专练09 整式的乘法(六) 特殊法分解因式&专练10 找全等(一) 知二寻一证全等-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

9 专练09整式的乘法（六） 特殊法分解因式 【模型分析】用十字相乘法分解因式x2十3x十2的过程如下：先分解二次项系数，分 别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和 右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如分解图），这样，我们就可以得 到：x2+3x十2=(x+1)(x+2). X 1×2+1×1=3 知能检测 1.用“十字相乘法”分解因式： (1)x2-x-6; (2)x2-6x+8; (3)x2-2x-15; (4)(x-4)(x+7)+18; (5)3x2+5x-12; (6)x3-8x2+12x. 2.分解因式：（x2十x)2-8(x2十x)+12. 3.分解因式：x2-(2a+1)x十a2十a. 10 专练10找全等（一） 知二寻一证全等 寻“S”一利用“SSS” 【方法规律】(1)已知两边(SS) 寻“A”一利用“SAS 寻“S”一利用“SAS” (2)已知一边一角(SA) 寻“A”-利用“ASA”或“AAS (3)已知两角(AA):寻“S”一利用“ASA”或“AAS” ⑦典例导练 示范题如图，AC与DB相交于点O,∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=DC 【思路点拨】证明△ABC≌△DCB(ASA),即可得到结论. 【自主解答】 知能检测 1.如图所示，在△ABC中，ADI BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且AD= CD.求证：△ABD≌△CFD. 2.已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D.求证：BD=CD.6=或a=-6=- I∠ABC=∠DCB DE-DC BC=CB ∠E=∠C, 专练08 整式的乘法（五） ∠2=∠1 AE=BC x士上型的变形技巧 ..△ABC≌△DCB(ASA), .△DEA≌△DCB(SAS), ..AB=DC. ..AD-BD. 典例导练 知能检测 又.DF=DF,∴.Rt△ADF≌△Rt (1)八x+=3,(x- 1..ADI BC,CE⊥AB,∴.∠ADB △BDF(HL),.AF=BF x =∠CDF=∠CEB=90°， 知能检测 +)°-4=9-4=5，则x 1 1.连接AC,易证△ABC≌△CDA, x .∠BAD+∠B=∠FCD+∠B =90°，∴∠BAD=∠FCD, 从而∠BAC=∠DCA, ±√5； 在△ABD和△CFD中， ∴.AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE. 2:x+=8，(x+》-d ∠ADB=∠CDF 2.连接BC.在△ABC和△DCB中， 十2+=9，整理得+=7，则 AD=CD AB=DC N∠BAD=∠FCD AC=DB BC=CB 原式=(x2+)°-2=49-2=47. .∴.△ABD≌△CFD(ASA) 2.在△ABE与△ACF中，易证 .∴.△ABC≌△DCB(SSS), 知能检测 △ABE≌△ACF(SAS); .∠A=∠D 1.(1)x2-3x+1=0,..x2+1 ∠B=∠C; 在△AOB和△DOC中， I∠A=∠D 3x,两边同时除以x得：x十1 .AB=AC,AE=AF, .BF=CE; ∠AOB=∠DOC, 3则+=(x+)月 在△BDF与△CDE中， AB-DC -2=9 易证△BDF≌△CDE(AAS),故 .△AOB≌△DOC(AAS) -2=7 BD-CD. .∠ABO=∠DCO. (2)x+=(x+) 专练11找全等（二） 专练13构全等（四）截长补短 -2=49 等量代换证和差 典例导练 -2=47. 如图，在AB上截取AE,使AE=AC, 典例导练 2.(a+)=+()'+4=d+ AE∥BF,.∠DAE=∠DBF, 连接PE,在△AEP和△ACP中， :CD是△ABC的中线，.AD= (AE-AC ()-4+8=(a-2) +8=9, ∠1=∠2，.△AEP≌△ACP BD,在△ADE和△BDF中， AP=AP :a>0,a+2=3. I∠DAE=∠DBF (SAS),∴.PE=PC,在△PBE中，BE AD-BD ,.△ADE≌ >PB-PE,AB-AC>>PB-PC. 专练09 整式的乘法（六） ∠ADE=∠BDF 知能检测 特殊法分解因式 △BDF,∴DE=DF,∴.CE-CF= 延长FD到点G,使DG=BE,连接 知能检测 EF-2DE. AG,易证△ABE≌△ADG(SAS), 1.(1)(x-3)(x+2); 知能检测 ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, (2)(x-2)(x-4); 1.根据AD∥BC可知∠ADC= .EF=BE+FD,DG=BE,.EF (3)(x+3)(x-5): ∠ECF,再根据E是CD的中点 =DG+FD=GF, (4)(x-2)(x+5); 可证△ADE≌△FCE(ASA),从 且AE=AG,AF=AF, (5)(3x-4)(x+3): 而AE=EF,AD=CF,再证 ∴.△AEF≌△AGF(SSS), (6)x(x-2)(x-6). △ABE≌△FBE(SAS),得到AB ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+ 2.(x2+x)2-8(x2+x)+12 =BF=BC十CF,等量代换得到 ∠DAF=∠BAE+∠DAF. =(x2+x-6)(x2+x-2) AB-BC+AD. 专练14构全等（五）中点模型 =(x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 2.,∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD 典例导练 3.原式=x2-(2a+1)x十a(a+1) =∠AFE..∠DBF=∠EAF. (1)①(2)1AD4 =(x-a)[x-(a+1)] 又，∠BDF=∠ADC=90°，BF= 知能检测 =(x-a)(x-a-1). AC,∴.△BFD≌△ACD(AAS), 1.过点E作EF∥AC交AD的延 专练10找全等（一） .FD-CD,BD=AD. 长线于点F,利用AAS证△ABC 知二寻一证全等 .BC=BD+CD=AD+CD= ≌△FBE,从而EF=AC,∠A= 典例导练 (AF+FD)+CD=AF+2CD. ∠F,易证∠A=∠EDF,知 ∠1=∠2，∠3=∠4， 专练12构全等（三）连接与延长 ∠EDF=∠F,从而EF=DE,得 .∠ABC=∠DCB, 典例导练 证AC=DE. 在△ABC和△DCB中， 连接AD、DB,在△DEA和△DCB中， 2.延长OE到F,使得EF=OE,连 52 接DF.易证△BEO≌△DEF :AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴.∠ACE=∠A=x,:EC平分 (SAS),∴.∠BOE=∠F,OB= ∠C=90°，.DC=DE, ∠ACB,.∠ACB=2x,AB= DF,.OB∥DF,.∠ODF+ 在Rt△DCF和Rt△DEB中， AC,∴.∠ABC=∠ACB=2x,在 ∠BOD=180°，∠AOC与 DC=DE △ABC中，.x+2x+2x=180°， ∠BOD互补，.∠AOC DF-DB' x=36°，即∠A=36°； ∠ODF,OA=OB,∴.OA= ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB,∴.CF= (2)54 DF,在△AOC和△FDO中， EB;易证Rt△DCA≌Rt△DEA 知能检测 (OA-DF (HL), 1.设∠C=x,.ED=EC,.∠EDC= ∠AOC=∠FDO,.△AOC≌ AC=AE,.AE=AF+FC,即 ∠C=x,∴∠DEA=∠C+∠EDC OC-DO AE=AF+BE. =2x,DA=DE,.∠DAE= △FDO(SAS),∴.AC=OF,.AC 2.(1)过点C作CF⊥AD于点F, ∠DEA=2x,.∴.∠ADB=∠C十 =20E,即0E-号AC :AC平分∠BAD,CE⊥AB, ∠DAE=3x,AB=AD,∴.∠B= ..CE=CF..CD=CB, ∠ADB=3x,·∠BAC=100°， 专练15构全等六)角平分线模型 ∴.Rt△CFD≌Rt△CEB(HL), .∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=80° 典例导练 ..∠CDF=∠CBE 即3.x+x=80°， (1)SSS(2)>6 .·∠CDF+∠ADC=180°， .x=20°，.∠C=20」 (3)PE=PF,理由如下：如图③，在 ∴./ADC+/ABC=180°： 2.连接AE,设∠B=x,AE=BE, BC上截取BG=BF,连接PG, (2)在Rt△CAF和Rt△CAE中， ∴.∠BAE=∠B=x,∴.∠AEC= ∠BPC=120°，.∠BPF= .CF=CE,AC=AC, 2x,AE=BE=AC,∴.∠C= ∠CPE=180°-∠BPC=60°，易证 ∴.Rt△CAF≌Rt△CAE(HL), ∠AEC=2x,在△ABC中，3x+ △BPF≌△BPG(SAS),.∴.PF= .'.AE=AF, 75°=180°，懈得x=35°，.∠B PG,∠BPF=∠BPG=60°， 又·△CFD≌△CEB, =35°. ∴.∠CPE=∠CPG=60°，在△CPE .DF=BE, 专练21等腰三角形的性质（二） I∠CPE=∠CPG ..AB-AD=(AE+BE)-(AF 整体思想求角 和△CPG中，CP=CP -DF)=BE+DF=2BE=4. 典例导练 ∠PCE=∠PCG 专练18构全等（九）手拉手模型 AB=AC,AE=AF,AD、AG分别为 ∴.△CPE≌△CPG(ASA), 典例导练 △ABC和△AEF的中线， ..PE=PG..'.PE=PF. (1)·∠ACB=∠DCE=&, 1 ./DAC= 2 ∠BAC, EAG 专练16构全等（七】 .∠ACD=∠BCE,在△ACD和 一线等三角模型 CA-CB ∠EAF,.∴.∠DAG=∠DAC+ 典例导练 △BCE中， ∠ACD=∠BCE, :∠EAF+∠BAG=9O°，∠EAF+ CD-CE ∠CAE+∠EAG = 2∠BAC+ ∠AEF=90°，.∠BAG=∠AEF, .△ACD≌△BCE(SAS), :在△AEF和△BAG中， ..AD-BE: ∠CAE+∠EAF= 2∠BAF+ (∠F=∠AGB=90° (2).△ACD≌△BCE,.∠CAD ∠AEF=∠BAG,.△AEF≌ =∠CBE,在△ACF和△BFM中， 2∠CAE,'∠BAF=110°，∠CAE AE=BA ∠CAF+∠FCA =∠FBM+ 24°，.∴./DAG=55°+12°=67°. △BAG(AAS),同理△BCG≌ ∠FMB,∴.∠AMB=∠ACB=a. 知能检测 ACDH,..AF=BG,AG=EF,GC ②CM平分∠AME正确.证明：过 1..AP=BP,AQ=CQ, =DH,BG=CH,,梯形DEFH的 点C作CG⊥AD于点G,CH⊥BE .∴.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, 面积=合(EF+DH)·FH=80. 于点H,△ACD≌△BCE, ∠BAC=105°，∴.∠BAP+ C.SAD=SAE,7 ADXCG月 ∠CAQ=∠B+∠C=180 1 SAAEF-SAAIG 2 AF·EF=9, ∠BAC=180°-105°=75°， 2 CHXBE,又AD=BE,CG= ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ Sam=SamH=zCH·DH=6, ∠CAQ)=105°-75°=30°」 CH,CG⊥AD,CH⊥BE,.CM 2.B ∴.图中实线所围成的图形的面积S 平分∠AME. △ABC中，∠B+∠C=180°- =80-2×9-2×6=50. 专练19构全等（十） ∠A=180°-a;△BED中，BE= 知能检测 全等与无刻度直尺作图 (1,4) 知能检测 BD,∠BDE=2180-∠B: 专练17构全等（八）对角互补模型 略. 典例导练 专练20等腰三角形的性质（一） 同理，得：∠CDF=合(180 ①②③ 方程思想求角 ∠C);∴.∠BDE+∠CDF=180° 知能检测 典例导练 1 1.AF+BE=AE.理由如下： (1)设∠A=x,EA=EC, 2(∠B+∠C)=180°- (180°