11.3.1 两数和乘以这两数的差-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

23 11.3乘法公式 11.3.1两数和乘以这两数的差 01基础达标 到的数学公式是 知识点一平方差公式 1.(1+y)(1-y)= A.1+y B.-1-y 甲 C.1-y D.-1+y 2.下列各式：①(7ab+3b)(7ab一3b);②398× 6.已知甲数为a,乙数比甲数的2大3，丙数比乙数 402;③(-8一a)(a+8);④(a+b)(c-b),其中 小6，则甲、乙、丙三数的乘积为 能用平方差公式运算的是 ( )7.利用平方差公式计算： A.①② B.①③ 1)97×89 C.①③④ D.①②③④ 3.(临沂中考)若a十b=1,则a2-b十2b一2= 4.计算： )(a-1)(是a+1): (2)2019×2021-20202. (2)(-3x2+y2)(y2+3x2); 3)(-2x-2)(2x-2). 02能力提升 8.若M·(3x-y)=y-9x2,则M为() A.-3.x-y2 B.-3x+y2 C.3x+y2 D.3x-y2 知识点二平方差公式的运用 9.计算(1-a)(1十a)(1十a2)的结果是( 5.如图，将甲图中的阴影部分的小长方形变换到A.1一a B.1+a 乙图中的位置.你能根据两个图形的面积关系得C.1一2a2+a D.1+2a2+a 24 10.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那 (2)已知2a2+3a-6=0,求式子3a(2a+1) 么我们称这个数为“幸福数".下列数中为“幸 (2a+1)(2a-1)的值. 福数”的是 ( A.205 B.250 C.502 D.520 11.观察下列各式： 1×3=3,而3=22-1 3×5=15,而15=42-1 5×7=35,而35=62-1 … 03思维拓展 11×13=143,而143=122-1 14.分别计算下列各式的值： 将你猜想到的规律用只含有一个字母n(n为 1)填空： 正整数)的式子表示出来 (x-1)(x+1)= (x-1)(x2+x+1)= 12.计算： (.x-1)(x3+x2+x+1)= (1)b(a+b)+(a+b)(a-b); 由此可得(x-1)(x+x8+x?+x+x5+x十 x3+x2+x+1)= (2)求1+2+22+23+…+2+28+2°+210的 值； (3)根据以上结论，计算：1十3+32十33十…十 (2)(2+1)(22+1)(2+1)(28+1)(216+1). 397十398十39 13.先化简，再求值. (1)(x十y)(x-y)-x(x+y)+2xy,其中x= 1,y=2.温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第10章数的开方 10.2实数 10.1平方根与立方根 第1课时实数的相关概念 10.1.1平方根 1.D2.B 1.B2.D 3.一5，一一3,0，… 3.士5士69±7 士√65 3,-0.4,… ±0.7 π，√5,1.1010010001…，… 4.B5.B6.4 4A5.D6.3:60.2;27.3 7.D8.C9.B10.5 8.1士18：2-8：37649. 11.-π<-3<-√3 9.A10.B11.A12.D13.B 12.点C表示的实数为2-√2. 14.9±9±3 第2课时实数的简单运算 15.(1)x=1或x=-5; 1.B2.-5;π-1 (2)x=5或x=-6. 3.(1)±√2；(2)2-√5；π-3. 16.a+2b的平方根是±3. 4.B5.B 17.x+10y的平方根是士4. 6.(1)8√3；(2)W3-1; 18.(1)根据题意，得(2a一1)+(a一 (3)1.72. 5)=0,解得a=2.∴这个非负数7.C8.B9.-9 是(2a-1)2=(2×2-1)2=9. 10.(1)0;(2)原式=√5+1. (2)根据题意，分以下两种情况：11.依题意，得a+b=0,cd=1,x= ①当a-1与5-2a是同一个平 √2，原式=x+x+1,当x=√2时， 方根时，则a-1=5-2a,解得a =2.此时，m=(2-1)2=1； 原式=2+√2+1=3+√2. ②当a-1与5-2a是不同的平 当x=一√2时，原式=2-√2+1 方根时，则a一1十5-2a=0,解 =3-√2. 得a=4.此时，m=（4-1)2=9. 12.(1)4:(2)1 综上所述，a=2,m=1或a=4, 阶段提升自测（一） m=9. 1.B2.C3.D4.A5.B6.D 10.1.2 立方根 7./7-55-√78.±5 1.C2.B3.D 9.810.211.-b12.-1 4.0,1或-1A 13.04,-27,… 5.A6.A7.D 8.①)727.58)-1 6.5,03.14,号，-27 9.B10.C11.D -√压，号，21212112112… 12.-7<7<√/7 13.7 314,号，，号212121212 14.(1)x=-0.3; …,… 5 (2)x=- -6.5,-√/15，-27，… (3)x=4. 14.(1)x1=7,x2=-5; 15.由题意，知a=60,(a-62)3 (2)x=10. (60-62)3=(-2)3=-8. 15.13,(2)号(3)0. 16.1. 16.317.±2. 5 5 6 17.1)√5124=5√2√62i5 18.(1)/F 6 (2)①4②2√2 =6√25 ③，AD的长为2√2，点A与数 1重合，点D在点A的左侧， .点D表示的数为1-2√2. 1,且n为整数). 37 章末核心考点整合与素养提升 .1+7x=22,∴x=3; 1.B2.A3.D (2)2+2+2+1=24, 4.(1)a=6,b=1:(2)±2. .2(22+2)=24, 5.D6.B7.A8.C9.3-a .2=4,∴.x=2. 10.C11.√2-1√2-1 11.1.4同底数幂的除法 12.(1)-1;(2)1-2. 1.D2.C3.A4.a°a2 13.x=-1,y=-2,y2-5x=9, 5.D号，2)-a 士√=±3. 14.C15.C16.D17.C18.D 6.B7.3a b 19.B20.C 8.C9.D10.1.4×10 21.>22.3-√7 11.100 23./27+-27=3+(-3)=0, 12.(1)xy;(2)x8; 【归纳】a十b=0. (3)16;(4)x4 【应用】由题意得，3-2x+x十5 13.(1)9:(2)27:(3)c=2a+b. 0,解得x=8,则-√2x=-√16 阶段提升自测（二） 1.D2.C3.D4.D5.C =-4. 6.A7.-(x+y)°8.6 第11章整式的乘除 9.2310.911.mn 11.1幂的运算 12.2x-x 11.1.1同底数幂的乘法 13.(1)-x";(2)a2m+n-a2m; 1.D2.C3.A4.8×10 (3)119a°. 5.(1)-a5;(2)-2: 14.(1)1600<840;(2)210<375. (3)-(x-y) 6.(1)a5;(2)b;(3)2x5;(4)正确. 15.(1D2:(21804 7.38.1850 16.(1)x=4:(2)x=3. 9.(1)2°；(2)x; 17.(1)a"=6; (3)-(n-m)8;(4)2. 10.116:2-是 (2)①ab=(ab):@-号 11.2整式的乘法 11.1.2幂的乘方 11.2.1单项式与单项式相乘 1.A2.A3.C4.B5.b 6.33;729. 1.C2.Da.9a,-号a6 7.(1)-x5;(2)a2m-4;(3)(x-y)2; (4)-2a". 4.(1)-4x,(2)号xy 8.225 5.3.6×10cm36.4.8×10 9.(1)-8a2;(2)-3x16;(3)8. 10.(1)16;(2)368. .号a8(2》-mm: 微课堂 (3)-1.28×1027. 1.34>433>25 1m=2 8. 2.因为a5=(a3)5=25=32,b5= n=3‘ (6)3=33=27,32>27,所以a5 >b5.所以a>b. 3子e12 11.1.3积的乘方 11.2.2单项式与多项式相乘 1.D2.C3.C4.x8 1.A2.B3.D 51 4.(1)12a2-18ab: 5.3-2 (2)-6x2+18xy; 6.B7.2.9791×10 (3)-x3y-6xy+2x; 8.(1)-27a6;(2)4×10; (4)x5y-2x3y. (3)-48x. 5.D6.D 9.B10.18411.5×10 7.(1)-6x3y+4x2y; 12.(1)16abc2;(2)18x8; (2)2xy2-4xy+2xy2. (3)8. 8.C9.D 13.(1).2×8r×16r=2×23r×24r 10.(1)a3+3a; =21+3+=21+7=22, (2)4x3y+x2y2. 38 11.由题意得a+6一1=0， (2)由(1)得(x+m)(5x-4)= a-b-3=0, (x+6)(5x-4) 斯得份 =5.x2-4.x+30x-24 =5x2+26x-24. 原式=3ab-6a3-4a(a6)=15.(1)S=(m+1)(m+7)=m2+ 3a3b2-6a3-4ab62=-6a 8m+7, -ab, S2=(m+2)(m+4)=m2+6m 当a=2,b=-1时，原式=-6 +8, ×23-25×(-1)2=-48-32 .S1-S2=(m2+8m+7)-(m =-80. +6m+8)=2m-1, 12.化简方程，得21x-6x2+10x ,m为正整数，∴.2m一1>0， -5x=4x2-12x+56, S>S2; 28x=56,.x=2; (2)图中甲的长方形周长为2(m 18.1a+号ab+6; +7+m+1)=4m+16, .该正方形边长为m十4， (2)23.5cm°. ∴.S-S1=(m+4)2-(m2+8m 14.(1)由题意得：B=-号[(3 +7)=9, 这个常数为9. 3b)x2+(a+2)x+3y-10 方法技巧专题整式乘法中 (3x2+ax-3y+2)] 的六种常见错误 =-号[8-30r+a+2x+ 1.B2.2m3.2a3;a54.a+5 5.m6.B 3y-10-3.x2-a.x+3y-2] 7.x8.-(a-b)9 =-3(-36r2+2x+6y-12) 9.-y10.-2a411.D 12.-8a°b313.B -b2-号2y+ 14.-x2+x+1 (2)由题意，得3-3b=0,a十2 15.x3-2x2y+3xy2+y. =0, 16.-x+4x2+2x-2. 解得b=1,a=-2, 、1 17.m=- ab(abi-ab-b)=abs-a2b 11.3乘法公式 -ab? 11.3.1两数和乘以这两数的差 =(-2)3×15-(-2)2×14 1.C2.A3.-1 (-2)×12 =-10. 41c-1:(2y-9: 11.2.3多项式与多项式相乘 1.A2.B (3)-4. 3.(1)a2+2a-3; 5.(a-b)(a+b)=a2-b2 (2)x3+1; (3)12a2-7ab-106. 6.d-9a 4.C 7.(1)8048 5.d+7a+16 049:(2)-1. 8.A9.A10.D 6.D7.A8.A9.D10.-15 11.(2n-1)(2n+1)=(2)2-1 1.号 12.22 12.(1)ab+a2;(2)22-1. 13.(1)原式=x2-y2-x2-xy+ 13.(1)2a-6; 2xy=xy-y, (2)-15x2+10xy-y2. 当x=1,y=2时， 14.(1).(x-m)(5x-4)=5x2 原式=2一4=一2 34x+24, (2)原式=2a+3a十1. .5x2-4.x-5mx+4m=5x2- 2a2+3a-6=0, 34x+24, ..2a2+3a=6, .4m=24,解得，m=6. .原式=7. .-4-5m=-34,符合， 14.(1)x2-1x3-1x4-1x29 .∴.m=6; -1 39 (2)1+2+22+23+…+27+2811.(1)一2x:(2)(-2)-x" +2°+210=(2-1)×(20+2°+ 11.4.2多项式除以单项式 28+2+2+2+2+23+22+1.B2.B3.C4.C5.B 2+1)=21-1； 6.-3x+2y-6 1 原式×3-)×(1+37.1)3z2:22a +32+33+…+397十38十389) (3)-2x2+3x-1; =3-1 (4)-3y3+2xy2+4. 21 8.A9.D10.6 11.3.2两数和（差）的平方 1.A2.C3.D 1.1123228 4.(1)16m2-8mn+n 12.这个多项式是6a3+9a2-7a+9. (2)4x2+4xy+y 13.(1)B=- 3x2+2y: (3)a2-2ab+b2 (4)a2+2ab+b (2)A=-3xy2+18x2y3. 5.(1)9a2b-24ab+16: 14.需要（合A+2H）个这样的小 杯子 (3)-x2y+2xy-1. 重点强化专题整式的化简与求值 6.D7.D8.7cm 1.(1)-6a3b+10a3b3: 9.1或-110.C11.C (2)n2-9m2;(3)x2+5xy: 12.(1)49(2)2 (4).x2+3: 13.(1)4a+1: (5)4x2+11xy-10y2: (2)x-18x2+81: (6)x-8.x2y2+16y (3)x2-2xy+y2-2x+2y+1. 2.(1)2x-1:(2)-2m+2m+1: 14.原式=a2一4b2-a2+4ab一4b +8b2=4ab, (3)-12a2b+20a3. 3.(1)二；(2)a2b+2b2 当a=-2,b=2时，原式=-4. 4.(1)3;(2) 3(3)2. 15.【方法运用】ab=12. 5.(1)m=1,n=-2;(2)0. 【拓展延伸)号. 6.原式=一1，该式子的值与a的取 微课堂完全平方公式的变形 值无关 1.282.123.3或-34.6 7.(1)(-1)2-(-3)2的结果是4 方法技巧专题乘法公式的运算技巧 的（一2）倍； 1.9x2-4y2.2.9-x2. (2)略. 3.1-a2b.4.x16-2x8+1. 11.5因式分解 5.m2-n2+4n-4. 第1课时因式分解及提公因式法 6.4mn+4mn.7.-1.345. 1.①④②③ 可逆 86 2.A3.A 9.m-1. 4.(1)2y(2x-3);(2)(b+c)(2a 10.x4-2.x2+1.11.-1. 3);(3)(a-1). 12.7. 13.29.14.-6. 5.C6.A 11.4整式的除法 7.(1)3x(2x2-6x+1): 11.4.1 单项式除以单项式 (2)(b-a)(a+2b): 1.B2.C3.(1)3ab:(2)3ab. (3)4(x-y)(2ax-2ay+b): 4.3ab (4)x(x+4). 8.(1)9900;(2)0 5.(1)-号xy(2)-4x 9.△ABC为等腰三角形， 6.A7.B 第2课时运用平方差公式分解因式 1.C2.D3.C4.C &.)25b:(2)-3a6c3 5.(1)(9+4m)(9-4m) (3)-24a. (2)(x+2)(x-6) 9.-.10.1 (3)(4x2+1)(2x+1)(2x-1) 6.±6-6 40 7.a2-b=(a+b)(a-b) 两个数的积仍是无理数， 8.(1)(ab+m)(ab-m); 10.①如果AB∥CD,∠B=∠C,那 (2)(m-a+n+b)(m-a-n-b); 么∠E=/F: (3)(x+a+b-c)(x-a-b+c): ②如果AB∥CD,∠E=∠F,那 (4)(3y+2x)(3y-2x)(9y2+ 么∠B=∠C; 4x2). ③如果∠B=∠C,∠E=∠F, 9.:x2-y2=(x+y)(x-y)=12, 那么AB∥CD. x+y=3①， 12.1.2定义、定理与证明 ∴.x-y=4②，①+②得2x=7, 1.B2.A3.D4.C .2x2一2xy=2x(x一y)=7×45.平行同位角相等，两直线平行 =28. 6.同角的余角相等 10.(n+3)2-n=3(2n+3) 7.CE内错角相等，两直线平行 第3课时运用完全平方公 两直线平行，同旁内角互补C 式分解因式 两直线平行，同旁内角互补同 1.C2.B3.A4.A 角的补角相等 5.(1)(2a-1)2;(2)(2x-3)2: 8.证明：.AB∥CD, (3)(xy-2)2;(4)a(a-b)2: .∠B+∠BCD=180°， (5)(a-2b)2 ∠B=∠D, 6.13或-117.4x+8 .∠D+∠BCD=180°， 8.(1)(2x+5)2 .AD∥BC. (2)(x+3)2(x-3)2; 9.(1)如果DE∥BC,∠1=∠2，那 (3)(x-y十z)2 么∠B=∠C: 9.(1)4:(2)1000. (2)证明：DE∥BC,.∠1= 10.△ABC的形状是等腰三角形. ∠B,∠2=∠C. 11.(a+b)(a-3b). 又∠1=∠2，∴∠B=∠C. 章末核心考点整合与素养提升 12.2三角形全等的判定 1.C2.D3.A4.D 12.2.1全等三角形的判定条件 5.(1)18x;(2)9a2-5b. 1.C2.A3.B4.2cm. 6.(1)4x3;(2)2x-4. 5.B6.37.309 8.14. 8.(1)△AED≌△A'ED,其中∠EAD =∠EA'D,∠AED=∠A'ED, 9.-2.10.C ∠ADE=∠A'DE; 11.(1)xy=10;(2)x-y=±3. (2),∠1+∠2=360°-2（∠AED 12.当a=一2时，原式=7. +∠ADE)=360°-2(180°-∠A) 13.C14.(xy-1)215.20 =2∠A. 16.917.-6或0 .∠1+∠2=2∠A. 18.(1)161220或162012： 12.2.2边角边 (2)m=11,n=6. 1.D2.∠DCE=∠ACB 第12章全等三角形 12.1命题、定义、定理与证明 3宁AB合AC AF AE AB 12.1.1命题 AC AA AE AF SAS 1.D2.C3.C 4.证明：DE⊥AC,DF⊥AB, 4.两个角是对顶角这两个角相等 .∠BFD=∠CED=90°， 5.如果两个角是同位角，那么这两 在△BDF和△CDE中， 个角相等. DF=DE 6.A7.①②④ ∠BFD=∠CED 8.(1)假命题，如∠1=50°，∠2=70°， BF-CE 但∠1+∠2=120°，不是锐角； ∴.△BDF≌△CDE(SAS), (2)真命题； .∠B=∠C (3)假命题，如a=2,b=-2,有5.证明：：AE=BF, a2=b,但a≠b. ..AE+EF=BF+EF, 9.(1)在同一个三角形中，如果两个 即AF=BE, 角相等，那么它们所对的边相等； AC∥BD, (2)如果两个数是无理数，那么这 ∴∠CAF=∠DBE, 在△ACF和△BDE中， ∠A=∠F (AC-BD ∠ACB=∠FEC, ∠CAF=∠DBE, BC=CE AF-BE ∴.△ABC≌△FCE(AAS), ∴.△ACF≌△BDE(SAS) ..AB=FC. ∴.CF=DE. 13.(1).·∠BAD+∠EAC=∠BAC 6.略. =90°， 7.D8.D9.D CE⊥AE, 10.AC=BD11.4 ∴∠ACE+∠EAC=90°， 12.(1)证明：D是BC中点， ∠BAD=∠ACE, ..BD=CD, .BD⊥AE,CE⊥AE, 在△ABD与△ECD中 ∴.∠BDA=∠AEC=90°， BD=CD 又AB=AC, ..△ABD≌△CAE(AAS), ∠ADB=∠EDC, ..AE=BD,AD=CE, AD-ED .BD-AE-AD+DE-DE .∴.△ABD≌△ECD(SAS); +CE; (2)10 (2)线段BD,DE,CE之间关系 13.(1)(12-2t)cm; 为：DE=BD十CE.理由如下： (2)当t=2时，BP=CQ=2×2 同(1)可证△ABD≌△CAE, =4cm, .BD-AE.AD-CE. BD=8cm,BC=12cm, .DE=AE+AD, .PC=BC-BP=12-4=8cm, .DE-BD+CE. ..PC=BD, 12.2.4边边边 AB=AC,.∠B=∠C, 1.D2.C 在△BPD和△CQP中， 3.CE SSS△ABF △CDE BD=PC, 4.证明：：AE=BF, ∠B=∠C, ∴.AE+EF=BF+EF, BP=CQ, 即AF=BE. .△BPD≌△CQP(SAS); 在△ADF和△BCE中， (3)由题意，得BP≠CQ, (AD-BC △BPD≌△CPQ,∠B=∠C, AF=BE, .'BP=PC=6cm,CQ=BD=8cm, DF=CE ∴.△ADF≌△BCE(SSS) ·点P,Q运动的时间1= PB 2 3, 5.∠A=∠D,提示：连接BC,证 点Q运动的速度为9Q-8, △ABC≌△DCB. 3 cn/s. 6.C 7.C 8.D 9.BD=AC 12.2.3角边角 10.140 1.A2.125°3.C4.6 11.(3,-3)或(-1,3)或(-1，-3) 5.证明：：BE∥DF, 12.∠BAD=∠CAD.理由： .∠EBA=∠D. :AB=AC,AE=号AB,AF ∠A=∠F,EB=CD, ∴.△ABE≌△FDC(AAS), 号ACAE=AE, ∴.AE=FC. 在△AOE和△AOF中， 6.A7.C8.D (AO-AO 9.∠ACB=∠DFE ∠A=∠D AE=AF, 10.①③④11.16 OE-OF 12.证明：FE⊥AC, ..△AOE≌△AOF(SSS), ∠ACB=90°， ∴.∠EAO=∠FAO,即∠BAD .∠FEC=∠ACB=90°， =∠CAD. ∴.∠F+∠ECF=90°. 13.证明：连接AC, 又CDIAB, 在△ADC和△CBA中， ∴.∠A+∠ECF=90°， (DC=AB ∴.∠A=∠F AD=BC, 在△ABC和△FCE中， AC=CA 42