30.1 直线与圆 题型专练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以切线性质与判定为核心，通过5大题型构建“性质应用-判定证明-定理计算”的方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线性质求角度/证角相等|1典例+3举一反三|连半径得垂直，结合圆周角定理转化角关系|从切线垂直半径基础性质，延伸至角的等量代换与证明| |切线性质求边长/证边相等|1典例+4举一反三|构造直角三角形，用勾股定理或相似计算边长|由切线垂直关系构建几何模型，实现代数计算与几何证明结合| |切线的判定|1典例+4举一反三|“连半径证垂直”或“作垂直证半径”两种路径|围绕切线判定定理，强化条件验证与逻辑推理| |切线长定理线段计算|1典例+4举一反三|利用切线长相等，结合勾股定理或方程思想|以切线长定理为核心，整合线段等量关系与计算技巧| |切线长角计算|1典例+2举一反三|切线长定理与圆周角定理联动求角|通过切线长性质关联圆心角与圆周角，深化角的转化能力|

人教版（2024）九年级上册 30.1 直线与圆 题型专练 【题型1】用切线性质求角度或证角相等 【典例】如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（　　） A．22° B．44° C．46° D．58° 【举一反三1】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为__________． 【举一反三2】如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．求证：AD平分∠CAE； 【举一反三3】如图，四边形内接于圆，为圆的直径，点为弧的中点，的延长线上有一点，与圆相切于点，与的延长线相交于点． (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 若，，求的长． 【题型2】用切线性质求边长或证边相等 【典例】如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 【举一反三1】如图，⊙A与x轴负半轴相切于点B，交y轴于点C（0，2）、D（0，8），则点A的坐标为（　　） A．（﹣3，5） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣5，3） 【举一反三2】如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是 __________． 【举一反三3】如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 __________． 【举一反三4】综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：__________； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【题型3】切线的判定 【典例】如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（　　） A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 【举一反三1】下列说法中，不正确的是（　　） A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【举一反三2】在△ABO中，OA＝OB＝2 cm，⊙O的半径为1 cm，当∠AOB＝__________时，直线AB与⊙O相切． 【举一反三3】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点的延长线上，且满足． (1) 求证：的切线； (2) 若，，求的半径． 【举一反三4】如图，是外接圆，为的直径，延长至点D，连接，过点B作，交于点E，． (1) 求证：是的切线； (2) 若，且，求的半径． 【题型4】与切线长定理有关的线段的计算 【典例】如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D是⊙O上一点，连接BD、CD．若∠BDC=60°，AB=5，则⊙O的半径长为（　　） A．5 B． C．5 D． 【举一反三1】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则∠BOC＝__________度，⊙O的半径是 __________cm，BE+CG＝__________cm． 【举一反三2】如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为__________． 【举一反三3】如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY=0.65m，并且XY⊥WY，这个油桶的底面半径是多少？为什么？ 【举一反三4】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P． （1）求证：BC∥OA； （2）若BC＝10，OA＝13，求PA的长． 【题型5】与切线长有关的角的计算 【典例】如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠C=50°，则∠PBA等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【举一反三1】如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是__________度． 【举一反三2】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°．求∠P的度数． 人教版（2024）九年级上册 30.1 直线与圆 题型专练（参考答案） 【题型1】用切线性质求角度或证角相等 【典例】如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（　　） A．22° B．44° C．46° D．58° 【答案】B 【解析】解：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝∠OCE＝90°， ∵∠ACE＝22°， ∴∠OCA＝90°﹣∠ACE＝68°． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝68°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝44°． ∵DB为⊙O的切线， ∴OB⊥DB， ∴∠OBD＝90°， ∵∠BOC+∠OCD+∠OBD+∠D＝360°， ∴∠D+∠BOC＝180°． ∵∠BOC+∠AOC＝180°， ∴∠D＝∠AOC＝44°． 故选：B． 【举一反三1】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为__________． 【答案】30° 【解析】∵PA为切线， ∴OA⊥PA， ∴∠CAP＝90°， ∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∴∠PBA＝∠PAB＝75°， ∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 【举一反三2】如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．求证：AD平分∠CAE； 【答案】证明：连接OD，如图， ∵直线l与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CE， ∵AE⊥CE， ∴OD∥AE， ∴∠ODA＝∠EAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠EAD， ∴AD平分∠CAE； 【举一反三3】如图，四边形内接于圆，为圆的直径，点为弧的中点，的延长线上有一点，与圆相切于点，与的延长线相交于点． (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 若，，求的长． 【答案】(1) 证明：点为弧中点， ， ， 为圆直径，与圆相切于点， ，， ，， ； (2) 证明：如下 ，， ， ， 又， ， ； (3) 解：为圆直径， ， ， ， 又， ， ， ，； 点为弧中点， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ． 【题型2】用切线性质求边长或证边相等 【典例】如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接， ∵切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三1】如图，⊙A与x轴负半轴相切于点B，交y轴于点C（0，2）、D（0，8），则点A的坐标为（　　） A．（﹣3，5） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣5，3） 【答案】C 【解析】解：如图所示，过点A作AE⊥CD与点E，连接AB，AC， ∵⊙A与x轴切于点B，设圆的半径为r， ∴AB⊥OB，且AE⊥OE，∠BOE＝90°， ∴四边形ABOE是矩形， ∴AB＝AC＝OE＝r， ∵C（0，2），D（0，8）， ∴OD＝8，CD＝8﹣2＝6， ∴， ∴E（0，5）， 在Rt△ACE中，， ∴OE＝AB＝5， ∴A（﹣4，5）， 故选：C． 【举一反三2】如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是 __________． 【答案】 【解析】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切， 设切点为F，连接AF，则AF⊥BC， 等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°， ∴CF＝BF＝1． 在Rt△ACF中，AF＝＝， ∴⊙A的半径长是． 故答案为：． 【举一反三3】如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 __________． 【答案】2 【解析】解：如图，连接AB，AP． 根据切线的性质定理，得AB⊥PB． 要使PB最小，只需AP最小， 则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P， 此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4， 在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2， ∴PB＝＝2． 则PB最小值是2． 故答案为：2． 【举一反三4】综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：__________； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【答案】（1）解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； （2）解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设是半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 所以杯口的直径为． 【题型3】切线的判定 【典例】如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（　　） A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 【答案】D 【解析】A．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝90°， ∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线， 故选项A不符合题意； B．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝∠OMP， ∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线， 故选项B不符合题意； C．∵OM2+PM2＝OP2， ∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线， 故选项C不符合题意； D．点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判断出PM是⊙O的切线， 故选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三1】下列说法中，不正确的是（　　） A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】D 【解析】A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线这是切线的定义同时也是切线的一种判定方法，故本选项说法是正确的； B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线是切线的判定定理，故本选项说法是正确的； C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线即d＝r，故本选项说法是正确的； D．垂直于半径的直线是圆的切线也有可能是圆的割线，故本选项说法是不正确的； 故选：D． 【举一反三2】在△ABO中，OA＝OB＝2 cm，⊙O的半径为1 cm，当∠AOB＝__________时，直线AB与⊙O相切． 【答案】120° 【解析】如图，连接OC， ∵⊙O与直线AB相切于点C； ∴OC⊥AB；而OA＝2，OC＝1， ∴∠A＝30°；而OA＝OB， ∴∠B＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°． 【举一反三3】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点的延长线上，且满足． (1) 求证：的切线； (2) 若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵的直径， ∴， ∴， ∴． 又∵点C在上， ∴是的切线． (2) 解：由（1）得， ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【举一反三4】如图，是外接圆，为的直径，延长至点D，连接，过点B作，交于点E，． (1) 求证：是的切线； (2) 若，且，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； (2) 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴半径为． 【题型4】与切线长定理有关的线段的计算 【典例】如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D是⊙O上一点，连接BD、CD．若∠BDC=60°，AB=5，则⊙O的半径长为（　　） A．5 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】解：连接OC，OB，OA， ∵∠BDC=60°， ∴∠BOC=2∠BDC=120°， ∵AB、AC是⊙O的切线， ∴∠ACO=∠ABO=90°， ∴∠BAC=60°， ∴∠OAB=∠BAC=30°， ∴OA=2OB ∵AB=5，由勾股定理，得 ∴OB=， 故选：B． 【举一反三1】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则∠BOC＝__________度，⊙O的半径是 __________cm，BE+CG＝__________cm． 【答案】90；4.8；10 【解析】解：连接OF； 根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°； ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴BC＝10cm， ∵OF⊥BC， ∴OF＝＝4.8cm， ∴BE+CG＝BC＝10cm． 【举一反三2】如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为__________． 【答案】3 【解析】解：过点O作OC⊥AB于点C， ∴AC＝AB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，OA⊥PA， ∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠PAB＝60°， ∴∠OAC＝90°﹣∠PAB＝30°， 在Rt△AOC中，OA＝3，∠OAC＝30° ∴OC=OA= 由勾股定理，得 ∴AC＝， ∴AB＝2AC＝3． 故答案为：3． 【举一反三3】如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY=0.65m，并且XY⊥WY，这个油桶的底面半径是多少？为什么？ 【答案】解：这个油桶的底面半径为0.65m, 理由如下： 如图，设圆心为O，连接OX、OW， 由题意可知XY、YW为圆的切线， ∴OW⊥WY，OX⊥XY，且XY⊥YW，OW=OX， ∴四边形OXYW为正方形， ∴OX=WY=0.65m, 即油桶的底面半径为0.65m. 【举一反三4】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P． （1）求证：BC∥OA； （2）若BC＝10，OA＝13，求PA的长． 【答案】（1）证明：如图1，连接OB，延长AO交⊙O于点D， ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴∠P+∠AOB＝180°， ∵∠AOB+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝∠P， ∵∠COA＝∠P， ∴∠COA＝∠BOD， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO， ∵∠COB+2∠BCO＝180°，∠COB+2∠COA＝180°， ∴∠COA＝∠BCO， ∴BC∥OA； （2）解：如图2，延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于F， ∴BF＝CF＝BC＝5， ∵OC＝OA＝13， 由勾股定理得：AE＝OF＝＝12， ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点， ∴PA＝PB， 设PA＝x，则PB＝x，PE＝x﹣12， ∵BC∥OA，OA⊥PA， ∴BE⊥PA， ∴∠PEB＝90°， ∴PB2＝PE2+BE2， ∴x2＝（x﹣12）2+（13+5）2， 解得：x＝， ∴PA＝． 【题型5】与切线长有关的角的计算 【典例】如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠C=50°，则∠PBA等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【解析】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠C=50°， ∴∠AOB=2∠C=100°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA==40°， ∴∠PBA=90°-40°=50°． 故选：A． 【举一反三1】如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是__________度． 【答案】99 【解析】解：∵EB、EC是⊙O的切线， ∴EB＝EC， 又∵∠E＝46°， ∴∠ECB＝∠EBC＝67°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠BCE+∠DCF）＝180°﹣99°＝81°； ∵四边形ADCB内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝180°﹣81°＝99°， 故答案为：99． 【举一反三2】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°．求∠P的度数． 【答案】解： ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA， ∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线， ∴AC⊥AP， ∴∠CAP=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°． 学科网（北京）股份有限公司 $