精品解析：云南昆明市第三中学2027届高三上学期9月月考数学试卷

昆明市第三中学高2027届高三年级上学期9月月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求集合，再求集合的交集. 【详解】由，得，∴，∴. 故选：C． 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算坐标表示求坐标，根据平行关系列方程求参数即可. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 4. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 5. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 6. 已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 8. 已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正的零点， 当时，方程为，即 因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 公比 B. 数列是单调递减数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项和公比，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式一一判断各选项，即得答案． 【详解】若等比数列的公比为1，则，；，矛盾， 故， 由于，，，解得，，A正确； 故，数列是单调递增数列，B错误，C正确； ，D错误. 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 11. 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线方程确定准线方程判断A，根据抛物线的定义及焦点弦、通径的性质判断B，由题设，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求三角形面积判断C，设，过抛物线上一点的切线方程写出两条切线方程并联立求出交点横坐标判断D. 【详解】 A：由，得，焦点为，准线方程为，故A正确； B：由抛物线定义，而为抛物线的焦点弦， 根据抛物线的性质，焦点弦中通径的长度最短，即， 当且仅当直线垂直于轴时为通径长，则最小值为8，故B正确； C：直线倾斜角为，其方程为，代入，得， 设，则， ， 则的面积为，故C错误； D：若，则点处的切线方程为，点处的切线方程为， 其中且均不为0，，，联立两切线方程， 消去得，则交点的横坐标①， 因为直线过焦点，则，联立，则， 所以，代入①得，故两切线的交点恒在定直线（即抛物线准线）上，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,向量，，且 ，则=________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用求得m，再利用向量模的公式求解. 【详解】解：， ， 解得， 所以， ， 故答案为：． 13. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 14. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论： ①； ②为等比数列； ③数列中存在大于2的项； ④数列中无最小项. 其中所有正确结论的序号为____________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】令和可判断①；令求出结合等比数列定义可判断②；利用和的关系得出，然后利用数列的各项均为正数可判断③；利用数列的单调性可判断④. 【详解】令可得，解得或（舍去）， 令可得，即，解得或（舍去），故①正确； 令可得，即，解得或（舍去）， ，所以不是等比数列，故②错误； 由可变形为，， 两式相减得，整理可得， 由可得，结合可知数列中不存在大于2的项，故③错误； 由可得，所以，所以数列单调递减无最小项.故④正确. 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 年月日，的正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取人，并从中随机抽取人作进一步分析，记为人中“忠实粉丝”的人数，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由频率直方图的性质得，进而由频率直方图计算平均值，并用样本估计总体可得； （2）先由分层抽样确定两组所抽取的人数，进而可得服从超几何分布，从而可得的分布列及期望. 【小问1详解】 由，解得. . 所以样本中该产品用户每日的平均使用时长为分钟，由样本估计总体， 因此估计该产品用户每日的平均使用时长（分钟）. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，频率，频率. 所以两组频率之比为，所以用分层抽样抽取的人中， 抽取人（非“忠实粉丝”），抽取人（“忠实粉丝”）， 从人中任取人，的可能取值为，，， 所以服从超几何分布，. ，，， 所以的分布列为 所以的期望. 因此. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理得到，进而由余弦定理得到，求出； （2）由条件结合正弦定理可得外接圆半径，再结合正弦定理求，结合余弦定理和基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 由二倍角公式可得，， 又， 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 所以，又， 所以． 【小问2详解】 由正弦定理得，，其中为外接圆半径．． 由正弦定理得，． 由余弦定理得：，， 由基本不等式可知：， 即有，当且仅当时取等号， 所以当时，的周长取最大值，最大值为． 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． （1）求证：为的中点； （2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】（1）在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故． 18. 如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）如图，设，， 则，由题意有． 直线的斜率，即的斜率为， 所以直线的方程，所以． 又在椭圆上，． ． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）由椭圆标准方程确定，结合时在轴上的射影为椭圆焦点的条件，将点代入椭圆方程，结合的关系求解，即可得到椭圆的标准方程. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求解得到两点坐标，由轴得到点坐标，进而求出直线的方程，将直线与椭圆方程联立求得点坐标，计算直线的斜率，验证为定值即可. （ii）利用两点间距离公式分别计算与的长度，将表示为关于的函数，结合的取值范围，分析函数的取值特征，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意有，所以． 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以． 又，所以， 所以，即，解得， 所以，故的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解： ， 而， 由（ⅰ）知 ． 又， ． 当且仅当，即时等号成立，所以． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2027届高三年级上学期9月月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 公比 B. 数列是单调递减数列 C. D. 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 11. 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,向量，，且 ，则=________. 13. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 14. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论： ①； ②为等比数列； ③数列中存在大于2的项； ④数列中无最小项. 其中所有正确结论的序号为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 年月日，的正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取人，并从中随机抽取人作进一步分析，记为人中“忠实粉丝”的人数，求的分布列和期望． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，求周长的最大值． 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． （1）求证：为的中点； （2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 18. 如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $