专练07 整式的乘法(四) 之间的互化技巧&专练08 整式的乘法(五) 型的变形技巧-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

C7 专练07整式的乘法（四）a士b,ab,a2土b之间的互化技巧 【方法规律】①a2+b2=(a±b)2干2ab;②(a±b)2=(a干b)2士4ab. ②典例导练 示范题已知：(x十y)2=9,xy=一2，求下列代数式的值： (1)x2+y2;(2)(x-y)2. 【思路点拨】(1)根据完全平方公式得出x2十y2=(x十y)2一2xy,再代入求出答案 即可； (2)根据完全平方公式得出(x-y)2=(x十y)2一4xy. 【自主解答】 心知能检测 1.已知(x十y)2=25,(x-y)2=9,求xy与x2+y2的值. 2.若x,y满足x+2y=2,xy=一1，求下列各式的值 (1)x2+4y2;(2)(x-2y)2. 3.已知a,b为实数，若a2十ab=8,b十ab=1,分别求a,b的值. 专练08整式的乘法（五）x士1型的变形技巧 【方法规律】0r+=(u±)》干2，②x+是-(x±)干2：③(x+2)-(x 2)=4 ⑦典例导练 示范题 已知x十1=3，求下列各式的值： (1)x- :2)r+ 【思路点拨】(1)利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算，开方即可求 出值； (2)原式利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值. 【自主解答】 心知能检测 1.已知x2一3x十1=0，试求下列各式的值： 10x2+是：(2)x+ 2.已知a>0a-2=1,求a+2的值.如下： 8.B9.B10.72° .BE=12,CE=5,BC=13 )BF·CN,且BF=AE, 11.(1)亚洲；(2)大洋洲；(3)非： ∴.BE+CE=BC, .SABF=S△4E, (4)亚洲面积为1.5×29.3%≈ .△BEC是直角三角形，且 ∴.四边形EBFC的面积=S△BF十 0.44(亿平方千米). ∠BEC=90°， SAQE=SAMCE+SACE=SAAC 12.(1)20:(2)18° ../AEB=180°-/BEC=90°， 过点A作AH⊥BC,由勾股定 13.(1)200名； ∴.△ABE是直角三角形； 理易求AH=12,得出SAc= (2)200×30%=60(名)，图略； (2)16.9. 2×10×12=60. (3)12%108 8.A9.C10.C11.略 14.2.3容易误导读者的统计图 12.(1)是； .四边形EBFC的面积为60. 1.B2.C3.D4.D 14.4 (2)12+(7)2=2×2, 5.(1)0.4570; 第14章数据的收集与表示 ∴该三角形一定是奇异三角形； (2)“喜欢”网课所对应扇形的圆 14.1数据的收集 (3)①当c为斜边时，b2=c2-a 1.B2.C 心角度数：360°×2 70 =126° =50, 3.(1)学生视力情况；(2)全班同学； 6.B7.15 Rt△ABC不是奇异三角形： (3)视力. 8.(1)2000人；(2)32000人. ②当b为斜边时，b=c2+a 4.略5.B6.B7.D 9.(1)50: =150, 8.(1)16421(2)小丽 (2)B组人数为：50-20-9-5 ,50+150=2×100, (3)票数票数总票数 4=12(人)，补全条形统计图略； .∴.a2+b2=2c2, 9.A10.C11.D12.0.2 (3)完成家庭作业时间不超过40 .Rt△ABC是奇异三角形. 13.(1)B:(2)0.70:(3)16. 分钟的学生人数占总调查人数的 综上所述：当b为斜边时，Rt△ABC 14.(1)1-(5%+15%+35%+ 百分比为82%. 是奇异三角形；当c是斜边时，R 10%+15%)=20%; 章未核心考点整合与素养提升 △ABC不是奇异三角形. (2)70÷35%=200(个)： 1.A 方法技巧专题利用勾股定理 (3)200×15%=30(个). 2.(1)贝贝的调查不能直观反映所 解决最短路径问题 15.(1)30;(2)0.43; 有七年级同学对这种文具颜色的 1.B2.D3.10cm.4.C (3)3+9×100%=40%,故成绩 5.B6.√5a7.20cm8.25dm. 30 夹册《提分专 方法技巧专题勾股定理中的 低于80分所占比例为40%，所 专练1平方根或立方根的求值问题 方程思想与分类讨论思想 占比例是比较高的，建议加强交 典例导练 6 1.C2.A3. 通知识的宣传力度或多开展交 (1)由题意得，2x一2十6-3x=0,解 4.12 通知识主题班会， 得x=4, 5.△ABE的面积为2 14.2数据的表示 ×3×4= .∴.2x-2=6,.a=62=36, 14.2.1频数分布直方图 ,a一4b的算术平方根是4， 6(cm), 1.D2.A3.A4.55.9 .a-4b=16,.∴.b=5; 6.B7.√13或58.42或150 6.C7.B 8.165cm170cm18 (2).2a-b2+17=2×36-52+17 9.24或√26或13 9.(1)本次抽查的学生人数共40名 =64,而64的立方根是4， 章末核心考点整合与素养提升 由所给数据，得m=3,n=17,补全 .∴.2a-b+17的立方根为4. 1.102.5-13.2.94.4 频数分布直方图略： 知能检测 5.D6.C7.1090 8.(1)350m:(2)150m. 2120×8-570(人. 1.(1)原方程整理得：x2= 则 (3)①分数在优秀级别的人数占 9.B10.√/30 1.或3y 5 4 总人数的一半；②约一半的学生 12.略 成绩还有提升为优秀的空间；③ (2)原方程整理得：(x十1)3=一8， 13.(1)证明：：AB=AC, 成绩较差的学生可通过改变体育 则x十1=-2，解得：x=一3. .∠ABC=∠ACB, 考试项目得到适当的提高. 2.(1)由题意，得1-2a=9,解得a BF∥AC,∴.∠ACB=∠CBF, 10.(1)15035(2)略(3)144 =-4. .∠ABC=∠CBF, (4)480(人). 11.(1)100352090(2)略 (2)1-2a=3a-4,或1-2a+(3a ∴.BC平分∠ABF; (2)过点C作CM⊥AB,CNI (3)3500(人). -4)=0,解得a=1,或a=3, BF,则CM=CN, 14.2.2扇形统计图 (1-2a)2=(1-2)2=1或(1 1.C2.C3.3204.108 2a)2=(1-6)2=25. SACE-AE.CM.= 5.68%6.37770元.7.D 答：这个数是1或25. 49 喜好： b-1=42=16,c=3,∴.a=5,b=2,c .(m十n)2=m2+2mn+n2=9, (2)为了更准确地为文具厂商提 =3,.3a-b+c=15-2+3=16, .m2+n2=5, 供信息，调查时应再进行更广泛 .3a-b+c的平方根是士4. .(9-x)2+(x-6)2=5. 更随机的抽样调查 知能检测 专练O6整式的乘法（三）巧用配方法 3.D4.D5.5a 1.(1)0.110(2)31.632400 典例导练 6.(1)该班共有50名学生，其中穿 2.(1)设长方形信封的长为3xcm,,a2-8a十b2-6b十c2-6c十34= 175型号校服的学生有10名； 宽为2xcm,由题意得3x·2x=0,∴.(a2-8a+16)+(b-6b+9)+ (2)185型号的学生人数为50-3 420,解得x=√70， (c2-6c+9)=0,∴.(a-4)2+(b -15-15-10-5=50-48=2 ∴3x=3√/70,2x=2√70，即信 3)2+(c-3)2=0,:(a-4)2≥0，(b (名)，补全统计图略； 封的长为3√7而，宽为2√0； -3)2≥0，(c-3)2≥0，∴.a-4=0,b (3)185型号校服所对应的扇形 -3=0,c-3=0,.a=4,b=c=3, (2)面积为256cm的正方形贺 圆心角为：0 ×360=14.4. ∴.△ABC为等腰三角形 卡的边长是16cm, 知能检测 7.(1)调查了100名学生； ,2√70>2√64=16， 1.(1)p1-pp1- (2)爱好手工的学生有10（名）. ∴小明能将这张贺卡不折叠就放 1 爱好绘画的学生有30（名）.补全 入此信封. (2)±2(3)，±2.x 的条形统计图略； 专练04整式的乘法（一） 2.圆圆的解答错误. (3)360°×00 30 幂的运算的正反用 108; 4x2+8x+8=4(x2+2x+1)+4 典例导练 =4(x+1)2+4, (4)该校学生总数大约有2000名. (1)x+2y=2,.∴.3×9"×3=3 所以当x=一1时，这个二次三项 8.(1)1436°； ×(32)×3=3×32×3=3+X3 式有最小值为4. (2)图略；学习一个月后，学生的 =27. 专练07整式的乘法（四）】 成绩总体上有了明显的提升； (2)2m=a,32=b,.2m=a,2m= a±b,ab,a±b之间的互化技巧 (3)估计开学一个月后该校885 b,23m+10m=(2m)3X(2m)2=a262. 典例导练 名七年级学生中数学成绩优秀的 知能检测 (1):(x+y)2=9,xy=-2,∴x2+ 人数为354人. 1.2x+5y-3=0, y=(x+y)2-2xy=9-2×(-2) 练》参考答案 .2x+5y=3, =9+4=13; .4·32"=22·20, (2):(x+y)2=9,xy=-2,.(x 专练02巧用√/a(a≥0)】 .原式=22+5=23=8. -y)2=(x+y)2-4xy=9-4× 的双重非负性解题 2.(1)a"=2,a2m+m=24, (-2)=9+8=17. 典例导练 amXa=24,(a")2Xa=24,知能检测 (1)由题意，得x十1=0，y一3=0， 22×a"=24, 1.:(x+y)2=25,(x-y)2=9, 即x=-1,y=3. .4a=24,.a"=6; (2)由(1)可知x=一1，y=3,则x+ (2)52023X(-0.2)2024=52023X xy=[(x+w2-(x-y)] y的平方根为士√一1+3=士√2. (号) ×(25-9)=4： 1 知能检测 1.由题意，得(x十2)2+x+2y=0, r+y=[x+w+(x-0门 因为(x+2)2≥0，√x+2y≥0， 1 所以x十2=0，x十2y=0, = =×(25+9)=17 所以x=-2,y=1, 专练05整式的乘法（二）】 2.(1)x2+4y2=(x+2y)2-4xy=4 所以(x十y)024=1, 巧用乘法公式 -4×(-1)=8: 所以(x十y)o4的平方根是±1. 典例导练 (2)(x-2y)2=x2+4y2-4xy=8 2.-a≥0，.a=0,把a=0代入 (1)1.(2)4x2-9y2+6yz-z2. -4×(-1)=12. b=√-a+4得：b=4, 知能检测 3.a2+ab=8,b2+ab=1,两式相加 由题意，得c=0, 1.(1)2x2+2xy: 可得，a2+2ab+b=9,即(a+b) ∴a+Wb-c=0+√4-0=2. (2)2ab-2b; =9,.a+b=±3，a2+ab=8, 专练03实数的综合运用 (3)a2+2ab+b2-c2: 62+ab=1,a(a+b)=8,b(a+ 典例导练 (4)a2+b+4c2-2ab+4ac-4bc: b)=1,当a+b=3时，3a=8,3b (5)x2-y2-2+2yz; (1):9<15<16,.3<15<4, (6)4a2+12ab+9b2-c2. =10=号6=当a+6 .√I5的整数部分是3，小数部分 2.令(9一x)=m,(x一6)=n,则(9 -3时，-3a=8,-3b=1,.a= 是√15-3； -x)2+(x-6)2=m2+n2, (2)由题意，得5a+2=33=27,3a十 .∴.m十n=3,mm=2, -86=一日综上所述a=号 51 6=或a=-6=- I∠ABC=∠DCB DE-DC BC=CB ∠E=∠C, 专练08 整式的乘法（五） ∠2=∠1 AE=BC x士上型的变形技巧 ..△ABC≌△DCB(ASA), .△DEA≌△DCB(SAS), ..AB=DC. ..AD-BD. 典例导练 知能检测 又.DF=DF,∴.Rt△ADF≌△Rt (1)八x+=3,(x- 1..ADI BC,CE⊥AB,∴.∠ADB △BDF(HL),.AF=BF x =∠CDF=∠CEB=90°， 知能检测 +)°-4=9-4=5，则x 1 1.连接AC,易证△ABC≌△CDA, x .∠BAD+∠B=∠FCD+∠B =90°，∴∠BAD=∠FCD, 从而∠BAC=∠DCA, ±√5； 在△ABD和△CFD中， ∴.AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE. 2:x+=8，(x+》-d ∠ADB=∠CDF 2.连接BC.在△ABC和△DCB中， 十2+=9，整理得+=7，则 AD=CD AB=DC N∠BAD=∠FCD AC=DB BC=CB 原式=(x2+)°-2=49-2=47. .∴.△ABD≌△CFD(ASA) 2.在△ABE与△ACF中，易证 .∴.△ABC≌△DCB(SSS), 知能检测 △ABE≌△ACF(SAS); .∠A=∠D 1.(1)x2-3x+1=0,..x2+1 ∠B=∠C; 在△AOB和△DOC中， I∠A=∠D 3x,两边同时除以x得：x十1 .AB=AC,AE=AF, .BF=CE; ∠AOB=∠DOC, 3则+=(x+)月 在△BDF与△CDE中， AB-DC -2=9 易证△BDF≌△CDE(AAS),故 .△AOB≌△DOC(AAS) -2=7 BD-CD. .∠ABO=∠DCO. (2)x+=(x+) 专练11找全等（二） 专练13构全等（四）截长补短 -2=49 等量代换证和差 典例导练 -2=47. 如图，在AB上截取AE,使AE=AC, 典例导练 2.(a+)=+()'+4=d+ AE∥BF,.∠DAE=∠DBF, 连接PE,在△AEP和△ACP中， :CD是△ABC的中线，.AD= (AE-AC ()-4+8=(a-2) +8=9, ∠1=∠2，.△AEP≌△ACP BD,在△ADE和△BDF中， AP=AP :a>0,a+2=3. I∠DAE=∠DBF (SAS),∴.PE=PC,在△PBE中，BE AD-BD ,.△ADE≌ >PB-PE,AB-AC>>PB-PC. 专练09 整式的乘法（六） ∠ADE=∠BDF 知能检测 特殊法分解因式 △BDF,∴DE=DF,∴.CE-CF= 延长FD到点G,使DG=BE,连接 知能检测 EF-2DE. AG,易证△ABE≌△ADG(SAS), 1.(1)(x-3)(x+2); 知能检测 ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, (2)(x-2)(x-4); 1.根据AD∥BC可知∠ADC= .EF=BE+FD,DG=BE,.EF (3)(x+3)(x-5): ∠ECF,再根据E是CD的中点 =DG+FD=GF, (4)(x-2)(x+5); 可证△ADE≌△FCE(ASA),从 且AE=AG,AF=AF, (5)(3x-4)(x+3): 而AE=EF,AD=CF,再证 ∴.△AEF≌△AGF(SSS), (6)x(x-2)(x-6). △ABE≌△FBE(SAS),得到AB ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+ 2.(x2+x)2-8(x2+x)+12 =BF=BC十CF,等量代换得到 ∠DAF=∠BAE+∠DAF. =(x2+x-6)(x2+x-2) AB-BC+AD. 专练14构全等（五）中点模型 =(x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 2.,∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD 典例导练 3.原式=x2-(2a+1)x十a(a+1) =∠AFE..∠DBF=∠EAF. (1)①(2)1AD4 =(x-a)[x-(a+1)] 又，∠BDF=∠ADC=90°，BF= 知能检测 =(x-a)(x-a-1). AC,∴.△BFD≌△ACD(AAS), 1.过点E作EF∥AC交AD的延 专练10找全等（一） .FD-CD,BD=AD. 长线于点F,利用AAS证△ABC 知二寻一证全等 .BC=BD+CD=AD+CD= ≌△FBE,从而EF=AC,∠A= 典例导练 (AF+FD)+CD=AF+2CD. ∠F,易证∠A=∠EDF,知 ∠1=∠2，∠3=∠4， 专练12构全等（三）连接与延长 ∠EDF=∠F,从而EF=DE,得 .∠ABC=∠DCB, 典例导练 证AC=DE. 在△ABC和△DCB中， 连接AD、DB,在△DEA和△DCB中， 2.延长OE到F,使得EF=OE,连 52 接DF.易证△BEO≌△DEF :AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴.∠ACE=∠A=x,:EC平分 (SAS),∴.∠BOE=∠F,OB= ∠C=90°，.DC=DE, ∠ACB,.∠ACB=2x,AB= DF,.OB∥DF,.∠ODF+ 在Rt△DCF和Rt△DEB中， AC,∴.∠ABC=∠ACB=2x,在 ∠BOD=180°，∠AOC与 DC=DE △ABC中，.x+2x+2x=180°， ∠BOD互补，.∠AOC DF-DB' x=36°，即∠A=36°； ∠ODF,OA=OB,∴.OA= ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB,∴.CF= (2)54 DF,在△AOC和△FDO中， EB;易证Rt△DCA≌Rt△DEA 知能检测 (OA-DF (HL), 1.设∠C=x,.ED=EC,.∠EDC= ∠AOC=∠FDO,.△AOC≌ AC=AE,.AE=AF+FC,即 ∠C=x,∴∠DEA=∠C+∠EDC OC-DO AE=AF+BE. =2x,DA=DE,.∠DAE= △FDO(SAS),∴.AC=OF,.AC 2.(1)过点C作CF⊥AD于点F, ∠DEA=2x,.∴.∠ADB=∠C十 =20E,即0E-号AC :AC平分∠BAD,CE⊥AB, ∠DAE=3x,AB=AD,∴.∠B= ..CE=CF..CD=CB, ∠ADB=3x,·∠BAC=100°， 专练15构全等六)角平分线模型 ∴.Rt△CFD≌Rt△CEB(HL), .∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=80° 典例导练 ..∠CDF=∠CBE 即3.x+x=80°， (1)SSS(2)>6 .·∠CDF+∠ADC=180°， .x=20°，.∠C=20」 (3)PE=PF,理由如下：如图③，在 ∴./ADC+/ABC=180°： 2.连接AE,设∠B=x,AE=BE, BC上截取BG=BF,连接PG, (2)在Rt△CAF和Rt△CAE中， ∴.∠BAE=∠B=x,∴.∠AEC= ∠BPC=120°，.∠BPF= .CF=CE,AC=AC, 2x,AE=BE=AC,∴.∠C= ∠CPE=180°-∠BPC=60°，易证 ∴.Rt△CAF≌Rt△CAE(HL), ∠AEC=2x,在△ABC中，3x+ △BPF≌△BPG(SAS),.∴.PF= .'.AE=AF, 75°=180°，懈得x=35°，.∠B PG,∠BPF=∠BPG=60°， 又·△CFD≌△CEB, =35°. ∴.∠CPE=∠CPG=60°，在△CPE .DF=BE, 专练21等腰三角形的性质（二） I∠CPE=∠CPG ..AB-AD=(AE+BE)-(AF 整体思想求角 和△CPG中，CP=CP -DF)=BE+DF=2BE=4. 典例导练 ∠PCE=∠PCG 专练18构全等（九）手拉手模型 AB=AC,AE=AF,AD、AG分别为 ∴.△CPE≌△CPG(ASA), 典例导练 △ABC和△AEF的中线， ..PE=PG..'.PE=PF. (1)·∠ACB=∠DCE=&, 1 ./DAC= 2 ∠BAC, EAG 专练16构全等（七】 .∠ACD=∠BCE,在△ACD和 一线等三角模型 CA-CB ∠EAF,.∴.∠DAG=∠DAC+ 典例导练 △BCE中， ∠ACD=∠BCE, :∠EAF+∠BAG=9O°，∠EAF+ CD-CE ∠CAE+∠EAG = 2∠BAC+ ∠AEF=90°，.∠BAG=∠AEF, .△ACD≌△BCE(SAS), :在△AEF和△BAG中， ..AD-BE: ∠CAE+∠EAF= 2∠BAF+ (∠F=∠AGB=90° (2).△ACD≌△BCE,.∠CAD ∠AEF=∠BAG,.△AEF≌ =∠CBE,在△ACF和△BFM中， 2∠CAE,'∠BAF=110°，∠CAE AE=BA ∠CAF+∠FCA =∠FBM+ 24°，.∴./DAG=55°+12°=67°. △BAG(AAS),同理△BCG≌ ∠FMB,∴.∠AMB=∠ACB=a. 知能检测 ACDH,..AF=BG,AG=EF,GC ②CM平分∠AME正确.证明：过 1..AP=BP,AQ=CQ, =DH,BG=CH,,梯形DEFH的 点C作CG⊥AD于点G,CH⊥BE .∴.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, 面积=合(EF+DH)·FH=80. 于点H,△ACD≌△BCE, ∠BAC=105°，∴.∠BAP+ C.SAD=SAE,7 ADXCG月 ∠CAQ=∠B+∠C=180 1 SAAEF-SAAIG 2 AF·EF=9, ∠BAC=180°-105°=75°， 2 CHXBE,又AD=BE,CG= ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ Sam=SamH=zCH·DH=6, ∠CAQ)=105°-75°=30°」 CH,CG⊥AD,CH⊥BE,.CM 2.B ∴.图中实线所围成的图形的面积S 平分∠AME. △ABC中，∠B+∠C=180°- =80-2×9-2×6=50. 专练19构全等（十） ∠A=180°-a;△BED中，BE= 知能检测 全等与无刻度直尺作图 (1,4) 知能检测 BD,∠BDE=2180-∠B: 专练17构全等（八）对角互补模型 略. 典例导练 专练20等腰三角形的性质（一） 同理，得：∠CDF=合(180 ①②③ 方程思想求角 ∠C);∴.∠BDE+∠CDF=180° 知能检测 典例导练 1 1.AF+BE=AE.理由如下： (1)设∠A=x,EA=EC, 2(∠B+∠C)=180°- (180°