专练13 二次根式的化简与求值(三) 配方法求值&专练14 二次根式的规律探究-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

13 专练13二次根式的化简与求值（三） 配方法求值 【方法规律】抓中间项，配成完全平方式，从而求值. 了典例导练 示范题 老a6为实数，且b=后西+a万+15，试求2+号+2 、2+号2的值， 【思路点拔】先利用二次根式有意义的条件得到a=,6=15,再利用完全平方公式 和二次根式的性质化简原式，然后把α、b的值代入计算即可. 【自主解答】 之知能检测 1.已知实数x,y满足x2+10x+25+√y一4=0，求(x十y)2025的值. 2.已知a-2Ja十b+1=0,求a,b的值. 14 专练14二次根式的规律探究 【方法规律】观察式子与式子的联系，挖掘隐含的信息. ③典例导练 示范题观察下列各式： 1++=1+-11++=1+-1名：++=1叶 名-12 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： ++ (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： (3)利用上述规律计算：√需+备（仿照上式写出过程） 【分析】根据提供的信息，找出规律，写出等式即可解答. 【自主解答】 心知能检测 观察下列各式： @1+日=2F@,2+=3任®3+号=4V后… (1)请观察规律，并写出第④个等式： (2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律： (3)请证明(2)中的结论∴.|2m-4|+|n+2|+1.(1)D(2)D √(m-3)m+4=2m可化简为：2.由题意，得2x十1=x十3，解得：x 2m-4+|n+2|+√(m-3)n+ =2,.A=55,B=3√5， 4=2m A+B=C,.C=A+B=85= ∴.n+2+√(m-3)n=0, √320，：C=√10x+3y, |n+2≥0，√(m-3)n≥0， ∴.10x+3y=320, .n+2=0,(m-3)n2=0, ∴.20+3y=320,解得：y=100, .n=-2,m=3, ∴.√/2y-x=√2X100-2= .(7m十n)2025=12025=1. w/196=14. 专练08运用√a=a化简 专练10二次根式的混合运算 典例导练 典例导练 原式=|a-1+|a-31,当a<1原式=[(2√2+3)(2√2-3)]o3· 时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a(22-3)-√2-|1-√21=(8 =2,解得a=1(舍去)；当1≤a≤39).(22-3)-√2+1-√2= 时，原式=(a-1)十(3-a)=2=2, 2√2+3-√/2+1-√2=4-4√2. 符合条件；当a>3时，原式=（a 知能检测 1)+(a-3)=2a一4=2，解得a=3 (舍去). (1)50×8-6×5-√/400 √2 .a的取值范围是1≤a≤3. 18 知能检测 N =20-√5=20-3=17. 1.(1)-a1-b (2)(1-25)2-(2-√5)(2+3) (2)由题意，得a<0,1a<2,b =1-43+12-(4-3) >0,0<|b<1, .a+1<0,a+b<0,b>0, =1-43+12-1=12-45. .√(a+1)+√F-√a+b) (3)(5+2)(5-2)+|1-√21 =|a+1|+|bl-|a+bl 3×√6 =-a-1+b+a+b=2b-1. =5-4+√2-1-3√2 2.由三边关系定理，得5-3<c<5 =-22 +3,即2<c<8, 专练11二次根式的化简与 ∴.原式=√(c-2)一 求值（一）代入法求值 典例导练 =c-2-1c-81=-28 (1) 1 √n+I+√m -0-c-6 √n+I-√n 专练09最简二次根式 (√n+I+√m)(n+I-√m) 典例导练 =√n+I-√n; 由题意得：1-x>0,∴.x-1<0, (2)原式= 2-1 (2+1)W2-1) 1 √-2 -3 W5+2)3-√2)'(W4+3)W4-√3) 100-W√/99 知能检测 (√/100+√9)（√/100-√/9） 70 √2-1+3-√2+4-5+…+√/100 专练13二次根式的化简与 -√99=√100-1=10-1=9. 求值（三）配方法求值 5+2 典例导练 (3)a=5—25-2)W5+2 3-5a≥0且5a-3≥0，.3-5a =√5+2，.a-2=√5..(a-2)2= =0,即a= 6=15，原式= 5,即a2-4a+4=5.∴.a2-4a=1. a2+62+2ab .3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3 a+6-2ab ab ab ×1-1=2. a+bl .la-bl_a+b_b-a_ 知能检测 √/ab √ab ab ab a=- 3(3+√6) 3-√6)(3+√6) =3+√6， 2a 2x 2 ab √停×15 51 .a-3=√6，.a2-6a=-3, .原式=2(a2-6a)+1=-5. 知能检测 专练12二次根式的化简与 1.x=-5,y=4,(x+y)05=-1. 求值（二）对称式求值 2.原方程可变形为(Wa-1)2+=0, 典例导练 (a-1)2≥0，b≥0， (1)由题意，得x十y=√3+1十- .√a-1=0,b=0, 1=2√3；xy=(3+1)(3-1)= ∴.a=1,b=0. 3-1=2.x2-xy十y2=(x+y) 专练14 二次根式的规律探究 -3xy=(23)2-3×2=12-6=6: 典例导练 (2)+2=+y y (1)120 (x+y)2-2xy=(23)2-2X2 Ty 2 (21+7+m=1+ 1 1 n(n+1) 12-4=4. 2 50+1 知能检测 3-7 1.(1)m= 3-7 知能检测 (3+√7)(3-√7) 2 3+√7 3+7 (3-√7)(3+7) 2 1 (2)/n+ n+2-(n+1D√n+2 (2)由题意，得m十n=3,mn= 1 合m+m+=(m十n (3)√n+2 m+2n+ Nn+2 n+2 m=8-名-号 /n2+2n+1 /(n+1)2 n+2 =(n十 n+2 2.由题意，得a-b=2√2，ab= 1 (3)2-(2)2=1, 1)√n+2 .a2024b2028-a2023b2024=(ab)2023. 第三章位置与坐标 a-(ab)2023·b=12023·a-12023· 专练15坐标与几何图形（一） 面积问题 b=a-b=2√2. 典例导练 (1)SAA80= 0A×0B,0A- 71 0B,20A=8,解得OA=4, A(0,5),B(3,0), .AO=5,BO=3, ..OB=0A=4,..OC=BC-OB=12 ..CD=AO=5,..AD=OB=3, -4=8,.A(0,4),B(一4,0)，C(8,0). .OD=AO-AD=5-3=2, (2)作PE⊥y轴于E,S△PaB= 点C在第二象限， S格号mE一SAB-SAAE=7X(2中 .C(-5,2). 专练17坐标与几何图形（三） 4)×7-8- 号×(7-4)×2=21-8 勾股定理 -3=10. 典例导练 知能检测 △DEF为等腰直角三角形.理由： (1)A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3), D0,5),E(-3,2),F(3,2),∴.DE= D(4,0),E(3,3),F(0,3) √/(0+3)+(5-2)=3√2，EF= (2)线段BC平行于x轴（或线段 √/(3+3)2+(2-2)2 =6,DF= BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x √/(0-3)2+(5-2)2=3√2，∴.DE= 轴（或线段CE平行于y轴）. DF,DE +DF =EF, (3)S多边形ABCDEF=S△ABF十S长方形EEF十 ∴△DEF为等腰直角三角形. 1 Sm=2X(3+3)×2+3X(3+3) 知能检测 1.D +号×3+3)X1=6+18+3=27. 2.(1)(0,3) 专练16坐标与几何图形（二） (2)略. 全等问题 (3)设点Q到AB的最短距离是h, 典例导练 AB=√22+2=2√2，：AB·h= 过点C作x轴的垂线，垂足为M, a=45,.∠ABC=90°，.∠AB0+ BQX2,∴h=2BQ_2X3=32 AB222 ∠CBM=90°..∠OAB+∠ABO= 专练18坐标与横平线、竖直 90°，..∠OAB=∠CBM.在△AOB和 线—数形结合思想 ∠OAB=∠MBC 典例导练 △BMC中， ∠AOB=∠BMC, (1)依题意有2a-4=4,解得a=4. AB-BC (2)依题意有3a十2=2a一4|，则 ∴.△AOB≌△BMC(AAS), 3a十2=2a-4或3a+2+2a-4= .∴.BM=AO,CM=OB, A(0,2),B(1,0), 0,解得a=6或a三号 ∴.BM=AO=2,CM=OB=1, 知能检测 ∴.0M=2+1=3, 1.(1)在一条直线上，这条直线与x ∴.点C的坐标是(3,1). 轴平行（即横平线）. 知能检测 (2)在一条直线上，这条直线与x 1.(4,-2)或(-2，-2) 轴垂直（即竖直线）. 2.:CD⊥y轴，.∠ADC=90°， 2.(1)因为点M在y轴上，所以m :∠AOB=90°，在Rt△ACD和 -1=0,解得m=1,所以2m+3 (AC=BA =5,则点M的坐标为(0,5)，所 Rt△BAO中， AD-BO 以点M到x轴的距离为5. ∴.Rt△ACD≌Rt△BAO(HL), (2)因为直线MN∥y轴，所以m ..CD=AO, 1=-3,解得m=-2,所以2m+3 72