专练07 二次根式的双重非负性&专练08 运用 化简-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

C7 专练07二次根式的双重非负性 【方法规律】二次根式√a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果√a≥0. ③典例导练 示范题若x,y为实数，且x2=√Jy一3+√3一y十64，求x十y的值， 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得y一3≥0,3一y≥0，确定y的值，进而 可得x的值. 【自主解答】 之知能检测 1.已知实数m,n(n≠0)满足|2m一4十√2n+6=0,求√m2十n2的值. 2.已知实数m,n(n≠0)满足|2m-4|十n十2+√(m-3)n+4=2m,求(m十n)2o25的 值。 C8 专练08运用Wa2=a化简 【方法规律】二次根式的两个性质（√a)2=a(a≥0）和√a=|a,可以运用上述两个 性质进行计算和化简 )典例导练 示范题若代数式√/(a一1)+√(a一3)下的值是2，求a的取值范围 【思路点拨】先将等式的左边进行化简，然后分(a<1;l≤a≤3；a>3)三种情况讨论 即可得. 【自主解答】 知能检测 1.已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示. a b -2-1012 (1)化简：√a= ；√(1-b)产= (2)化简：√(a+1)+√-√/(a+b). 2.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c,化简 +1-2-4c+1.∴.∠D+50°+∠D=180°， 章末核心考点与素养提升 ∠D=65. 1.B 专题十二平行线中的辅助线 2.同一平面内，如果两条直线垂直于 1.延长NM交直线AB于G,.AB∥ 同一条直线，那么这两条直线平行 CD,∴.∠AGN+∠2=180°，∠13.D4.B5.平行.理由略. +∠2=180°，∴.∠1=∠AGN, 6.B ∴.EF∥MN,∴.∠EFM=∠NMF 7.两直线平行，同位角相等∠CAE 2.延长AD,GF交于点M ∠CAE∠1∠1BC内错角 AD⊥BC,EF⊥BC,∴.∠ADC 相等，两直线平行两直线平行，内 ∠EFC=90°， 错角相等 .AD∥EF,.∠EFG=∠M, 8.∠AED=∠C.理由如下： 又∠BAD=∠EFG,∴∠BAD= ∠1+∠2=180°， ∠M,∴.AB∥FG. ∠1+∠4=180°， 3.过E作EF∥AB,:AB∥CD, ∠2=∠4，∴AB∥EF .AB∥CD∥EF,.∠C=∠FEC, ∴∠3=∠ADE ∠BAE=∠FEA,∠C=44° 又∠3=∠B,∴∠ADE=∠B. ∠AEC为直角，.∠FEC=44°， .DE∥BC,∴.∠AED=∠C. ∴.∠BAE=∠AEF=90°-44°= 9.C10.B11.160° 46°，∴.∠1=180°-∠BAE=180° 12.(1)∠A=∠D=78°，∠C=47°， 46°=134° ∴.∠BFD=∠D+∠C=78°+47° 4.(1)过点A向右作AM∥GF, =125° ∴.AM∥GF∥BC,∴.∠F=∠FAM, (2)证明：，∠AEB+∠BFD= ∠C=∠MAC,∴.∠F+∠C= 180°，∠CFD+∠BFD=180°， ∠FAM+∠MAC=∠FAC; .∠AEB=∠CFD, (2)过点A向右作AM∥GF,∴.AM '∠AEB+∠A+∠B=∠CFD+ ∥GF∥BQ,∴.∠FAM=∠F=50°， ∠C+∠D=180°， ∠MAQ=∠Q=15°，∴.∠FAQ .∠B=∠C,∴.AB∥CD ∠FAM+∠MAQ=50°+15°=65°. 13.(1),∠ABC=90°， :AQ平分∠FAC,.∠FAC= .∠2+∠3=180°-∠ABC=90°， 2∠FAQ=130°，由(1)知∠F+ :∠1=∠2，∠3=∠4， ∠ACB=∠FAC,∴.∠ACB= ∴.∠1+∠4=90， ∠FAC-∠F=130°-50°=80°. .∠DEF+∠EFG=180°-∠1 专题十三平行线与翻折 ∠2+180°-∠3-∠4=180°， 1.D2.100°3.64°4.124°5.50° .DE∥FG: 6.67.5 (2):∠ABC=75°， 7.AE∥BD,∴.∠EAD=∠ADB= .∠2+∠3=180°-∠ABC= 28°，，∴.∠BAE=90°+∠EAD= 105°， 118°， :∠1=∠2，∠3=∠4， ∠EAF=∠BAF, .∠1+∠4=105， ∠EAF-3∠BAE=59 ∴.∠HEF+∠EFH=180°-∠1 -∠2+180°-∠3-∠4=150°， ∠DAF=∠EAF-∠EAD, .∠EHF=180°-（∠HEF+ ∴.∠DAF=59°-28°=31°」 ∠EFD=30° (3)409 67 夹册《提分专练》参考答案 第一章勾股定理 (2)设EB=ED=x,则AE=AD 专练01勾股定理与面积问题 -ED=8-x,在Rt△ABE中， 典例导练 AB2+AE2=EB2,即42+(8 A x)2=x2,解得x=5,∴.△EBD的面 知能检测 积=2ED.AB=2X5X4=10 1.连接AC,在Rt△ABC中，ABLBC, AB=9cm,BC=12cm,.'.ACe=AB 专练03勾股定理与方程思想 +BC=225=15.:CD+ACe= 典例导练 82+152=172=AD, 设BD=x,则DC=14一x, .∠ACD=90°，.四边形纸片AB 在Rt△ABD中，AB=AD+BD2, CD的面积=S十Sm=AB 即13=AD+x2,在Rt△ACD中 AC=AD2+CD2,152=AD2+ ·BC+2AC.CD-X9X12+ (14-x)2,则225-(14-x)2=169 -x2,解得x=5,∴.AD=12. 号×15×8=54+60=14(cm). 知能检测 2.过点C作CDLBA的延长线于点1.设AD=x,在R△ACD中，AC D,:CDLAB,∴∠CDB=90°， =AD2+CD2=x2+42 设AD为x,DB=(x十11)，由勾 在Rt△BCD中，BC=CD+ 股定理得：CD=AC-AD,CD BD2=42+22. =BC-DB2,即AC-AD2= 在Rt△ABC中，AC+BC= BC-DB2,则132-x2=202-(x AB,x2+42+42+22=(x+2)2, +11)2,解得：x=5,.CD=AC 解得x=8,∴AD=8 -AD=144,解得CD=12, 2..'BC=20cm,CD=16cm,BD A△ABC的面积=专·AB,CD -12cm,.'BD2+CD2=BC2, .∠BDC=90°，.∠ADC=90°， 2×11×12=6. = 设AD=xcm,则AC=AB=(x +12)cm,在Rt△ADC中，由勾 专练02勾股定理与折叠问题 典例导练 股定理得：AD+CD=AC,即 x2+162=(x+12)2,解得：x= 24 知能检测 是即AD- 3cm. 1.(1)16 专练04 勾股定理与分类讨论 (2)由题意，得AB'=AB=20, 典例导练 .CB=AB-AC=8,设CD= 25或7 x,则BD=16-x=B'D, 知能检测 在Rt△B'CD中，CD+CB2= 1.(1)以点C所在顶点为直角时， B'D2,.x2+82=(16-x)2,解得 .'AC=CD=4,BC=3, x=6,.CD=6,重叠部分（阴 ∴.BD=CD+BC=7,BD=49. 影部分)的面积为2CD·AC (2)以点D所在顶点为直角时， 作DE⊥BC于E,连接BD. ×6×12=36. 2 在Rt△BDE中DE=2,BE=5, 2.(1)等腰 .BD=DE2+BE2=29. 68 (3)如图3中，以点A所在顶点为 ∴.1-2a=3a-4,或1-2a+(3a 直角时，作DE⊥BC于E, -4)=0得a=1,或a=3,(1- 在Rt△BDE中，DE=4.BE=7, 2a)2=(1-2)2=1或(1-2a)2= ..BD=DE+BE=65. (1-6)2=25. 综上所述：BD为49或29或65. 答：这个数是1或25. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 专练06无理数的估算与应用 AB=10cm,AC=6cm,由勾股定 :典例导练 理得：BC=8(cm). (1)9<15<16,.3<15<4, (1)当AB=AP时， ∴.√I5的整数部分是3，小数部分是 ∠ACB=90°，ACLBP, √15-3. ∴.PC=BC=8(cm), (2)由题意，得5a十2=33=27,3a十b .BP=16(cm), -1=42=16,c=3,∴.a=5,b=2,c= ∴.t=16÷2=8(s); 3,∴.3a-b+c=15-2+3=16,.∴.3a- (2)当BP=BA=10cm时， b十c的平方根是±4. .t=10÷2=5(s); 知能检测 (3)当PA=PB时，设BP=xcm, 1.B 则PC=(8-x)cm,在Rt△ACP 2.(1)设长方形信封的长为3xcm,宽 中，由勾股定理得：(8一x)2+62 为2xcm,由题意得3x·2x=420, =x2,x= 即B即- 4cm, x=√70， .3x=3√/70,2x=2√/70. 答：长方形信封的长为3√/70cm, 综上所述，1的值为8或5或要 宽为2√70cm. 第二章实数 (2)面积为256cm的正方形贺卡 专练05平方根和立方根的 的边长是16cm, 求值问题 70>64,.√/70>8， 典例导练 .2√70>16，即信封的宽大于 (1)由题意得，2x-2+6-3x=0,解 正方形贺卡的边长，·小明能将 得x=4,..2x-2=6,..a=62=36, 这张贺卡不折叠就放人此信封. .a一4b的算术平方根是4， 专练07二次根式的双重非负性 .a-4b=16,.b=5. 典例导练 (2):2a-b+17=2×36-52+17 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴y =64,.2a-b+17的立方根为4. 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, 知能检测 解得x=士8，∴x+y=11或-5. 1.(1)原方程整理得： 知能检测 r=,则x=±号 12m-4=0 1.由题意得， (2)原方程整理得：(x十1)3=一8， 2n+6=0 则x+1=一2，解得：x=一3. m=2 解得{ 2.(1):x的算术平方根是3，∴.1 n=-3 2a=9,解得a=-4.故a的值是 √m+n=13. -4. 2.由题意，得(m一3)n≥0，.m≥3， (2)x,y都是同一个数的平方根， ∴.2m-4>0, 69 ∴.|2m-4|+|n+2|+1.(1)D(2)D √(m-3)m+4=2m可化简为：2.由题意，得2x十1=x十3，解得：x 2m-4+|n+2|+√(m-3)n+ =2,.A=55,B=3√5， 4=2m A+B=C,.C=A+B=85= ∴.n+2+√(m-3)n=0, √320，：C=√10x+3y, |n+2≥0，√(m-3)n≥0， ∴.10x+3y=320, .n+2=0,(m-3)n2=0, ∴.20+3y=320,解得：y=100, .n=-2,m=3, ∴.√/2y-x=√2X100-2= .(7m十n)2025=12025=1. w/196=14. 专练08运用√a=a化简 专练10二次根式的混合运算 典例导练 典例导练 原式=|a-1+|a-31,当a<1原式=[(2√2+3)(2√2-3)]o3· 时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a(22-3)-√2-|1-√21=(8 =2,解得a=1(舍去)；当1≤a≤39).(22-3)-√2+1-√2= 时，原式=(a-1)十(3-a)=2=2, 2√2+3-√/2+1-√2=4-4√2. 符合条件；当a>3时，原式=（a 知能检测 1)+(a-3)=2a一4=2，解得a=3 (舍去). (1)50×8-6×5-√/400 √2 .a的取值范围是1≤a≤3. 18 知能检测 N =20-√5=20-3=17. 1.(1)-a1-b (2)(1-25)2-(2-√5)(2+3) (2)由题意，得a<0,1a<2,b =1-43+12-(4-3) >0,0<|b<1, .a+1<0,a+b<0,b>0, =1-43+12-1=12-45. .√(a+1)+√F-√a+b) (3)(5+2)(5-2)+|1-√21 =|a+1|+|bl-|a+bl 3×√6 =-a-1+b+a+b=2b-1. =5-4+√2-1-3√2 2.由三边关系定理，得5-3<c<5 =-22 +3,即2<c<8, 专练11二次根式的化简与 ∴.原式=√(c-2)一 求值（一）代入法求值 典例导练 =c-2-1c-81=-28 (1) 1 √n+I+√m -0-c-6 √n+I-√n 专练09最简二次根式 (√n+I+√m)(n+I-√m) 典例导练 =√n+I-√n; 由题意得：1-x>0,∴.x-1<0, (2)原式= 2-1 (2+1)W2-1) 1 √-2 -3 W5+2)3-√2)'(W4+3)W4-√3) 100-W√/99 知能检测 (√/100+√9)（√/100-√/9） 70 √2-1+3-√2+4-5+…+√/100 专练13二次根式的化简与 -√99=√100-1=10-1=9. 求值（三）配方法求值 5+2 典例导练 (3)a=5—25-2)W5+2 3-5a≥0且5a-3≥0，.3-5a =√5+2，.a-2=√5..(a-2)2= =0,即a= 6=15，原式= 5,即a2-4a+4=5.∴.a2-4a=1. a2+62+2ab .3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3 a+6-2ab ab ab ×1-1=2. a+bl .la-bl_a+b_b-a_ 知能检测 √/ab √ab ab ab a=- 3(3+√6) 3-√6)(3+√6) =3+√6， 2a 2x 2 ab √停×15 51 .a-3=√6，.a2-6a=-3, .原式=2(a2-6a)+1=-5. 知能检测 专练12二次根式的化简与 1.x=-5,y=4,(x+y)05=-1. 求值（二）对称式求值 2.原方程可变形为(Wa-1)2+=0, 典例导练 (a-1)2≥0，b≥0， (1)由题意，得x十y=√3+1十- .√a-1=0,b=0, 1=2√3；xy=(3+1)(3-1)= ∴.a=1,b=0. 3-1=2.x2-xy十y2=(x+y) 专练14 二次根式的规律探究 -3xy=(23)2-3×2=12-6=6: 典例导练 (2)+2=+y y (1)120 (x+y)2-2xy=(23)2-2X2 Ty 2 (21+7+m=1+ 1 1 n(n+1) 12-4=4. 2 50+1 知能检测 3-7 1.(1)m= 3-7 知能检测 (3+√7)(3-√7) 2 3+√7 3+7 (3-√7)(3+7) 2 1 (2)/n+ n+2-(n+1D√n+2 (2)由题意，得m十n=3,mn= 1 合m+m+=(m十n (3)√n+2 m+2n+ Nn+2 n+2 m=8-名-号 /n2+2n+1 /(n+1)2 n+2 =(n十 n+2 2.由题意，得a-b=2√2，ab= 1 (3)2-(2)2=1, 1)√n+2 .a2024b2028-a2023b2024=(ab)2023. 第三章位置与坐标 a-(ab)2023·b=12023·a-12023· 专练15坐标与几何图形（一） 面积问题 b=a-b=2√2. 典例导练 (1)SAA80= 0A×0B,0A- 71 0B,20A=8,解得OA=4, A(0,5),B(3,0), .AO=5,BO=3, ..OB=0A=4,..OC=BC-OB=12 ..CD=AO=5,..AD=OB=3, -4=8,.A(0,4),B(一4,0)，C(8,0). .OD=AO-AD=5-3=2, (2)作PE⊥y轴于E,S△PaB= 点C在第二象限， S格号mE一SAB-SAAE=7X(2中 .C(-5,2). 专练17坐标与几何图形（三） 4)×7-8- 号×(7-4)×2=21-8 勾股定理 -3=10. 典例导练 知能检测 △DEF为等腰直角三角形.理由： (1)A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3), D0,5),E(-3,2),F(3,2),∴.DE= D(4,0),E(3,3),F(0,3) √/(0+3)+(5-2)=3√2，EF= (2)线段BC平行于x轴（或线段 √/(3+3)2+(2-2)2 =6,DF= BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x √/(0-3)2+(5-2)2=3√2，∴.DE= 轴（或线段CE平行于y轴）. DF,DE +DF =EF, (3)S多边形ABCDEF=S△ABF十S长方形EEF十 ∴△DEF为等腰直角三角形. 1 Sm=2X(3+3)×2+3X(3+3) 知能检测 1.D +号×3+3)X1=6+18+3=27. 2.(1)(0,3) 专练16坐标与几何图形（二） (2)略. 全等问题 (3)设点Q到AB的最短距离是h, 典例导练 AB=√22+2=2√2，：AB·h= 过点C作x轴的垂线，垂足为M, a=45,.∠ABC=90°，.∠AB0+ BQX2,∴h=2BQ_2X3=32 AB222 ∠CBM=90°..∠OAB+∠ABO= 专练18坐标与横平线、竖直 90°，..∠OAB=∠CBM.在△AOB和 线—数形结合思想 ∠OAB=∠MBC 典例导练 △BMC中， ∠AOB=∠BMC, (1)依题意有2a-4=4,解得a=4. AB-BC (2)依题意有3a十2=2a一4|，则 ∴.△AOB≌△BMC(AAS), 3a十2=2a-4或3a+2+2a-4= .∴.BM=AO,CM=OB, A(0,2),B(1,0), 0,解得a=6或a三号 ∴.BM=AO=2,CM=OB=1, 知能检测 ∴.0M=2+1=3, 1.(1)在一条直线上，这条直线与x ∴.点C的坐标是(3,1). 轴平行（即横平线）. 知能检测 (2)在一条直线上，这条直线与x 1.(4,-2)或(-2，-2) 轴垂直（即竖直线）. 2.:CD⊥y轴，.∠ADC=90°， 2.(1)因为点M在y轴上，所以m :∠AOB=90°，在Rt△ACD和 -1=0,解得m=1,所以2m+3 (AC=BA =5,则点M的坐标为(0,5)，所 Rt△BAO中， AD-BO 以点M到x轴的距离为5. ∴.Rt△ACD≌Rt△BAO(HL), (2)因为直线MN∥y轴，所以m ..CD=AO, 1=-3,解得m=-2,所以2m+3 72