12.2.4 边边边-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

(2)1+2+22+23+…+27+2811.(1)一2x:(2)(-2)-x" +2°+210=(2-1)×(20+2°+ 11.4.2多项式除以单项式 28+2+2+2+2+23+22+1.B2.B3.C4.C5.B 2+1)=21-1； 6.-3x+2y-6 1 原式×3-)×(1+37.1)3z2:22a +32+33+…+397十38十389) (3)-2x2+3x-1; =3-1 (4)-3y3+2xy2+4. 21 8.A9.D10.6 11.3.2两数和（差）的平方 1.A2.C3.D 1.1123228 4.(1)16m2-8mn+n 12.这个多项式是6a3+9a2-7a+9. (2)4x2+4xy+y 13.(1)B=- 3x2+2y: (3)a2-2ab+b2 (4)a2+2ab+b (2)A=-3xy2+18x2y3. 5.(1)9a2b-24ab+16: 14.需要（合A+2H）个这样的小 杯子 (3)-x2y+2xy-1. 重点强化专题整式的化简与求值 6.D7.D8.7cm 1.(1)-6a3b+10a3b3: 9.1或-110.C11.C (2)n2-9m2;(3)x2+5xy: 12.(1)49(2)2 (4).x2+3: 13.(1)4a+1: (5)4x2+11xy-10y2: (2)x-18x2+81: (6)x-8.x2y2+16y (3)x2-2xy+y2-2x+2y+1. 2.(1)2x-1:(2)-2m+2m+1: 14.原式=a2一4b2-a2+4ab一4b +8b2=4ab, (3)-12a2b+20a3. 3.(1)二；(2)a2b+2b2 当a=-2,b=2时，原式=-4. 4.(1)3;(2) 3(3)2. 15.【方法运用】ab=12. 5.(1)m=1,n=-2;(2)0. 【拓展延伸)号. 6.原式=一1，该式子的值与a的取 微课堂完全平方公式的变形 值无关 1.282.123.3或-34.6 7.(1)(-1)2-(-3)2的结果是4 方法技巧专题乘法公式的运算技巧 的（一2）倍； 1.9x2-4y2.2.9-x2. (2)略. 3.1-a2b.4.x16-2x8+1. 11.5因式分解 5.m2-n2+4n-4. 第1课时因式分解及提公因式法 6.4mn+4mn.7.-1.345. 1.①④②③ 可逆 86 2.A3.A 9.m-1. 4.(1)2y(2x-3);(2)(b+c)(2a 10.x4-2.x2+1.11.-1. 3);(3)(a-1). 12.7. 13.29.14.-6. 5.C6.A 11.4整式的除法 7.(1)3x(2x2-6x+1): 11.4.1 单项式除以单项式 (2)(b-a)(a+2b): 1.B2.C3.(1)3ab:(2)3ab. (3)4(x-y)(2ax-2ay+b): 4.3ab (4)x(x+4). 8.(1)9900;(2)0 5.(1)-号xy(2)-4x 9.△ABC为等腰三角形， 6.A7.B 第2课时运用平方差公式分解因式 1.C2.D3.C4.C &.)25b:(2)-3a6c3 5.(1)(9+4m)(9-4m) (3)-24a. (2)(x+2)(x-6) 9.-.10.1 (3)(4x2+1)(2x+1)(2x-1) 6.±6-6 40 7.a2-b=(a+b)(a-b) 两个数的积仍是无理数， 8.(1)(ab+m)(ab-m); 10.①如果AB∥CD,∠B=∠C,那 (2)(m-a+n+b)(m-a-n-b); 么∠E=/F: (3)(x+a+b-c)(x-a-b+c): ②如果AB∥CD,∠E=∠F,那 (4)(3y+2x)(3y-2x)(9y2+ 么∠B=∠C; 4x2). ③如果∠B=∠C,∠E=∠F, 9.:x2-y2=(x+y)(x-y)=12, 那么AB∥CD. x+y=3①， 12.1.2定义、定理与证明 ∴.x-y=4②，①+②得2x=7, 1.B2.A3.D4.C .2x2一2xy=2x(x一y)=7×45.平行同位角相等，两直线平行 =28. 6.同角的余角相等 10.(n+3)2-n=3(2n+3) 7.CE内错角相等，两直线平行 第3课时运用完全平方公 两直线平行，同旁内角互补C 式分解因式 两直线平行，同旁内角互补同 1.C2.B3.A4.A 角的补角相等 5.(1)(2a-1)2;(2)(2x-3)2: 8.证明：.AB∥CD, (3)(xy-2)2;(4)a(a-b)2: .∠B+∠BCD=180°， (5)(a-2b)2 ∠B=∠D, 6.13或-117.4x+8 .∠D+∠BCD=180°， 8.(1)(2x+5)2 .AD∥BC. (2)(x+3)2(x-3)2; 9.(1)如果DE∥BC,∠1=∠2，那 (3)(x-y十z)2 么∠B=∠C: 9.(1)4:(2)1000. (2)证明：DE∥BC,.∠1= 10.△ABC的形状是等腰三角形. ∠B,∠2=∠C. 11.(a+b)(a-3b). 又∠1=∠2，∴∠B=∠C. 章末核心考点整合与素养提升 12.2三角形全等的判定 1.C2.D3.A4.D 12.2.1全等三角形的判定条件 5.(1)18x;(2)9a2-5b. 1.C2.A3.B4.2cm. 6.(1)4x3;(2)2x-4. 5.B6.37.309 8.14. 8.(1)△AED≌△A'ED,其中∠EAD =∠EA'D,∠AED=∠A'ED, 9.-2.10.C ∠ADE=∠A'DE; 11.(1)xy=10;(2)x-y=±3. (2),∠1+∠2=360°-2（∠AED 12.当a=一2时，原式=7. +∠ADE)=360°-2(180°-∠A) 13.C14.(xy-1)215.20 =2∠A. 16.917.-6或0 .∠1+∠2=2∠A. 18.(1)161220或162012： 12.2.2边角边 (2)m=11,n=6. 1.D2.∠DCE=∠ACB 第12章全等三角形 12.1命题、定义、定理与证明 3宁AB合AC AF AE AB 12.1.1命题 AC AA AE AF SAS 1.D2.C3.C 4.证明：DE⊥AC,DF⊥AB, 4.两个角是对顶角这两个角相等 .∠BFD=∠CED=90°， 5.如果两个角是同位角，那么这两 在△BDF和△CDE中， 个角相等. DF=DE 6.A7.①②④ ∠BFD=∠CED 8.(1)假命题，如∠1=50°，∠2=70°， BF-CE 但∠1+∠2=120°，不是锐角； ∴.△BDF≌△CDE(SAS), (2)真命题； .∠B=∠C (3)假命题，如a=2,b=-2,有5.证明：：AE=BF, a2=b,但a≠b. ..AE+EF=BF+EF, 9.(1)在同一个三角形中，如果两个 即AF=BE, 角相等，那么它们所对的边相等； AC∥BD, (2)如果两个数是无理数，那么这 ∴∠CAF=∠DBE, 在△ACF和△BDE中， ∠A=∠F (AC-BD ∠ACB=∠FEC, ∠CAF=∠DBE, BC=CE AF-BE ∴.△ABC≌△FCE(AAS), ∴.△ACF≌△BDE(SAS) ..AB=FC. ∴.CF=DE. 13.(1).·∠BAD+∠EAC=∠BAC 6.略. =90°， 7.D8.D9.D CE⊥AE, 10.AC=BD11.4 ∴∠ACE+∠EAC=90°， 12.(1)证明：D是BC中点， ∠BAD=∠ACE, ..BD=CD, .BD⊥AE,CE⊥AE, 在△ABD与△ECD中 ∴.∠BDA=∠AEC=90°， BD=CD 又AB=AC, ..△ABD≌△CAE(AAS), ∠ADB=∠EDC, ..AE=BD,AD=CE, AD-ED .BD-AE-AD+DE-DE .∴.△ABD≌△ECD(SAS); +CE; (2)10 (2)线段BD,DE,CE之间关系 13.(1)(12-2t)cm; 为：DE=BD十CE.理由如下： (2)当t=2时，BP=CQ=2×2 同(1)可证△ABD≌△CAE, =4cm, .BD-AE.AD-CE. BD=8cm,BC=12cm, .DE=AE+AD, .PC=BC-BP=12-4=8cm, .DE-BD+CE. ..PC=BD, 12.2.4边边边 AB=AC,.∠B=∠C, 1.D2.C 在△BPD和△CQP中， 3.CE SSS△ABF △CDE BD=PC, 4.证明：：AE=BF, ∠B=∠C, ∴.AE+EF=BF+EF, BP=CQ, 即AF=BE. .△BPD≌△CQP(SAS); 在△ADF和△BCE中， (3)由题意，得BP≠CQ, (AD-BC △BPD≌△CPQ,∠B=∠C, AF=BE, .'BP=PC=6cm,CQ=BD=8cm, DF=CE ∴.△ADF≌△BCE(SSS) ·点P,Q运动的时间1= PB 2 3, 5.∠A=∠D,提示：连接BC,证 点Q运动的速度为9Q-8, △ABC≌△DCB. 3 cn/s. 6.C 7.C 8.D 9.BD=AC 12.2.3角边角 10.140 1.A2.125°3.C4.6 11.(3,-3)或(-1,3)或(-1，-3) 5.证明：：BE∥DF, 12.∠BAD=∠CAD.理由： .∠EBA=∠D. :AB=AC,AE=号AB,AF ∠A=∠F,EB=CD, ∴.△ABE≌△FDC(AAS), 号ACAE=AE, ∴.AE=FC. 在△AOE和△AOF中， 6.A7.C8.D (AO-AO 9.∠ACB=∠DFE ∠A=∠D AE=AF, 10.①③④11.16 OE-OF 12.证明：FE⊥AC, ..△AOE≌△AOF(SSS), ∠ACB=90°， ∴.∠EAO=∠FAO,即∠BAD .∠FEC=∠ACB=90°， =∠CAD. ∴.∠F+∠ECF=90°. 13.证明：连接AC, 又CDIAB, 在△ADC和△CBA中， ∴.∠A+∠ECF=90°， (DC=AB ∴.∠A=∠F AD=BC, 在△ABC和△FCE中， AC=CA 42 .△ADC≌△CBA(SSS), :12.(1).AB⊥AD,ED⊥AD ∴.∠DAC=∠BCA, ∠A=∠D=90°， .AD∥BC,.∠E=∠F 又.'AB=CD,AC=DE, 14.(1)先证AE=CF,再用“SSS”可 .∴.△ABC≌△DCE(SAS), 证△ADE≌△CBF; .∠B=∠DCE, (2)成立，理由同(1)； :∠B+∠ACB=90, (3)AD∥CB. .∴.∠ACB+∠DCE=90°， △ADE≌△CBF, .∠BCE=90°，.BCLCE; ∴.∠A=∠C,AD∥CB (2),AB⊥AD,ED⊥AD, 12.2.5斜边直角边 ∴∠A=∠CDE=90. 1.C 2.AC=AD 又，AB=CD,AD=DE, 3.CB=DA.理由： .△ABD≌△DCE 由题意易知AC=BD. .∠B=∠DCE CB⊥AB,DA⊥AB :∠B+∠ADB=90°， ∴.∠DAB=∠CBA=90°. ..∠ADB+∠DCE=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， .∠CFD=90°，∴.BD⊥CE BD-AC 方法技巧专题证明三角形 AB-BA 全等的解题思路 ∴.Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). 1.证明：：DE=BF, ∴.CB=DA. .DE一EF=BF一EF， 4.(1)AB=DC HL; 即DF=BE (2)AC=DB HL; 在△ABE和△CDF中， (3)∠ABC=∠DCB AAS; (AB=CD (4)∠ACB=∠DBC AAS. BE-DF, 5.(1)以点C为圆心，以任意长为半 LAE-CE 径画弧交直线（于A,B两点； ,∴.△ABE≌△CDF(SSS) (2)分别以点A,B为圆心，大于 2.证明：在△ABD和△CDB中， 专AB长为半径画弧，两孤相交 ∠ABD=∠CDB BD-DB 于D点； ∠ADB=∠CBD (3)过点C,D作直线CD,则直线 ,∴.△ABD2△CDB(ASA) CD⊥l. 3.证明：BE=CF, 6.不正确.直角三角形全等的判定 .BE+EC=CF+EC. 中没有“SSA”,而应该是“HL”. 即BC=EF 正确的证明过程： 在Rt△ABC和Rt△DFE中， .ADI BC. (AB=DF .∠ADB=∠ADC=90. BC=FE' 在Rt△BFD和Rt△ACD中 ∴.Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). BF=AC 4.证明：∠1=∠2， FD-CD .∠ABE=∠DBC. ∴.Rt△BFD≌Rt△ACD(HL). 在△ABE和△DBC中， ∴.∠DAC=∠DBF, AB-DB 7.C8.C9.B10.5或10 ∠ABE=∠DBC, 11.证明：连接AC, BE=BC 在Rt△ABC和Rt△ADC中， .∴△ABE≌△DBC(SAS) .AB-AD,AC-AC, 5.证明：由∠ECB=70°得∠ACB ∴.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL), =110°， ∴.BC=DC ∴.∠ACB=∠D=110°. BE⊥EF,DF⊥EF, AB∥DE,.∠CAB=∠E. ∴.∠E=∠F=90 在△ABC和△EAD中， 在Rt△BCE和Rt△DCF中 ∠ACB=∠D (BC=DC ∠CAB=∠E BE-DF AB-EA ∴.Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). .△ABC≌△EAD(AAS). 43 方法技巧专题全等 ·∠BAD=∠CAE,AB=AC, 三角形的基本模型 ∠ABD=∠ACE, 1.证明：BC∥DE .∴.△ABD2△ACE(ASA), ∴.∠ABC=∠D. ∴.AD=AE 在△ABC和△EDB中， 8.证明：(1)：AC∥DE :AB=ED,∠ABC=∠D,BC ∴∠ACB=∠E,∠ACD=∠D, =DB, ∠ACD=∠B,∴.∠D=∠B, .△ABC≌△EDB(SAS), 在△ABC和△CDE中， .∠A=∠E ·∠ACB=∠E,∠B=∠D,AC 2.证明：AE∥BF =CE, ∴.∠A=∠FBD. ∴.△ABC≌△CDE(AAS), CE∥DF,∴.∠D=∠ACE ..BC=DE; .AB=CD, (2)∠BCD=140°. ∴.AB+BC=CD+BC, 9.证明：FB=CE, 即AC=BD. ∴，FB+FC=CE+FC,即BC 在△ACE和△BDF中， =EF. ·∠A=∠FBD,AC=BD, AB∥ED,AC∥FD ∠ACE=∠D, ∴.∠B=∠E,∠ACB=∠DFE, ∴.△ACE≌△BDF(ASA), 在△ABC和△DEF中， ..AE=BF. ∠B=∠E,BC=EF,∠ACB 3.答案不唯一，如添加∠BAC =∠DFE, =∠DAC. ∴.△ABC≌△DEF(ASA),.AC 理由：在△ABC和△ADC中， =DF. :∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,10.证明：设AD,BE交于点F AC=AC, .AB⊥BC,CEI BC, ∴.△ABC≌△ADC(AAS). .∠ABD=∠C=90 4.证明：BD⊥AC,CE⊥AB, 在△ABD和△BCE中， ·∠ADB=∠AEC=90 AB=BC,∠ABD=∠C,BD 在△ADB和△AEC中， =CE, :∠ADB=∠AEC,AD=AE, .△ABD≌△BCE(SAS) ∠A=∠A, ∴.∠A=∠CBE. .∴.△ADB≌△AEC(ASA), ∠CBE+∠ABE=90°， ..AB=AC, .∴.∠A十∠ABE=90°， 又AD=AE,.AB-AE=AC 则∠AFB=90°，AD⊥BE 一AD,即BE=CD. 实践操作尺规作图与网格作图 5.证明：AC=BD,.AC+CD= 1.D2.D3.略 BD+CD,即AD=BC 4.(1)略； 在△AED和△BFC中， (2)AF⊥CD.理由： :∠A=∠B,AD=BC,∠ADE .AB=AE,BC=ED, =∠BCF, ∠B=∠E, .△AED≌△BFC(ASA), ∴.△ABC≌△AED(SAS), :DE=CF. ..AC=AD, 6.证明：，BE⊥AC,CD⊥AB, ∠CAF=∠DAF,AF=AF, .∠BEA=∠CDA=90°， ∴.△ACF≌△ADF(SAS), 在△ABE和△ACD中， ∴.∠AFC=∠AFD=90°， :∠BEA=∠CDA,∠A=∠A, AF⊥CD. BE-CD. 5.略. ∴.△ABE≌△ACD(AAS), 12.3等腰三角形 ..AB=AC. 12.3.1等腰三角形的性质 7.证明：.AB⊥AC,AD⊥AE, 1.D2.D3.75°4.75 .∠BAC=∠DAE=90°， 5.A6.B7.B8.63°或27 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-9.C10.B11.3412.40 ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 13.证明：：AB=AC=AD, 在△ABD和△ACE中， ∴.∠C=∠ABC,∠D=∠ABD, 名 .∠ABC=∠CBD+∠D, ..∠B=60°， :AD∥BC,∠CBD=∠D, 当BP=BQ时，△PBQ是等边 ∴.∠ABC=∠D+∠D=2∠D, 三角形，则6一t=2t, 又∠C=∠ABC, t=2,∴当t=2时，△PBQ为等 .∠C=2∠D 边三角形， 14.AB=AC,M是边BC的15.(1)D 中点， (2)如图，△BCE即为所求作 ∴.∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM, ∠BEM=∠AED=64°， ∴.∠EBM=26°， 本达入 ,BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠EBM=52°， 图1 图2 图3 图4 .∴.∠BAM=90 一 ∠ABM 方法技巧专题构造 =38°， 等腰三角形的常用方法 .∠BAC=2∠BAM=76°. 1.证明：过点D作DM∥AC交BC 15.(1)AD∥BE,∴.∠A=∠B, 于点M. 在△ADC与△BCE中， ∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. (AD=BC AB=AC,∠B=∠ACB. ∠A=∠B, ∴.∠B=∠DMB.∴.BD=MD. AC=BE BD=CE,∴.MD=CE. ∴.△ADC≌△BCE(SAS): 在△DMF和△ECF中， (2)由(1)知△ADC≌△BCE, '∠MDF=∠E .DC-CE, /MFD=∠CFE 又CF平分∠DCE, MD-CE ..CF DE,DF-EF, .∴.△DMF≌△ECF(AAS) CF=3,DF=4. .DF=EF. .DE=2DF=8, 2.证明：延长AD交BC于点F, SAOE- E·CF_8X3=12. ·∠ABD=∠FBD,BD=BD, 2 2 ∠ADB=∠FDB=90°， 12.3.1等腰三角形的判定 ∴.△ABD≌△FBD(ASA) 1.B2.C3.2cm4.C5.D .∠BAD=∠BFD. 6.证明：DE⊥AB,DF⊥BC,垂足 ∠BFD=∠CAD+∠C, 分别为点E,F, .∠BAD=∠CAD+∠C. .∠AED=∠CFD=90°， 3.证明：（截长法）在BC上取点E :D为AC的中点，.AD=DC, 使BE=BA,连DE, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ,BD平分∠ABC, AD=DC DE-DF .∠ABD=∠EBD, 在△ABD和△EBD中， ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF, AB=EB ∴.∠A=∠C,.BA=BC, .AB=AC,..AB=BC=AC, ∠ABD=∠EBD, BD-BD .△ABC是等边三角形. ..△ABD≌△EBD(SAS), 7.D8.B9.B10.D 1.80海里12.2或号 ∴∠BAC=∠BED=108,AB=EB, .∠DEC=72°， 13.证明：，DE∥AC,∴.∠1=∠3， .AB=AC, ·AD平分∠BAC, ∴.∠C=∠ABC=36°， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3， ∴∠CDE=72°， AD⊥BD,∠2+∠B=90°， ∴.∠CDE=∠CED=72°， ∠3+∠BDE=90°， .CD=CE,则BC=BE十EC= .∠B=∠BDE,∴.BE=DE AB+CD ∴△BDE是等腰三角形. 回归教材等腰三角形 14.由题意得：AP=t,BQ=2t,则 的性质与全等三角形的综合 BP=6-4, 1.证明：AB=AC,.∠B=∠C :△ABC是等边三角形， 在△ABD和△ACE中， 4545 12.2.4 01基础达标 知识点一用“SSS”判定三角形全等 1.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如 下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB 上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相 同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C作 射线OC.由此做法得△MOC≌△VOC的依据 是 A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS 第1题图 第2题图 2.如图，AB=AD,AC=AE,BC=DE,则下列结 论正确的是 A.△AEF≌△ACDB.△ADF≌△ADB C.△ABC≌△ADED.△AEF≌△CDF 3.如图，AB=CD,BF=DE, E、F是AC上两点，且AE =CF.欲证∠B=∠D,可先 运用等式的性质证明AF= ,再用“ ”证明 得到结论 4.如图，E、F是线段AB上的点，且AE=BF AD=BC,DF=CE.求证：△ADF≌△BCE. 边边边 知识点二三角形全等的判定与性质的综合 5.如图，AC、BD相交于点O,且AB=DC,AC= DB,那么∠A=∠D吗？说明理由、 知识点三作已知角的平分线 6.如图，已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分 ∠AOB,那么作法的顺序合理的是 () ①作射线OC;②在射线OA和OB上分别截取 OD、OE,使OD=OE;③分别以D、E为圆心， 大于，DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧 交于点C A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③①② B D 第6题图 第7题图 02能力提升 7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F是BC 边的四等分点，AD=AF,则图中的全等三角 形共有 ( A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 8.如图，网格中有△ABC及线段 DE,在网格上找一点F(必须 在格点上)，使△DEF与C △ABC全等，这样的点有( ) A.1个B.2个C.3个 D.4个 9.如图，点C,D在AB同侧，AD=BC,添加一个 条件： ,使△ABD≌△BAC. 第9题图 第10题图 10.如图，AD和BC相交于点O,AD=BC,分别 连接AC,AB,BD,已知AC=BD,∠ABC= 20°，则∠AOB的度数为 11.已知A(0,0),B(2,0), C(3,3),如果在平面直角 坐标系中存在一点D,使 得△ABD与△ABC全 等，那么点D的坐标为 12.雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC,支撑 杆OE=OF,AE=寸AB,AF=寸AC,当0沿 AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中， ∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由， 13.如图，AB=DC,AD=BC,点E在DA的延长 线上，点F在BC的延长线上，求证：∠E=∠F. 46 03， 思维拓展 14.如图，AD=CB,E、F是AC上的两动点，且 DE-BF. (1)若E、F运动至如图①所示的位置，且AF =CE,求证：△ADE≌△CBF; (2)若E、F运动至如图②所示的位置，仍有 AF=CE,那么△ADE≌△CBF还成立吗？ 为什么？ (3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明 理由。