第2章 3 二次根式-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

温馨提示：请做完后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章勾股定理 b+2ab,.a2+b=c2; 1.1探索勾股定理 (2)13; 第1课时勾股定理 (3)由题意，可知DH=BI, 1.B2.B3.D :∠DCH=∠BCI,∠CHD= 4.(1)13:(2)BC=6,AC=8. ∠CIB=90°，∴.△CDH≌ 5.D6.3 △CBI(AAS),.CD=BC, 7.AC=4cm.SAABC =6cm'. 设BC=x,则CH=4一x,在Rt 8.C9.C10.10 4 11.6 △CDH中，CH+DH=CD, .(4-x)2+22=x2, 12.连AC,AC=5,证∠BAC=90°， ∴.BC=13. 解得：x=号BC=CD=号， 13.Sae=号cm 同理可得DE=EF=BC-多， 14.设BD=x,则CD=14-x,由勾 .“帽子”外围轮廓（实线）的周长 股定理得：AD2=AB一BD2= 为AB+AF+BC+CD+DE+EF 152-x2,AD2=AC-CD2=13 -(14-x)2,.152-x2=132 -5+5+2+号+号+号=20 (14-x)2,解得x=9,.AD=12, 1.2一定是直角三角形吗 1.B2.C3.直角三角形4.A 5m=BC·AD=合×145.答案不i唯-，如5，i2,137,24,25 2 ×12=84. 6.A7.B 第2课时勾股定理的验证及 8.(1)△ABE是直角三角形，理由略； 简单应用 (2)AB=16.9. 1.B 9.C10.B11.直角 2.(1)4ca+b 12.连接AE,设CE=a,则BC=4a, (2)(a+b)22ab+c2 DF=2a,BE=3a, (3)a2+b=c2(4)10 AF2=AD2+DF2=20a2,EF2= 3.B4.A5.0.7 FC°+EC°=5a2,AE2=AB2+ 6.沿B→C→D→B路线配送途中 BE=25a2,.AE=AF+ 飞行所需时间是40分钟. EF,.△AFE是直角三角形， 7.B8.99.14 ∠AFE是直角 10.超速.理由如下：在Rt△ABC 13.图中阴影部分的面积为96m. 中，AC=60m,AB=100m,由勾14.(1)n-1;2n;n2+1. 股定理可得BC=AB-AC= (2)是直角三角形 6400,∴.BC=80m, a2+b=(n2-1)2+(2n)2= .∴.汽车速度为80÷4=20m/s= (n+1)2,.a2+b=c2, 72km/h,.72>60,.这辆小汽 ∴.以a,b,c为边长的三角形是 车超速了. 直角三角形. 11.(1)证明：如图1，，大的正方形 1.3勾股定理的应用 的面积可以表示为(a+b)2,大1.A2.B3.A4.5cm 的正方形的面积又可以表示为5，旗杆的高为12m. 6.D7.B8.B9.D10.10 c+4×2ab,e2+2ab=a+1.48<CD≤8 49 12.(1)90°；(2)略 为66或126. 13.在公路AB上行驶时会遇到危险。 章未核心考点与素养提升 理由如下：过C作CDLAB于D.1.C2.C3.D4.10 :'BC=400m,AC=300m,5.E站应建在离A站10km处. ∠ACB=90°，根据勾股定理得6.B7.C AB2=ACe+BC=250000, 8.(1)证明略； ÷AB=500mS-合AB· (2)设该三角形的腰长为xcm,则 AD=(x-12)cm. CD=合BC·AC,CD- ,CD⊥AB,∴.∠ADC=90°， ∴.AD+CD2=AC,即(x-12)2 BC·AC=400×300 AB 500 =240m, 由于240m<250m,故有危险， +16,解得x一9，该三角 设EF为危险路段的长度， 形的度长为”cm ,爆破点C周围半径250米范 9.D10.B11.B12.C 围内不得进入，CE=CF= 13.(1)证明：：AB=AC, 250m,,CD=240m,∴.DE= .∠ABC=∠ACB, DFR=CE-CD2=4900, BF∥AC,∴.∠ACB= DE=DF=70m,.'EF=140m, ∠CBF, 故危险路段长为140m. ∴.∠ABC=∠CBF, 专题一立体图形中最短路径问题 .BC平分∠ABF; 1.B2.D3.10cm.4.C5.B (2)过点C作CMLAB,CN⊥BF, 6.5a27.20cm8.25dm. 则CM=CN, 专题二勾股定理中的方程思 想与分类讨论思想 ·SaE=2AE·CM,S△ar= 1.C2.12 7BF·CN,且BF=AE 3.△ABE的面积为6cm. 4.B5.7或25 .SAr=S△4cE, 6.分两种情况考虑： .四边形EBFC的面积=SAaF ①当△ABC为锐角三角形时， +SAE=S△AE+S△E ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC SAABC =90°，在Rt△ABD中，AB=13, 过点A作AH⊥BC,由勾股定 AD=12,根据勾股定理得：BD 理易求AH=12,得出S△Bc= =AB2-AD2=25,.BD=5, ×10×12=60. 1 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, ∴.四边形EBFC的面积为60. 根据勾股定理得：DC=AC 14.2026a AD=256,.DC=16, 第二章实数 ..BC=BD+DC=5+16=21, 2.1认识实数 1 则S△ac=2BC·AD=126: 1.D ②当△ABC为钝角三角形时， 2.(1)3160.64 同理可得，BD=5,DC=16, (2)②③① .BC=DC-BD=16-5=11, 3.C4.D5.B6.C7~8.略 2.2平方根与立方根 Saee=2BC·AD=2XI1 第1课时算术平方根 ×12=66;综上，△ABC的面积1.B2.B3.D4.B5.B 50 6.1:(2)g,(30.5；④3. 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 7.C8.D9.C 1.D2.-1(答案不唯一) 10.√3√5-/211.√/2 3.C4.C5.D 12.2x+y一z的算术平方根是√T. 6.(1)原式=6；(2)原式=8； 13.4 (3)原式=√6；(4)原式=2√a. 第2课时平方根 7.B8.C 1.C2.D3.略4.B5.B 9.(1)原式=17； 6.平方根分别是：(1)士4：(2)0：(3) 没有平方根；(4)±2. (2)原式=23+6/10； 算术平方根分别是：(1)4；(2)0； (3)原式= 51 (3)没有算术平方根；(4)2. 10.(1)2x3 7.C8.A9.B 10.9±9±3 (2)原式-号 11.a+2b的平方根是±3. 第2课时最简二次根式 12.根据题意，分以下两种情况： :1.B2.B3.D4.A ①当a-1与5-2a是同一个平 方根时，则a一1=5-2a,解得a 5.(1)原式=35； =2.此时，m=(2-1)2=1; (2原式-， ②当a-1与5-2a是不同的平 方根时，则a一1十5一2a=0,解 (3)原式=30 10 得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 6.B7.B8.3 综上所述，a=2,m=1或a=4, 9.(1)662020 m=9. 第3课时立方根 ①5×√/20=10： 1.C2.B3.D4.A5.A @号xV停-1 6.(1)一8=-2： (3)ab. (2)/0.064=0.4; 10.由分式和二次根式有意义的条件得， 38 (3)一√125 1x-5≥ (4)(5)3=9. 8-x>0 解得，5≤r<8, 7.B8.D9.D10.7 x为偶数，x=6, 11.a-6的立方根为一5， .(x+2) t-4x+4 =(x+2) x2-4 12.(1)24.77;(2)0.006137. 第4课时估算 (x-2)2 V(x-2)(x+2) =√(x-2)(x+2), 1.B2.B3.A4.A 当x=6时，原式=√4X8=42. 5.(1)>(2)>(3)> 6.97.48.a-b=7. 第3课时二次根式的加减法 1.D2.C3.C4.A 9.由题意得：Rt△ABC中， AC=10m,BC=7m, AB=AC+BC=102+7=149, 指武=a万.②原式-5 .12.52=156.25>149, 6.A7.C822-2 这一长度够用. 9.(1)原式=85+2； 10.(1)>;(2)√5+1>√/10. (2)原式=15-2√6. 51 10.12-4/3. 10.C11.C12.B13.A14.B C(2,0),D(0,-4), 第4课时 二次根式的混合运算 15.216.6√217.±√2i E(-3,-1), 1.B2.B 18.(1)APPD F(2,-2),O(0,0). 3.(17+3;2a+√6. (2)作点A关于BC的对称点 5.C6.C 4.(1)6+106;(2)11√3-√2； H,连接HD交BC于点P,此 7.(一1，一3)，(-2，一2)，合理即可 8.(1)学校(-2，-2)，公园(1,2). (3)233 时，AP十PD最小，即√I十x 2 (2)小刚经过的地方分别是家→ 和√1+(1一x)最小，由题意 副食店→汽车站→二姨家→娱乐 5.2. 得：AH=2AB=2,AD=1, 6.小华的爸爸至少需要31.74m的篱笆. 中心→公园→文具店家. 则DH=√AH+AD (3)得到的图形是一个箭头 7.08.C9.C10.C √22+1平=5，即√1+x+ 9.二或四 11.13-2√42=（√7-√6） √1+(1一x)的最小值为√5. 第2课时平面直角坐标系中 12.(1)4+6:(2)7:(3)33-2. 第三章位置与坐标 点的坐标特征 13.(1)16:(2)25. 3.1 确定位置 1.C2.-8(4,0)B3.D 1 3+√7 1.D2.C 4.(1)x纵；(2)y横 14. 3-√7 (3-√7)(3+7) 3.(1)(12,5)(2)167 5.(1)-1;(2)(5,7)或(-1,7)； 3+√ 4.北偏西34°6km正南4km (3)-1. .2<√7<3， 2 5.(1)敌方战舰B和小岛；还需知道敌 6.(1)a .5<3+√7<6， 号A(0,）: 方战舰B距我方舰艇3号的距离. 2.5<3+7<3, (2)敌方战舰A和敌方战舰C. (2)①当3a-5=a+1时，a=3, (3)各需2个数据：距离和方位角. 此时点A的坐标为(4,4)； a=2,6=3+/7 2 2-1 6.C7.D8.A9.C ②当3a-5=-(a+1)时，a=1, 2 10.你好11.23 此时点A的坐标为（一2,2），（不 ∴.a2+(1+√7)ab=22+(1+ 12.(1)马(2,2)，兵(2,4)，车(6,5)， 合题意，舍去).综上，当a=3时， 万)X2x7-1 炮(8,3). 点A的坐标为(4,4). 2 4+6=10. (2)“马”下一步可以走到的位置 7.(1)得到一个长方形，AB∥CD∥ 专题三二次根式的性质及运算 还有3个：表示为(1,4)，(4,3)， x轴，AD∥BC∥y轴；(2)点A,B 1.-32x= 的横坐标互为相反数，纵坐标相 3.2√3 (4,1). 13.(1)(5,30°)(2,90) 等；点B,C的横坐标相等. 4.(1)73;(2)82;(3)15:(4)5+ (4,240)(3,300) 第3课时建立适当的直角坐标系 √5：(5)9-6√5；(6)2；(7)14：(8) (2)根据上北下南左西右东确定 1.A2.D3.略 4+6:(9)-√3；(10)1-22. 角度，用横坐标乘300确定距离， 4.(1,2)5.(2,-1) 6.以火车站为坐标原点，建立直角 52.6. .目标A的实际位置为北偏东 2 60°距观测站1500米，目标B的 坐标系，图略， 7.(1)-a; 实际位置为正北方向距观测站 火车站(0,0)，钟楼（一1,3）， (2)√a一6b的平方根为士√2. 600米，目标D的实际位置为南 音乐亭(1,5)，中心广场(2,2)， 偏西30°距观测站1200米，目标 少年宫(3,1)，东门(5,1). 8.4.9.7+42 章末核心考点与素养提升 E的实际位置为南偏东30°距观 7.C8.D9.C10.(3,33)95 1.(1)A(2)B2.D3.A4.B 测站900米； 11.(1)图略； (3)用(2)的反向方法计算可得 (2)各点的坐标为：B(5,2), 5.B6.√2-1√2-1 G(1,330),H(3,290°) C(-5,2),D(-9,0), 7.B8.(1)B (2)x≤2 3.2平面直角坐标系 E-5,-2),F(5,-2); 9.1)号E:(2)3-2, 第1课时平面直角坐标系 (3)EF∥BC,DE∥AB,CD∥AF. 1.B2.D3.C 12.(1)OA=4√5： (3)19√2」 4.A(2,4),B(-4,3), (2)点B的坐标为(10,0)，点A 52 的坐标为(8，一4)； 10.(1)SAAc=3; 第四章一次函数 (3)由题意，可知点A与点C的 (2)画图略. 4.1函数 横坐标相同，均为8，点C的纵 D(-3,0),E(-3,3), 1.A2.16±5 坐标是-4十3=一1或一4-3 F(-1,3). =-7,.点C的坐标是(8，-1) 11.(1)(2)图略： 3.B4.C5.h=30- 或(8，-7). (3)B的坐标为(2,1). 6.S=6x0<r618 3.3轴对称与坐标变化 专题五巧用坐标求图形的面积 7.(1)4时为-4℃，12时为8℃，20 1.A2.B3.B 1.S△4wc=10. 时为8℃； 4.25-2-5 2.Sawm=6X4-4X2-6X2 (2)能，T是时间t的函数， 2 8.(1)5,70,5,54,5; 5.(4,-5)(-4,5) 6.(1)根据轴对称的性质，得点A 4X2=10. (2)变量y是x的函数.因为每给 (-3,4)关于y轴对称的点的坐 一个x的值有唯一的一个函数值 标是(3,4)，点B(4,-2)关于y 与之对应，符合函数的定义； (3)①3x6; 轴对称的点的坐标是（一4，一2）； 4.Sg边形A8D=80. ②摩天轮的直径是70一5=65(m). (2)由题意，可得M(-3,-4),N 5.过点A作AC⊥x轴于点C,过点 4.2认识一次函数 (4,2),图略，四边形AMBN的面 B作BD⊥x轴于点D,设P(x, 1.B2.B3.≠3-2 1 0),由题意，可知PC=1一x,PD 积为(4+8)×7×2=42. 4.(1)y=2.5x,y是x的正比例函 =3-x,AC=2,BD=1,CD=2, 7.(1)图略： 数，y是x的一次函数. 由S△PAB=S△mc十S格形ABDe一 (2)点A'的坐标为(4,0)，点B'的 (2)y=28-5x,y是x的一次函 坐标为（一1，一4），点C的坐标 Sm可得号(1-x)X2 数，但y不是x的正比例函数. 为(-3，-1). 2×(1+2)1 (3-x)×1=3, (3)S=π2，S不是”的一次函数， 8.B9.B10.2 2 S也不是r的正比例函数 11.(5,-1)(2.0)(-1,-3) 解得x=一1， 5.C6.-4 12.2x+1. 点P的坐标为（一1,0）. 7.(1)ym=8t+48yz=120-10; 13.(1)图略； 章末核心考点与素养提升 (2)由48+8t=120-10t,得t=4. 1.一5,3向西走2m,向南走6m 8.(1)当x≤6时，y=2.5x,当x>6 (2)点E与点D之间的距离为22， 2.(1)二(2)四(3)四 时，y=3x-3; 点F与点D之间的距离为√0. 3.(1)(3,0)(2)(0,-3) (2)y=3×8-3=21(元). 14.(1)点A(4,3)、点P(-4,-3), (3)坐标轴上 4.3一次函数的图象 点B(3,1)、点Q(-3,-1),点C 4.(1)1或3(2)-1 第1课时正比例函数的图象与性质 (1,2)、点R(-1,-2)； (3)(2,-2)或(-4，-2) 1.C2.D3.A4.(1,2)原点 (2)观察三组对应点坐标可得： 5.(1)S△c=12; 5.B6.B7.m>3 2 若三角形ABC中任意一点M (2)设P点坐标为(，0)， 的坐标为(a,b),则它的对应点 N的坐标是(-a,一b); :Sae=合5am号×4X8.1a≠乞6=3： (3)Se=2×3-合×1×2- 1+21=2×号×4X1-41. (2a<:(3o>-÷ ∴.t-4=±2(t+2), 9.m=-2.10.D11.D 2×1x2-2×3X1=号 ∴.t=-8或1=0， 12.k>m>n【变式】分≤≤2 专题四确定位置时的六种易错类型 .P点坐标为（一8,0）或(0,0) 1.(1,6)D2.STUDY 13.(1)设y-2=k(3x-4),将x 6.C7.B 3.x4.25.C 2,y=3代入，得2k=1,解得= 8.(1)5+√13 613 1 6.(4,2)或(4，-2)或（一4,2）或 :(2)略 13 35-2=7(8x-0.即y= (-4,-2) 9.D10.D11.A12.B13.B 3 7.D8.y9.(-3,4) 14.C15.(506,506) 2: 5418 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 01基础达标 8.（湖北中考)若x为实数，在“(3十1)☐x”的 知识点一二次根式的概念 “☐”中添上一种运算符号（在“十，一，×，÷” 1.下列代数式中，一定是二次根式的是( 中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可 A./a B.a2-1 能是 () C.√a+1 D.√Ta A.√3+1 B.√3-1 2.若√一x是二次根式，则x的值可以为 C.25 D.1-√3 (写出1个即可) 9.计算： 知识点二二次根式的乘除法 (1)(3√2+1)(3√2-1). 3计算v2×V店 的结果是 ( ) A.4 B.±√4 C.2 D.√2 4.下列式子成立的是 ) A.√6÷2=√3 B.√10÷√5=2 (2)(5+3√2)2. C丽÷(@)=85D2÷√侵=反 5.下列各式成立的是 A.4√5×25=2√/10B.2√6×3√2=6√8 C.4√5×3√2=7√5 D.5√3×4√2=20√6 (3×4÷(5. 6.计算： (1)/3×√12： (4)2Va6 Jab 10.已知c2 成立 √/3-x N3-T (1)填空：x的取值范围是 x2-4x十4 (2)化简：√x2-6x+9 02能力提升 7.计算：(5，中1-1).51 2 2 A.0 B.1 C.2 D.51 2 19 第2课时」 最简二次根式 01基础达标 7.若直角三角形的两条直角边长分别为√/15cm 知识点一 最简二次根式 和√I2cm,则此直角三角形的斜边长是() 1.下列二次根式中，为最简二次根式的是( A.3√2cm B.3√3cm C.2 /5 D.√8 C.9cm D.27cm A.√1.5 B.√3 8.若x,y为实数，且y=√1一4x+√4x一I十4， 2.如果√x一3是最简二次根式，则x的值可能是 ( ) 则号x+= A.11 B.13 C.21 D.27 9.你能找出规律吗？ 知识点二 a=a万(a≥0，b≥0)√6 (1)计算：√4×√9= ,4×5= √/16×√/25= ,√/16×25=； (a≥0，b>0) (2)请按找到的规律计算： 3.化简√(-2)2×8×3的结果是 @5xv而：@号×得： A.2√24B.-2√24C.-46D.4√6 4.下列计算正确的有 ( (3)已知a=√2，b=√/10，把√40用含a,b的式 ①(-4)(-9)=√一4·√-9=6； 子表示。 ②√(-4)(-9)=√4·√9=6； ③52-42=√5+4·√5-4=1： ④√52-4=√5-√4=1. A.1个 B.2个C.3个 D.4个 5.化简下列各式： (1)√15×3； (2)2 百=x巨，且x为偶数，求(x十 (3)√/0.3×3. 10.已知√8-x√8-x 一4z干4的值. 2)x2-4 02能力提升 6.若√50a的值是一个整数，则正整数a的最小 值是 A.1 B.2 C.3 D.5 20 第3课时 二次根式的加减法 01基础达标 7.已知长方形的面积为18，一边长为2√3，则它 知识点一 同类二次根式 的周长为 ( 1.下列各式中，与23是同类二次根式的是 A.18 B.5√3 C.10W3 D.24 )8.如图，长方形内有两个相邻的 A.√15 B.√6 C.√9 D.√27 正方形，面积分别为2和4，则 2.若最简二次根式√2a一5与二次根式√12能够 阴影部分面积是 合并，则a的值是 ( 9.计算： A.5 B.3 C.4 D.7 (1)√45+√18-√⑧+√125； 知识点二二次根式的加减法 3.(山东中考)计算2+√18，结果正确的是 ( A.√2+22 B.10√2 C.42 D.√20 4.下列计算正确的是 A.√⑧-√2=2 B.√3-√2=1 (2)(√6+4)(4-√6)+(3-√2)2. C.√3十2=√5 D.23=√6 5.计算： (1)2√18+√32； (227-+√月 10.已知x=√3+√2，y=√3-√2，求x2+y2十 2xy-2x-2y的值. 02能力提升 6(重庆中考)估计×（西后的值应布 ( A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 21 第4课时。 二次根式的混合运算 01基础达标 5.已知a=√3+1，求代数式(4-23)a2+(1 知识点 二次根式的混合运算 √)a的值. 1.(巴中中考)计算√14×√7一√2的结果是 ( A.7 B.6√2 C.7√2 D.2√7 2.下列计算正确的是 ( A.3√10-25=√/5 品×()=m 6.小华家楼房前有一直角三角形空地，小华的爸 爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为√45m, C.(√75-15)÷√5=2√5 斜边长为3√20m,现要用篱笆把这块地围起 n.3s-3√倍= 来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？（√5 3.计算：1v②×（店+√月） ≈3.873，√5≈2.236，结果精确到0.01m) (2)(a√b+ba)÷√ab 4.计算： (1)(√12+5√8)×√3； ◎易错点对二次根式的混合运算顺序混淆不 清而出错 7.计算：1-3÷√3× 的结果为 /3 (2)2(√2+√3)-3(2-√27)； 02能力提升 8.下列运算正确的是 A.√2+√5=5 B.√(-5)2=-5 C.(3-√2)2=11-6√2 D.6÷2×5=3 (3)(42-36)÷2√2. 9.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 √2，则最后输出结果是 ( Ino /输入n了L,计算n(+1) 个s输出结果 A.14 B.16 C.8+5√2 D.14+√2 22 10.如图是由边长均为1m的正方形地砖铺设的 (3)6 -(2-3)2(2十5). 地面示意图，小明沿图中所示的折线A→B→ √3 C所走的路程为 A.√6m A B.√/10m B C.2√5m D.25m 11.观察下列等式： ①3-2√2=(2-1)2， ②5-2√6=（√3-√2）2， 13.已知a=√5-2，b=√5+2，求下列代数式的 值 ③7-2√12=（√4-√5）2， … (1)a2-2ab+b2; (2+2 a 请根据以上规律，写出第6个等式： 12.计算： 压÷5-√侵×亚+： 03思维拓展 u名 的整数部分是a,小数部分是b,求 a2+(1+√7)ab的值. 25-2+亚+6：