第5章 4 二元一次方程与一次函数-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

6 5.4二元一次方程与一次函数 第1课时二元一次方程与一次函数 01 基础达标 7.请在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y =x+2和y=x一3的图象 知识点一 二元一次方程与一次函数 (1)这两个函数的图象有什么位置关系？ 1.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是 (2)你能从图象中找出一组数作为方程组 二元一次方程x一2y=2的解的是 x-y=一2 的解吗？请说明理由. x-y=3 2.直线l是以二元一次方程3.x-5y=10的解为 坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 x=1x=0 3.把方程x十y=2的两组解 和子组成 y=1 y=2 02能力提升 有序数对(1,1)，(0,2)，过这两点画直线1，下 x+y=2 列各点不在直线1上的是 8.若方程组 无解，则一次函数y=2 2x+2y=31 A.(4,-2) B.(2,1) 3 C.(-2,4) D.(-4,6) 工与)名x的图象必定 知识点二二元一次方程组与一次函数 A.重合 B.平行 4.直线y= 十与直线y=2x-1的图象的 3 C.相交 D.无法判断 9.下列各方程组的解是一次函数y=5一3x和y 3x+2y=5 交点坐标是(1,1)，则方程组 的解 =2x一1的图象的交点坐标是 ( 2.x-y=1 为 A.y+3x=5 BJ+3x=-5 时，函数y-十1与 (2x-y=1 2x-y=1 5.当自变量x= y+3.x=5 y+3x=-5 C. D. y=5.x十17的值相等，这个函数值是 (2x-y=-1 2.x-y=-1 6.若直线y=kx+3经过直线y=4一3x与y=10.若一次函数y=kx十3(k为常数且k≠0)的 2x一1的交点，求k的值. 图象经过点（一2,0），则关于x的方程k(x 5)十3=0的解为 () A.x=-5 B.x=-3 C.x=3 D.x=5 68 11.函数y=x十a与函数y=bx一3的图象交于 03 思维拓展 x轴上的同一点，则ab= 12.如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=m.x十n 14.如图，在平面直角坐标系中，直线a与x轴、y 相交于点P(1,b). 轴分别交于A、B两点，且直线a上所有点的 (1)b=; 坐标(x,y)都是二元一次方程4x一3y=一6 y=x+1 的解，直线b与x轴、y轴分别交于C、D两 (2)关于x、y的方程组 的解是 y=mx+n 点，且直线b上所有点的坐标(x,y)都是二元一 次方程x一2y=1的解，直线a与b交于点E. (3)直线l3:y=n.x十m是否也经过点P?请 (1)分别求出点A,点D的坐标； 说明理由. (2)求四边形AODE的面积. B 13.在平面直角坐标系中，直线l1经过(0，一1)和 (2,3),直线2经过原点O,且与直线1交于 点P(-2,a). (1)求a的值； (2)(-2,a)可看成怎样的二元一次方程组的 解？ (3)直线11，l2与x轴围成的三角形的面积是 69 第2课时 待定系数法确定一次函数表达式 01 基础达标 知识点二利用“平行的直线，k的值相等”的性 质求解析式 知识点一 根据已知点的坐标，求一次函数的解 5.若直线y=kx十b与y=一3x平行，且过点 析式 (1,一1)，则该直线的解析式为 1.一次函数y=kx十b(k≠0)图象过点（一2,1） 6.如图，把直线y=一2x向上平移 和点(0,4)，那么、b的值为 ( 后得到直线AB,直线AB经过点 A.k=- B.k=4,b= 3 (m,n),且2m十n=6,则直线AB C.k=- 6=4 D.k=号6=4 的表达式是 知识点三一次函数的应用 2.如图，一次函数图象经过点A,且与正比例函 7.某市规定了每月用水18立方米以内（含18立 数y=一x的图象交于点B,则该一次函数的 方米)和用水18立方米以上两种不同的收费 表达式为 标准.该市的用户每月应交水费y(元)是用水 A.y=-x+2 量x(立方米)的函数，其图象如图所示. B.y=x+2 (1)写出y与x的函数关 y元 C.y=x-2 D.y=-x-2 系式； 45 3.根据下表中一次函数的自变量x与y的对应 (2)若小敏家某月交水费 0 1828x/位方米 值，可得P的值为 81元，则这个月用水量为多少立方米？ 0 y 3P 0 A.1 B.-1 C.3 D.-3 4.在平面直角坐标系中，点A(3,0),B(0,4).以 AB为一边在第一象限作正方形ABCD, (1)点D的坐标为 (2)求对角线BD所在直 02能力提升 线的解析式， 8.若直线1与直线y=3x十1关于y轴对称，则 直线1的解析式为 9.已知一次函数y=x十b,当一3<x<1时，对 应的y值为一1<y<3,则b的值是 10.在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中， “鼠”先从起点出发，lmin后，“猫”从同一起 点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后， “猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”、“猫”距起点 0 的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图 (2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为 所示。 130cm时为最佳背带长.请计算此时双层部 (1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度 分的长度。 单层部分 与“鼠”的平均速度的差是 m/min; 调节扣→ (2)求AB的函数表达式； 双层部分 (3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时 间. V/m 03思维拓展 12.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶 往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中 相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲 地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车 到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km) 与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： 11.如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层 (1)快车的速度为 km/h,C点的坐标 部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示 为 (2)慢车出发多少小时后，两车相距200km? 通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可 ↑s(km) 以使背带的长度（单层部分与双层部分长度 480 的和，其中调节扣所占长度忽略不计)加长或 缩短，设双层部分的长度为xcm,单层部分 60 t(h) 0 34 的长度为ycm.经测量，得到表中数据. 双层部分 2 8 14 20 长度x(cm) 单层部分 148 136 124 112 长度y(cm) (1)根据表中数据规律，求出y与x的函数关 系式；3.①③②③③4.1 解①得a=2,解②得a=9。 x+y=0 /4y+14=x 5. 6. x-y=4 5y-26=x 故小金的说法错误； |x+y=246 x+3y=4-a① 7. 小蝶： ,①-② y=2x-2 x-5y=3a② 8.(1)设购买甲种票x张，乙种票y 得：8y=4-4a,解得y=1a, 2 张，根据题意得r十y一40， 10x+8y=370 将y=1,代人①得x=a5 2 21 (2)设甲原来有书x本，乙原来有 x+3=5+1,2=3,即不论 x-10=y+10, 2 2 书y本，则{ x+10=2(y-10) a取什么实数，x十y的值始终不 9.2.10.x+y-5(答案不唯一) 变，故小蝶的说法正确。 5.2二元一次方程组的解法 专题八解二元一次方程组的 第1课时代入消元法 消元方法 1.B2.y-21x=3y+1 1. x=3, 2. x=2, 3 2 y=2. y=3. 3.x-3y=8x=8+3y 3 x=5, x=-5, 2x+4y=7 y x y=-2. 4. y=-6. 4.B 5.由①得2x+y=6,③ x=2, 将③代人②，得2x+音×6=8， 5.(1) x=2, 2 (2) y= 3 y=1. 解得x=4.把x=4代入③，得2× 6.A7.B8.-1 4十y=6,解得y=-2. r=2 x=4, 9.(1)原方程组的解是 所以原方程组的解为 y y=-2. 6.(2)设号-1=x,5+2=y 3 (2)原方程组的解是 3 y=2 /x+2y=4 方程组变形得 解得 第2课时加减消元法 2x+y=5 1.B2.B3.D4.C r=2 -1=2 3 a=9 5.①×5-②×3 ①×3+②×2 即 ,解得 y=1 b=-51 x=2, +2=1 5 6.(1) x=1, (2) y=1; y=-1; x= -1 (3) (3) x=1, y=4 y=2. 专题九二元一次方程组中的 7.C8.B9.33 参数问题 8 a=-4, x=3’(2) x=5, 1.D2.2、13. 10.(1) b=1. y=1: y=7. 15x+4y=m-2① 4. ,①十②得 11.-2. 4x+5y=m② 12A=B=C=-5 9(x十y)=2m-2,由题意，x十y =0,所以2m-2=0,解得m=1. 代人方程组中5，(1)将x=豆，y=一2代人方程 7 15-3=4-a① 7a-2=5, 1a=1, 得：5+5=3a@ 组，得 7+2b=13, 解得 b=3. 58 将x=3,y=一7代入方程组， (2)租45座客车：240÷45≈5.3 6a-7=5, （a=2, 得 (辆)，所以需租6辆，租金为220 解得{ 6+7b=13, b=1. ×6=1320(元)，租60座客车： 所以甲把a错看成1；乙把b错看 240÷60=4(辆)，所以需租4 成1； 辆，租金为300×4=1200（元）. (2)根据(1)得，正确的a=2,b=3. 答：租用4辆60座客车更合算。 4x+y=5, 原方程组为 解得 11.(1)设5元、8元的笔记本分别 12x-3y=13, 买了x本、y本，依题意，得 x=2, /x+y=40 y=-3. 5x+8y=300-68+13 5.3二元一次方程组的应用 第1课时和差倍分问题 解得/25 y=15 1.A2.B3.75 答：5元和8元的笔记本分别买了 4.设每只雀、燕的重量各为x两，y 25本和15本； 5x+6y=16 两，由题意得 ,解 (2)假设小明找回68元，设5元、8 4x+y=5y+x 元的笔记本分别买了m本、n本， x一 32 19 n+n=40 则 方程组得 y= 24 5m+8m=300-68,解得 19 88 m一3 答：每只雀、燕的重量各为号两， 因为m,n应为正整数， 32 n-= 3 酷两 所以不合题意.故不可能找回 5.C6.D 68元. 7.1)采摘的黄瓜30千克，采摘茄 第2课时百分率问题 子10千克； 1.B (2)采摘的黄瓜和茄子可赚84元. 2.设去年外来旅游的人数为x万 8.设索长为x尺，竿子长y尺， 人，外出旅游的人数为y万人，由 x-y=5 题意，得 2x=6解得 x=20 1 y=151 |x-y=20 (1+30%)x+(1+20%)y=226 答：索长20尺，竿子长15尺. x=100 9.设鸦有x只，树有y棵，则 解得 1y=80 所以(1+30%)x= x-5 3 -y (1+30%)×100=130(万人)， x=20 ,解得 =y-1 y=5 (1+20%)y=(1+20%)×80= 5 96(万人). 答：鸦有20只，树有5棵。 答：该市今年外来和外出旅游的 10.(1)设这批游客的人数共x人，原 人数分别是130万人和96万人. 计划租用45座客车y辆，根据题3.(1+15%)x(1-10%)y 45,y+15=x 今年的总产值为2300万元，总支 意，得 60(y-1)=x 出为1350万元 x=240 4.设上个月的萝卜和排骨的单价分 解这个方程组，得 y=5 别为x元/千克，y元/干克. 答：游客共240人，原计划租45 13x+2y=66 座客车5辆； 3(1+50%)x+2(1+20%)y=811 59 解得/2 6.设船在静水中的速度为xkm/h,水 y=30 ∴.(1+50%)x= 3 流的速度为ykm/h.根据题意，得 2=3,(1+20%)y= 号×30=36， :功-32解得7=10 4(x+y)=48 y=2 答：今天萝卜和排骨的单价分别 答：船在静水中的速度为10km/h, 为3元/千克和36元/千克. 水流的速度为2km/h. 1x+y=30000 5. 7.D8.B9.20020 10%x+11%y=3150 10.设平路有xm,下坡路有ym,根 6.2:3 7.调价前碳酸饮料每瓶的价格为3 +=10 6080 据题意，得 ,解得 元，果汁饮料每瓶的价格为4元. y 8.(1)0.8; 10.1%(a+b-1000)=0.4 x=300 (2) 0.1%(3a+2b)=3.4 y=4001 解得a=600,b=800, 答：小华家到学校的平路和下坡 三次提现共计4800元. 路分别为300m,400m. 9.(1)设甲公司的工作效率为m,乙 11.(1)设工厂从A地购买了x吨 公司的工作效率为n,则 原料，制成运往B地的产品y 1 吨，依题意得： 6(m+n)=1 m一10 ,解得 1.5(10x+20y)=1500 4m+9n=1 1 n15 1.2(120x+110y)=9720 故从节约时间的角度考虑应选择 解得/x40 y=30 甲公司； 答：工厂从A地购买了40吨原 (2)由(1)知甲、乙完成这次工程分 料，制成运往B地的产品30吨； 别需10周、15周.设需付甲公司每 (2)依题意得：30×800一40× 周装修费x万元，乙公司y万元， 100-1500-9720=8780(元)， /6.x+6y=5.2 x5 答：这批产品的销售款比原料费 4红+9=4.8~解得 则 与运输费的和多8780元. 4 y=1 5.4二元一次方程与一次函数 此时10x=6,15y=4.故从节约第1课时二元一次方程与一次函数 开支的角度考虑应选择乙公司. x=1 1.C2.B3.B4. 第3课时几何图形问题 y=1 1.B2.B 5.-6.4 -156.k的值为-2. 3.设长方形AEFG纸片的长为a,7.图略. 宽为b(a>b), (1)根据图象得到直线y=x十2和 .(a一b)2=9,即a-b=3, y=x一3平行； 大正方形ABCD的面积是49,4 (2)由于两直线平行，所以从图象 块相同的小长方形纸片的长为 中不能找出一组数作为方程组 2b,宽为b, x-y=-2 的解. ∴.(a+3b)2=49,即a+3b=7, x-y=3 a+36=7解得=4 /a-b=3 8.B9.A10.C11.-3 b=1' .S长方形EG=1X4=4. 12.1)2:(2)/=1 y=2 4.C5.D (3)直线l:y=nx+m经过点 60 P.理由如下：因为y=mx十n经 及格点多边形DEFGHI可得 解得 (k=一2 过点P(1,2),所以m十n=2, b=152 y与x的函数 6b+c=2 所以直线y=nx十m也经过P点 关系式为y=-2x+152; 3a+10b+c=7,解得 = 13.(1)a=-5; (2)根据题意知 4b+c=1 (2)设l2的解析式为y=kx,把P 1x+y=130 解得 x=22 (-2,-5)代入得-5=-2k,解 y=-2.x+152 y=108 章未核心考点与素养提升 得k=号·所以4的解析武为) ∴.双层部分的长度为22cm. |x+y=-1 1.C2. 答案不唯一) x-y=3 12.(1)100(8,480): =号，所以点（一2，一5）可以看 (2)设慢车出发t小时后两车相 3.A4.=1x=3 5.4r3 y=2'y=1 7 作是解二元一次方程组 距200km, （x=3 y=2x-1 ①相遇前两车相距200km,则： 6.(1)/x2 (2) 所得； 4 y=2x 7 60+10M+200=480,解得：1=4， y=1;y=3 y=x+4.5 ②相遇后两车相距200km, 则：60t+100(t-1)-480=200, 2y=x-1 14.①)点A的坐标为：(-三0)， 解得：4-智慢车出发子h或 8.(1)一共去了8个成人，4个学生； 点D的坐标为：(0，)： (2)购买团体票更省钱， 器h时两车相距200km, (2)作EH⊥y轴于H,联立 9.(告，) 10.2511.D12.C 5.5* /4x-3y=-6 三元一次方程组 13.B14.C 解得 x=-3 x-2y=1 y=-2 1.B2.A3.D4.A 15./x5 16.-1 点E的坐标为（一3，一2）， x2' y=-1 则S四边形ODE=S四边形AOHE一S△ED x=2, 17.(1)根据题意得，甲、乙两采摘园 ×(2+)×2- 3 5.(1)y=4, (2)y=2 优惠前的草莓销售价格：300÷ z=1 7 10=30(元/千克)..ym=30× 3=是 2 0.6x+60=18x+60; 6.52 当x≥10时，设yz=kx十b, 第2课时待定系数法确定一次 7.设有篮球x个，排球y个，足球x 110k+b=300 函数表达式 由题意得： 解得 1.D2.B3.A 个，根据题意得 25k+b=480 x=2y-3, x=21, /k=12 4.(1)(7,3):(2)y=-7x+4. xy=2:3,解得y=12, 6=180%=12x+180, 5.y=-3x+26.y=-2x+6 x+y十x=41, x=8, ∴yz与x之间的函数关系式 5 则有篮球21个，排球12个，足球 为：yz=12x+180(x≥10)： 7.(1)y= x(0≤x≤18) 8个 (2)当x=15时，ym=18×15+ 3x-9(x>18) 8.D9.B10.683 60=330,yz=12×15+180 (2),81>45,把y=81代入y= 11.3,4,712.k=1. 360,.ym<yz, 3x-9中，解之得x=30.即这个 ∴.他在甲家草莓园采摘更划算， 13.原来的三位数为253. 月用水量为30立方米. 第六章数据的分析 8.y=-3x+19.0或2 14.(1)7,3,10 6.1平均数与方差 10.(1)1:(2)y=-4x+58: (2)不妨设某个格点四边形由1 第1课时算术平均数与众数 (3)“猫”从起点出发到返回至起 个小正方形组成，此时，S=1,N 1.A2.D3.164.04.B5.96 点所用的时间为13.5min. =0,L=4, 6.C7.A8.< 11.(1)设y与x的函数关系式为y 格点多边形的面积S=aN+ 148=2k+b bL+c, 9.“品行规范”的平均分为95+90+85 3 =kx十b,由题知{ 136=8k+b ∴.结合图中的格点三角形ABC =90(分)，“学习规范”的平均分为 61 80+85+90=85(分)， 所以甲的成绩稳定一些，故推荐 (2)图略； 3 甲参加比赛更合适（答案不唯一， (3)通过箱线图可知，团队A产 由题意可得：两项均满足的为乙 合理即可) 品收益率的中位数与团队B的几 同学，应推选乙. 2.(1)45.259.7 乎相等，故可知两个团队的经营 第2课时加权平均数 (2)②③ 效益基本一样，但团队A的产品 1.B2.B3.C4.B5.386.40 (3)甲影片总体受欢迎度比乙影 收益率明细比团队B的收益率的 7. x=6 片高，乙影片受欢迎的程度比较 波动性大，即团队B的经营水平 y=7 稳定，建议明天持续放映乙影片， 更稳健，故对于稳健型的投资者， 8.(1)笔试成绩占40%，面试成绩 加大对甲影片的宣传力度 选择团队B的理财产品更合适 占60%： 3.(1)6667.6 6.3哪个团队收益大 (2)2号选手的综合成绩为：92× (2)选“美团”公司，理由如下：1.C2.D3.C4.B5.C 40%+88×60%=89.6,3号选 因为平均数相同，众数“美团”公6.(1)众数是25，中位数是24.5，平 手的综合成绩为：84×40%+86 司大于“滴滴”公司，且“美团”公 均数是24.6； ×60%=85.2, 司方差小，更稳定，所以选“美团” (2)在(1)中所求的三个量中，该 .89.6>87>85.2, 公司. 商场经理最关注的是众数.应多 .2号选手第一，1号选手第二，3 6.2中位数与箱线图 购进25cm的运动鞋，适量购进 号选手第三. 第1课时中位数 第3课时方差 24cm和24.5cm的运动鞋，少购进 1.C2.C3.B 23.5cm和25.5cm的运动鞋， 1 1.C2.D3.A4.C5.2 4.(1)260240240 7.(1)2 (2)不合理，因为中位数、众数均 6.D7.C8.43.2 (2)甲队员表现更好，理由：因为 为240，若把每位工人的月加工 9.(1)该市这5天的日最低气温波 两人平均每场进球个数均为2 零件数定为260件，那么大多数 动大； 个，但甲得分的波动比乙小，即甲 都不能完成规定任务 (2)①25日、26日、27日的天气 的方差比乙小，得分更稳定，所以 5.106.①②③④ 依次为大雨、中雨、晴，空气质量 甲队员表现更好.（答案不唯一， 7.(1)抽取的顾客所评分数的中位 依次良、优、优，说明下雨后空气 合理即可)； 质量改善了 数为3士-3.5，则拍取的顾客中 (3)甲的综合得分为：2×2十4× ②25日、26日、27日的天气现象 评分不高于3分不足一半， 1.5+1×(-1)=9.乙的综合得 依次为大雨、中雨、晴，日温差依 该餐厅不需要整改； 分为：2×2+5×1.5+3×(-1) 次是2℃、3℃、8℃，可以看出雨 (2)抽取的顾客所评分数的平均 =8.5.因为9>8.5，所以甲队员表 天的日温差小. 数为 现更好 第4课时平均数与方差的应用 1×2+2×3+3×5+4×8+5×2 8.(1)1262(2)略 1.(1)8,9,109 20 (3)①7.58 (2)甲六次测试成绩的方差为后 =3.25,则抽取的顾客所评分数 ②甲队成绩的平均数为20×(7× 1 的平均数为3.25分，中位数为 ×[2×(10-9)2+2×(9-9)2+ 3.5分，都高于3分， 10+8+9×2+10×7)=8.3; 2×(8-9)2]=3 该餐厅不需要整改. 第2课时箱线图 乙队成绩的平均数为0×(7×7 乙六次测试成绩的方差为行×[3 1.2.5 +8×4+9×5+10×4)=8.3: ×(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2 2.【应用】(1)a=70,b=96; 因为甲、乙两队成绩的平均数相 +7-90y]-音 (2)图略； 同，但乙队的中位数比甲队大，所 【理解】根据箱线图和对四分位 以乙运动队的成绩较好. (3)推荐甲参加比赛更合适，理 数，可知甲组成绩比较分散，乙成 章末核心考点与素养提升 由：因为甲、乙的平均成绩相同， 绩比较集中.（答案不唯一）. 4 而甲的方差小于乙成绩的方差， 3.(1)a=3.635,b=4.125; 1.C2.C3.5aa