专练01 勾股定理与面积问题&专练02 勾股定理与折叠问题-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

∴.∠D+50°+∠D=180°， 章末核心考点与素养提升 ∠D=65. 1.B 专题十二平行线中的辅助线 2.同一平面内，如果两条直线垂直于 1.延长NM交直线AB于G,.AB∥ 同一条直线，那么这两条直线平行 CD,∴.∠AGN+∠2=180°，∠13.D4.B5.平行.理由略. +∠2=180°，∴.∠1=∠AGN, 6.B ∴.EF∥MN,∴.∠EFM=∠NMF 7.两直线平行，同位角相等∠CAE 2.延长AD,GF交于点M ∠CAE∠1∠1BC内错角 AD⊥BC,EF⊥BC,∴.∠ADC 相等，两直线平行两直线平行，内 ∠EFC=90°， 错角相等 .AD∥EF,.∠EFG=∠M, 8.∠AED=∠C.理由如下： 又∠BAD=∠EFG,∴∠BAD= ∠1+∠2=180°， ∠M,∴.AB∥FG. ∠1+∠4=180°， 3.过E作EF∥AB,:AB∥CD, ∠2=∠4，∴AB∥EF .AB∥CD∥EF,.∠C=∠FEC, ∴∠3=∠ADE ∠BAE=∠FEA,∠C=44° 又∠3=∠B,∴∠ADE=∠B. ∠AEC为直角，.∠FEC=44°， .DE∥BC,∴.∠AED=∠C. ∴.∠BAE=∠AEF=90°-44°= 9.C10.B11.160° 46°，∴.∠1=180°-∠BAE=180° 12.(1)∠A=∠D=78°，∠C=47°， 46°=134° ∴.∠BFD=∠D+∠C=78°+47° 4.(1)过点A向右作AM∥GF, =125° ∴.AM∥GF∥BC,∴.∠F=∠FAM, (2)证明：，∠AEB+∠BFD= ∠C=∠MAC,∴.∠F+∠C= 180°，∠CFD+∠BFD=180°， ∠FAM+∠MAC=∠FAC; .∠AEB=∠CFD, (2)过点A向右作AM∥GF,∴.AM '∠AEB+∠A+∠B=∠CFD+ ∥GF∥BQ,∴.∠FAM=∠F=50°， ∠C+∠D=180°， ∠MAQ=∠Q=15°，∴.∠FAQ .∠B=∠C,∴.AB∥CD ∠FAM+∠MAQ=50°+15°=65°. 13.(1),∠ABC=90°， :AQ平分∠FAC,.∠FAC= .∠2+∠3=180°-∠ABC=90°， 2∠FAQ=130°，由(1)知∠F+ :∠1=∠2，∠3=∠4， ∠ACB=∠FAC,∴.∠ACB= ∴.∠1+∠4=90， ∠FAC-∠F=130°-50°=80°. .∠DEF+∠EFG=180°-∠1 专题十三平行线与翻折 ∠2+180°-∠3-∠4=180°， 1.D2.100°3.64°4.124°5.50° .DE∥FG: 6.67.5 (2):∠ABC=75°， 7.AE∥BD,∴.∠EAD=∠ADB= .∠2+∠3=180°-∠ABC= 28°，，∴.∠BAE=90°+∠EAD= 105°， 118°， :∠1=∠2，∠3=∠4， ∠EAF=∠BAF, .∠1+∠4=105， ∠EAF-3∠BAE=59 ∴.∠HEF+∠EFH=180°-∠1 -∠2+180°-∠3-∠4=150°， ∠DAF=∠EAF-∠EAD, .∠EHF=180°-（∠HEF+ ∴.∠DAF=59°-28°=31°」 ∠EFD=30° (3)409 67 夹册《提分专练》参考答案 第一章勾股定理 (2)设EB=ED=x,则AE=AD 专练01勾股定理与面积问题 -ED=8-x,在Rt△ABE中， 典例导练 AB2+AE2=EB2,即42+(8 A x)2=x2,解得x=5,∴.△EBD的面 知能检测 积=2ED.AB=2X5X4=10 1.连接AC,在Rt△ABC中，ABLBC, AB=9cm,BC=12cm,.'.ACe=AB 专练03勾股定理与方程思想 +BC=225=15.:CD+ACe= 典例导练 82+152=172=AD, 设BD=x,则DC=14一x, .∠ACD=90°，.四边形纸片AB 在Rt△ABD中，AB=AD+BD2, CD的面积=S十Sm=AB 即13=AD+x2,在Rt△ACD中 AC=AD2+CD2,152=AD2+ ·BC+2AC.CD-X9X12+ (14-x)2,则225-(14-x)2=169 -x2,解得x=5,∴.AD=12. 号×15×8=54+60=14(cm). 知能检测 2.过点C作CDLBA的延长线于点1.设AD=x,在R△ACD中，AC D,:CDLAB,∴∠CDB=90°， =AD2+CD2=x2+42 设AD为x,DB=(x十11)，由勾 在Rt△BCD中，BC=CD+ 股定理得：CD=AC-AD,CD BD2=42+22. =BC-DB2,即AC-AD2= 在Rt△ABC中，AC+BC= BC-DB2,则132-x2=202-(x AB,x2+42+42+22=(x+2)2, +11)2,解得：x=5,.CD=AC 解得x=8,∴AD=8 -AD=144,解得CD=12, 2..'BC=20cm,CD=16cm,BD A△ABC的面积=专·AB,CD -12cm,.'BD2+CD2=BC2, .∠BDC=90°，.∠ADC=90°， 2×11×12=6. = 设AD=xcm,则AC=AB=(x +12)cm,在Rt△ADC中，由勾 专练02勾股定理与折叠问题 典例导练 股定理得：AD+CD=AC,即 x2+162=(x+12)2,解得：x= 24 知能检测 是即AD- 3cm. 1.(1)16 专练04 勾股定理与分类讨论 (2)由题意，得AB'=AB=20, 典例导练 .CB=AB-AC=8,设CD= 25或7 x,则BD=16-x=B'D, 知能检测 在Rt△B'CD中，CD+CB2= 1.(1)以点C所在顶点为直角时， B'D2,.x2+82=(16-x)2,解得 .'AC=CD=4,BC=3, x=6,.CD=6,重叠部分（阴 ∴.BD=CD+BC=7,BD=49. 影部分)的面积为2CD·AC (2)以点D所在顶点为直角时， 作DE⊥BC于E,连接BD. ×6×12=36. 2 在Rt△BDE中DE=2,BE=5, 2.(1)等腰 .BD=DE2+BE2=29. 68 (3)如图3中，以点A所在顶点为 ∴.1-2a=3a-4,或1-2a+(3a 直角时，作DE⊥BC于E, -4)=0得a=1,或a=3,(1- 在Rt△BDE中，DE=4.BE=7, 2a)2=(1-2)2=1或(1-2a)2= ..BD=DE+BE=65. (1-6)2=25. 综上所述：BD为49或29或65. 答：这个数是1或25. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 专练06无理数的估算与应用 AB=10cm,AC=6cm,由勾股定 :典例导练 理得：BC=8(cm). (1)9<15<16,.3<15<4, (1)当AB=AP时， ∴.√I5的整数部分是3，小数部分是 ∠ACB=90°，ACLBP, √15-3. ∴.PC=BC=8(cm), (2)由题意，得5a十2=33=27,3a十b .BP=16(cm), -1=42=16,c=3,∴.a=5,b=2,c= ∴.t=16÷2=8(s); 3,∴.3a-b+c=15-2+3=16,.∴.3a- (2)当BP=BA=10cm时， b十c的平方根是±4. .t=10÷2=5(s); 知能检测 (3)当PA=PB时，设BP=xcm, 1.B 则PC=(8-x)cm,在Rt△ACP 2.(1)设长方形信封的长为3xcm,宽 中，由勾股定理得：(8一x)2+62 为2xcm,由题意得3x·2x=420, =x2,x= 即B即- 4cm, x=√70， .3x=3√/70,2x=2√/70. 答：长方形信封的长为3√/70cm, 综上所述，1的值为8或5或要 宽为2√70cm. 第二章实数 (2)面积为256cm的正方形贺卡 专练05平方根和立方根的 的边长是16cm, 求值问题 70>64,.√/70>8， 典例导练 .2√70>16，即信封的宽大于 (1)由题意得，2x-2+6-3x=0,解 正方形贺卡的边长，·小明能将 得x=4,..2x-2=6,..a=62=36, 这张贺卡不折叠就放人此信封. .a一4b的算术平方根是4， 专练07二次根式的双重非负性 .a-4b=16,.b=5. 典例导练 (2):2a-b+17=2×36-52+17 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴y =64,.2a-b+17的立方根为4. 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, 知能检测 解得x=士8，∴x+y=11或-5. 1.(1)原方程整理得： 知能检测 r=,则x=±号 12m-4=0 1.由题意得， (2)原方程整理得：(x十1)3=一8， 2n+6=0 则x+1=一2，解得：x=一3. m=2 解得{ 2.(1):x的算术平方根是3，∴.1 n=-3 2a=9,解得a=-4.故a的值是 √m+n=13. -4. 2.由题意，得(m一3)n≥0，.m≥3， (2)x,y都是同一个数的平方根， ∴.2m-4>0, 69C1 第一章 勾股定理 专练01勾股定理与面积问题 【方法规律】图形的面积往往与高紧密联系，这时一般要考虑在直角三角形中用勾股 定理来解决。 典例导练 模型一勾股树 A 示范题如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三E 角形，若AB=4,则阴影部分的面积为 ( A.8 B.16 C.24 D.32 【思路点拨】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形 的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形 的面积.则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍. 知能检测 模型二不规则图形一面积分割 1.如图，有一张四边形纸片ABCD,AB⊥BC.经测得AB=9cm,BC=12cm,CD=8cm, AD=17cm.求这张纸片的面积. 模型三双勾股列方程求面积 2.如图，AC=13,BC=20,AB=11,求△ABC的面积. 2 专练02勾股定理与折叠问题 【方法规律】折叠→构造直角三角形→勾股定理 )典例导练 模型一折叠—构造全等三角形 示范题如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC,将正方形 G 边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于点G,则△BEG的周长为 【思路点拨】连接GD,证明△ADG≌△FDG(HL)得出AG=FG,设 B AG=FG=x,则EG=x十6，BG=12一x,利用勾股定理求得x的值，即可求出△BEG各 边的长 >知能检测 模型二折叠一构造直角三角形 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20,AC=12,把△ABC沿AD折叠.使AB落在 直线AC上. (1)BC= (2)求重叠部分（阴影部分）的面积. 模型三折叠—一构造等腰三角形 2.如图将长方形ABCD沿着BD所在的直线折叠，BC交AD于点E. (1)△EBD是 三角形 (2)当AD=8,AB=4时，求△EBD的面积，