第 一次购买的情况有两种:不超过20kg或 在20kg以上但不超过40kg. 当堂检测 2.某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准： 起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费. 乙公司收费标准：起步价20元，超过8千米后，超过的部分 按照每千米1.3元收费.已知车辆行驶千米.本题中 取整数， 不足1千米的路程按1千米计费. 举一反三 19 （1）根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程/千米 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费/元 9 12.2 17 ____ 36.2 … 乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ … 28.2 20 35.6 举一反三 20 【解】由题意得当 时，甲公司收费9元； 当时，甲公司收费 （元）; 当 时，乙公司收费20元； 当时，乙公司收费 （元）. 举一反三 21 （2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙 两公司的收费分别是多少?（结果用化简后的含 的式子表示） 由题意得当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲 公司的收费为 （元），乙公司 的收费为 （元）. （3）当行驶路程为____千米时，两家公司的费用相同. 18 【点拨】由题意得,解得 ,所以 当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同. 返回 举一反三 22 3.［2025石家庄校级月考］某校为了让学生体验农耕劳动， 开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动.已知 甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是15元（菜苗的质 量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下 所示. 甲菜苗基地：若购买不超过10捆，则按标价付款；若一次性 购买10捆以上，前10捆按标价付款，超过10捆的部分按标价 的 付款； 乙菜苗基地：按标价的 付款. 举一反三 23 （1）若学校决定购买该种菜苗15捆，则在甲菜苗基地购买， 需付款_____元，在乙菜苗基地购买，需付款_____元； （2）设学校购买该种菜苗 捆，补全下列表格 （需化简）； 195 180 的取值范围 在甲菜苗基地购买 的费用/元 在乙菜苗基地购买 的费用/元 小于等于10 _____ 大于10 ________ _____ 举一反三 24 （3）根据购买该种菜苗的捆数选择哪个基地更省钱. 【解】①当 小于等于10时，选择乙菜苗基地更省钱； ②当大于10时，由，得 ， 所以易得当 时，选择乙菜苗基地更省钱； 当 时，选择甲菜苗基地更省钱. 当 时，两个菜苗基地购买费用一样. 返回 举一反三 25 方案选择问题 列方程 分类讨论 列代数式 　　在分类讨论的某个范围内， 借助字母表达式表示费用 　　不同方案的选择的转折点，可通过列方程计算寻找 弄清如何分类 课堂小结 谢谢观看 THANKS $