第2章 2 平方根与立方根-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

2.2 第 01基础达标 知识点一 算术平方根的概念 1.9的算术平方根是 A.0 B.3 C.-3 2.下列各数没有算术平方根的是 A.0 B.-10 C.-6 3.下列说法正确的是 A.0.16的算术平方根是士0.4 B.(一6)2的算术平方根是一6 C.√/81的算术平方根是9 D.的算术平方根是 知识点二求算术平方根 4.计算√64的结果是 A.4 B.8 C.16 5.若√a=2,则a的值为 A.-4B.4 C.-2 6.求下列各数的算术平方根 （1)42:3)0.25:4)3. 02能力提升 7.√8I的算术平方根是 A.±9 B.9 C.3 14 平方根与立方根 1课时算术平方根 8.一个自然数的算术平方根为x,那么下一个自 然数的算术平方根是 () A.x+1 B.x2+1 ( D.±3 C.√x+1 D.√/x2+1 ( )9.若√10404=102，则√元=10.2中的x为 D.36 A.1040.4 B.10.404 C.104.04 D.1.0404 10.√的算术平方根是 ；(2-√)2的算 术平方根是 11.有一个数值转换器，原理如图：当输入的x= 256时，输出的y等于 输人x不 取算术平方根是无理数输出 ( 是有理数 D.32 12.已知√25=x,√y=2,之是9的算术平方根， ( 求2x十y一之的算术平方根. D.√2 03思维拓展 13.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各 自乘，并而开方除之，即弦.”即c=√a2十b (a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为2，“股”为 D.±3 3,则“弦”最接近的整数是· 15 第2课时 01 基础达标 知识点一平方根的概念及计算 1.16的平方根是 A.4 B.-4 C.士4 D.256 2.下列说法正确的是 A.任何非负数都有两个平方根 B.一个正数的平方根仍然是正数 C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根 3.填表： 25 36 81 ±√/65 ±0.7 知识点二平方根与算术平方根的关系 4.下列说法不正确的是 A.21的平方根是士√21 B音的平方根是号 C.0.01的算术平方根是0.1 D.-5是25的一个平方根 5.若正方形的边长为a,面积为S,则 A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a=±√S D.S=√a 6.求下列各数的平方根和算术平方根， (1)(-4)2;(2)0:(3)-3;(4)16. 平方根 02能力提升 7.下列说法：①0的平方根是0,0的算术平方根 也是0；②一个正数有两个平方根，它们互为相 反数；③（一4）的平方根是一4；④“25的平方 根是士5”，可以表示为√25=士5；⑤7的平方 根是士√7，其中正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列计算正确的是 A.-√-6)2=-6 B.(-5)2=9 C.√(-16)2=±16 D-(-√爱-8 9.若a2=16,√6=2，则a十b的值为 () A.8 B.0或8C.6或-2D.0 10.81的算术平方根是，81的平方根是 ,√81的平方根是 11.已知2a-1的平方根是士3,3a+b-1的算术 平方根是4，求a十2b的平方根. 03思维拓展 12.已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a与 m的值. 第3课时 01基础达标 知识点一立方根的概念 1.8的立方根是 A.±22 B.22 C.2 D.士2 2.若一个数的立方根是一3，则该数为 A.-3 B.-27 C.±3 D.±27 3.下列说法中正确的是 A.一4没有立方根 B.1的立方根是士1 C.-2 D.一5的立方根是一5 知识点二开立方 4.一个正方体的水晶砖，体积为100cm3,它的棱 长大约在 A.4cm~5cm之间 B.5cm~6cm之间 C.6cm~7cm之间 D.7cm~8cm之间 5.若√x+3=4,则(x-10)的值是( A.3 B.-3 C.-9 D.51 6.计算或化简下列各数： 38 (1)8:(2)0.064,3)√125(4)(0)月. 16 立方根 02能力提升 7.下列命题中，正确的有 ①士4是64的立方根；②√x=x;③√64的立 方根是2；④√(-8)2=±4. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知a的平方根是士8，则a的立方根是 () A.±2B.±4 C.2 D.4 9.若a2=(-5)2,b=(-5),则a十b的值为 () A.0 B.±10 C.0或10 D.0或-10 10.小红做了一个棱长为5cm的正方体盒子，小 明说：“我做的盒子的体积比你的盒子的体积 大218cm3”,则小明做的盒子的棱长为 cm. 11.若√a+8与(b-27)2互为相反数，求a-石 的立方根 03思维拓展 12.观察：√0.06137=0.2477，√6.137=2.477， 6.137=1.8308,6137=18.308,填空： (1)√/613.7= (2)若元=0.18308，则x= 17 第4课时 估算 01基础达标 9.如图，一根旗杆AC高10米，旗杆顶部A与地 知识点一 估算一个无理数的近似值 面一固定点B之间要拉一根笔直的铁丝，已知 固定点B到旗杆底部C的距离是7米，一工人 1.设√26=a,则下列结论正确的是 准备了一根约12.5米长的铁丝，你认为这根 A.4.5<a<5.0 B.5.0<a<5.5 铁丝够用吗？（不计接点） C.5.5<a<6.0 D.6.0<a<6.5 2.估计√/6+1的值在 A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 3.估算结果误差最小的是 A.√12=3.5 B.√/300=10 C.√1234=10 D.√0.6=0.01 知识点二用计算器进行开方计算 03 思维拓展 4.28,3,√10三者之间的大小关系是 ( 10.为了比较√5+1与10的大小，小伍和小陆 A.3<8/28<10 B.3<√/10<8/28 两名同学对这个问题分别进行了研究， C.8/28<3<√/10 D./28<√10<3 (1)小伍同学利用计算器得到了√5与√10的 5.比较大小（用“>”或“<”表示）： 值，所以确定√5+1√0（填“>”或 (1)√8 √5； “<”或“=”) (2)-34 ; (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表 (3)0.2 √0.2. 示无理数的启发，构造出所示的图形，其中 02能力提升 ∠C=90°，BC=3,D在BC上，且BD=AC= 1.请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同 6.已知a、b为两个连续整数，且a<√I7<6,则 学对√5+1和√10的大小做出准确的判断. a+b= 7.规定用符号[m]表示一个数m的整数部分，例 如：[号]=0[3.14=3.按此规定，而+1 的值为 8.已知a一1的算术平方根是3，b是√11的整数 部分，求a-b的值.温馨提示：请做完后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章勾股定理 b+2ab,.a2+b=c2; 1.1探索勾股定理 (2)13; 第1课时勾股定理 (3)由题意，可知DH=BI, 1.B2.B3.D :∠DCH=∠BCI,∠CHD= 4.(1)13:(2)BC=6,AC=8. ∠CIB=90°，∴.△CDH≌ 5.D6.3 △CBI(AAS),.CD=BC, 7.AC=4cm.SAABC =6cm'. 设BC=x,则CH=4一x,在Rt 8.C9.C10.10 4 11.6 △CDH中，CH+DH=CD, .(4-x)2+22=x2, 12.连AC,AC=5,证∠BAC=90°， ∴.BC=13. 解得：x=号BC=CD=号， 13.Sae=号cm 同理可得DE=EF=BC-多， 14.设BD=x,则CD=14-x,由勾 .“帽子”外围轮廓（实线）的周长 股定理得：AD2=AB一BD2= 为AB+AF+BC+CD+DE+EF 152-x2,AD2=AC-CD2=13 -(14-x)2,.152-x2=132 -5+5+2+号+号+号=20 (14-x)2,解得x=9,.AD=12, 1.2一定是直角三角形吗 1.B2.C3.直角三角形4.A 5m=BC·AD=合×145.答案不i唯-，如5，i2,137,24,25 2 ×12=84. 6.A7.B 第2课时勾股定理的验证及 8.(1)△ABE是直角三角形，理由略； 简单应用 (2)AB=16.9. 1.B 9.C10.B11.直角 2.(1)4ca+b 12.连接AE,设CE=a,则BC=4a, (2)(a+b)22ab+c2 DF=2a,BE=3a, (3)a2+b=c2(4)10 AF2=AD2+DF2=20a2,EF2= 3.B4.A5.0.7 FC°+EC°=5a2,AE2=AB2+ 6.沿B→C→D→B路线配送途中 BE=25a2,.AE=AF+ 飞行所需时间是40分钟. EF,.△AFE是直角三角形， 7.B8.99.14 ∠AFE是直角 10.超速.理由如下：在Rt△ABC 13.图中阴影部分的面积为96m. 中，AC=60m,AB=100m,由勾14.(1)n-1;2n;n2+1. 股定理可得BC=AB-AC= (2)是直角三角形 6400,∴.BC=80m, a2+b=(n2-1)2+(2n)2= .∴.汽车速度为80÷4=20m/s= (n+1)2,.a2+b=c2, 72km/h,.72>60,.这辆小汽 ∴.以a,b,c为边长的三角形是 车超速了. 直角三角形. 11.(1)证明：如图1，，大的正方形 1.3勾股定理的应用 的面积可以表示为(a+b)2,大1.A2.B3.A4.5cm 的正方形的面积又可以表示为5，旗杆的高为12m. 6.D7.B8.B9.D10.10 c+4×2ab,e2+2ab=a+1.48<CD≤8 49 12.(1)90°；(2)略 为66或126. 13.在公路AB上行驶时会遇到危险。 章未核心考点与素养提升 理由如下：过C作CDLAB于D.1.C2.C3.D4.10 :'BC=400m,AC=300m,5.E站应建在离A站10km处. ∠ACB=90°，根据勾股定理得6.B7.C AB2=ACe+BC=250000, 8.(1)证明略； ÷AB=500mS-合AB· (2)设该三角形的腰长为xcm,则 AD=(x-12)cm. CD=合BC·AC,CD- ,CD⊥AB,∴.∠ADC=90°， ∴.AD+CD2=AC,即(x-12)2 BC·AC=400×300 AB 500 =240m, 由于240m<250m,故有危险， +16,解得x一9，该三角 设EF为危险路段的长度， 形的度长为”cm ,爆破点C周围半径250米范 9.D10.B11.B12.C 围内不得进入，CE=CF= 13.(1)证明：：AB=AC, 250m,,CD=240m,∴.DE= .∠ABC=∠ACB, DFR=CE-CD2=4900, BF∥AC,∴.∠ACB= DE=DF=70m,.'EF=140m, ∠CBF, 故危险路段长为140m. ∴.∠ABC=∠CBF, 专题一立体图形中最短路径问题 .BC平分∠ABF; 1.B2.D3.10cm.4.C5.B (2)过点C作CMLAB,CN⊥BF, 6.5a27.20cm8.25dm. 则CM=CN, 专题二勾股定理中的方程思 想与分类讨论思想 ·SaE=2AE·CM,S△ar= 1.C2.12 7BF·CN,且BF=AE 3.△ABE的面积为6cm. 4.B5.7或25 .SAr=S△4cE, 6.分两种情况考虑： .四边形EBFC的面积=SAaF ①当△ABC为锐角三角形时， +SAE=S△AE+S△E ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC SAABC =90°，在Rt△ABD中，AB=13, 过点A作AH⊥BC,由勾股定 AD=12,根据勾股定理得：BD 理易求AH=12,得出S△Bc= =AB2-AD2=25,.BD=5, ×10×12=60. 1 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, ∴.四边形EBFC的面积为60. 根据勾股定理得：DC=AC 14.2026a AD=256,.DC=16, 第二章实数 ..BC=BD+DC=5+16=21, 2.1认识实数 1 则S△ac=2BC·AD=126: 1.D ②当△ABC为钝角三角形时， 2.(1)3160.64 同理可得，BD=5,DC=16, (2)②③① .BC=DC-BD=16-5=11, 3.C4.D5.B6.C7~8.略 2.2平方根与立方根 Saee=2BC·AD=2XI1 第1课时算术平方根 ×12=66;综上，△ABC的面积1.B2.B3.D4.B5.B 50 6.1:(2)g,(30.5；④3. 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 7.C8.D9.C 1.D2.-1(答案不唯一) 10.√3√5-/211.√/2 3.C4.C5.D 12.2x+y一z的算术平方根是√T. 6.(1)原式=6；(2)原式=8； 13.4 (3)原式=√6；(4)原式=2√a. 第2课时平方根 7.B8.C 1.C2.D3.略4.B5.B 9.(1)原式=17； 6.平方根分别是：(1)士4：(2)0：(3) 没有平方根；(4)±2. (2)原式=23+6/10； 算术平方根分别是：(1)4；(2)0； (3)原式= 51 (3)没有算术平方根；(4)2. 10.(1)2x3 7.C8.A9.B 10.9±9±3 (2)原式-号 11.a+2b的平方根是±3. 第2课时最简二次根式 12.根据题意，分以下两种情况： :1.B2.B3.D4.A ①当a-1与5-2a是同一个平 方根时，则a一1=5-2a,解得a 5.(1)原式=35； =2.此时，m=(2-1)2=1; (2原式-， ②当a-1与5-2a是不同的平 方根时，则a一1十5一2a=0,解 (3)原式=30 10 得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 6.B7.B8.3 综上所述，a=2,m=1或a=4, 9.(1)662020 m=9. 第3课时立方根 ①5×√/20=10： 1.C2.B3.D4.A5.A @号xV停-1 6.(1)一8=-2： (3)ab. (2)/0.064=0.4; 10.由分式和二次根式有意义的条件得， 38 (3)一√125 1x-5≥ (4)(5)3=9. 8-x>0 解得，5≤r<8, 7.B8.D9.D10.7 x为偶数，x=6, 11.a-6的立方根为一5， .(x+2) t-4x+4 =(x+2) x2-4 12.(1)24.77;(2)0.006137. 第4课时估算 (x-2)2 V(x-2)(x+2) =√(x-2)(x+2), 1.B2.B3.A4.A 当x=6时，原式=√4X8=42. 5.(1)>(2)>(3)> 6.97.48.a-b=7. 第3课时二次根式的加减法 1.D2.C3.C4.A 9.由题意得：Rt△ABC中， AC=10m,BC=7m, AB=AC+BC=102+7=149, 指武=a万.②原式-5 .12.52=156.25>149, 6.A7.C822-2 这一长度够用. 9.(1)原式=85+2； 10.(1)>;(2)√5+1>√/10. (2)原式=15-2√6. 51