第1章 专题一 立体图形中最短路径问题&专题二 方程思想与分类讨论思想-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

9 专题一 立体图形中最短路径问题 类型一圆柱中的最短路径 1.如图，一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂 蚁从下底面点A爬到上底面相对的点B处吃 食，要爬行的最短路程（π取3）约是 ( A.20cm B.10cm 第4题图 第5题图 C.14cm D.无法确定 5.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三 角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从 顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝，已知此三 棱镜的高为8cm,底面边长为2cm,则这圈金 第1题图 第2题图 属丝的长度至少为 () 2.如图，为了庆祝五一劳动节，学校准备在教学 A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm 大厅的圆柱形柱子上贴彩带，已知柱子的底面 6.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点 圆周长为1m,高为3m.如果要求彩带从柱子 A爬到点B,则它走过的最短路程的平方为 底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的 长至少为 A.2m B.3m C.4m D.5m 3.如图，有一个圆柱，底面直径AB=1 元cm,高 第6题图 第7题图 BC=12cm,P为BC的中点，求蚂蚁从点A爬 7.如图，棱柱的底面是边长为8cm的正方形，侧 到点P的最短路程. 面都是长为16cm的长方形，D是BC的中点， 在棱柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃上 底面点D处的食物，需要爬行的最短路程是 类型三台阶中的最短路径 8.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高 分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶 两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到B 类型二棱柱中的最短路径 点的最短路程是多少？ 4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方 3dm 体纸箱的点A沿纸箱外表面爬到点B,那么它 爬行的最短路线的长是 A.3 B.6 C.10 D.12 10 专题二 勾股定理中的方程思想与分类讨论思想 类型一方程思想 类型二分类讨论思想 1.如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6,4.(山东中考)如图，在4×4的正 BC=8,现将其折叠.使点B与点A重合，折痕 方形网格中有两个格点A、B, 为DE,则AD的长为 ) 连接AB,在网格中再找一个格 B A C.25 点C,使得△ABC是等腰直角 B.3 D.4 4 三角形，满足条件的格点C的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知a、b、c为直角三角形的三边长，且满足(a 袋 水深 3)2+b-4|=0,那么以c为边长的正方形 B 的面积为 10尺 第1题图 第2题图 6.在△ABC中，若AB=13,AC=20,高AD= 2.(巴中中考)古代著作《九章算术》中记载：今有 12,求△ABC的面积. 池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个 边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在 它的正中央，高出水面1尺.如果把该芦苇拉向 岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺 3.如图所示，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD =9cm,将此长方形翻折，使点B点D重合， 折痕为EF,求△ABE的面积，温馨提示：请做完后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章勾股定理 b+2ab,.a2+b=c2; 1.1探索勾股定理 (2)13; 第1课时勾股定理 (3)由题意，可知DH=BI, 1.B2.B3.D :∠DCH=∠BCI,∠CHD= 4.(1)13:(2)BC=6,AC=8. ∠CIB=90°，∴.△CDH≌ 5.D6.3 △CBI(AAS),.CD=BC, 7.AC=4cm.SAABC =6cm'. 设BC=x,则CH=4一x,在Rt 8.C9.C10.10 4 11.6 △CDH中，CH+DH=CD, .(4-x)2+22=x2, 12.连AC,AC=5,证∠BAC=90°， ∴.BC=13. 解得：x=号BC=CD=号， 13.Sae=号cm 同理可得DE=EF=BC-多， 14.设BD=x,则CD=14-x,由勾 .“帽子”外围轮廓（实线）的周长 股定理得：AD2=AB一BD2= 为AB+AF+BC+CD+DE+EF 152-x2,AD2=AC-CD2=13 -(14-x)2,.152-x2=132 -5+5+2+号+号+号=20 (14-x)2,解得x=9,.AD=12, 1.2一定是直角三角形吗 1.B2.C3.直角三角形4.A 5m=BC·AD=合×145.答案不i唯-，如5，i2,137,24,25 2 ×12=84. 6.A7.B 第2课时勾股定理的验证及 8.(1)△ABE是直角三角形，理由略； 简单应用 (2)AB=16.9. 1.B 9.C10.B11.直角 2.(1)4ca+b 12.连接AE,设CE=a,则BC=4a, (2)(a+b)22ab+c2 DF=2a,BE=3a, (3)a2+b=c2(4)10 AF2=AD2+DF2=20a2,EF2= 3.B4.A5.0.7 FC°+EC°=5a2,AE2=AB2+ 6.沿B→C→D→B路线配送途中 BE=25a2,.AE=AF+ 飞行所需时间是40分钟. EF,.△AFE是直角三角形， 7.B8.99.14 ∠AFE是直角 10.超速.理由如下：在Rt△ABC 13.图中阴影部分的面积为96m. 中，AC=60m,AB=100m,由勾14.(1)n-1;2n;n2+1. 股定理可得BC=AB-AC= (2)是直角三角形 6400,∴.BC=80m, a2+b=(n2-1)2+(2n)2= .∴.汽车速度为80÷4=20m/s= (n+1)2,.a2+b=c2, 72km/h,.72>60,.这辆小汽 ∴.以a,b,c为边长的三角形是 车超速了. 直角三角形. 11.(1)证明：如图1，，大的正方形 1.3勾股定理的应用 的面积可以表示为(a+b)2,大1.A2.B3.A4.5cm 的正方形的面积又可以表示为5，旗杆的高为12m. 6.D7.B8.B9.D10.10 c+4×2ab,e2+2ab=a+1.48<CD≤8 49 12.(1)90°；(2)略 为66或126. 13.在公路AB上行驶时会遇到危险。 章未核心考点与素养提升 理由如下：过C作CDLAB于D.1.C2.C3.D4.10 :'BC=400m,AC=300m,5.E站应建在离A站10km处. ∠ACB=90°，根据勾股定理得6.B7.C AB2=ACe+BC=250000, 8.(1)证明略； ÷AB=500mS-合AB· (2)设该三角形的腰长为xcm,则 AD=(x-12)cm. CD=合BC·AC,CD- ,CD⊥AB,∴.∠ADC=90°， ∴.AD+CD2=AC,即(x-12)2 BC·AC=400×300 AB 500 =240m, 由于240m<250m,故有危险， +16,解得x一9，该三角 设EF为危险路段的长度， 形的度长为”cm ,爆破点C周围半径250米范 9.D10.B11.B12.C 围内不得进入，CE=CF= 13.(1)证明：：AB=AC, 250m,,CD=240m,∴.DE= .∠ABC=∠ACB, DFR=CE-CD2=4900, BF∥AC,∴.∠ACB= DE=DF=70m,.'EF=140m, ∠CBF, 故危险路段长为140m. ∴.∠ABC=∠CBF, 专题一立体图形中最短路径问题 .BC平分∠ABF; 1.B2.D3.10cm.4.C5.B (2)过点C作CMLAB,CN⊥BF, 6.5a27.20cm8.25dm. 则CM=CN, 专题二勾股定理中的方程思 想与分类讨论思想 ·SaE=2AE·CM,S△ar= 1.C2.12 7BF·CN,且BF=AE 3.△ABE的面积为6cm. 4.B5.7或25 .SAr=S△4cE, 6.分两种情况考虑： .四边形EBFC的面积=SAaF ①当△ABC为锐角三角形时， +SAE=S△AE+S△E ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC SAABC =90°，在Rt△ABD中，AB=13, 过点A作AH⊥BC,由勾股定 AD=12,根据勾股定理得：BD 理易求AH=12,得出S△Bc= =AB2-AD2=25,.BD=5, ×10×12=60. 1 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, ∴.四边形EBFC的面积为60. 根据勾股定理得：DC=AC 14.2026a AD=256,.DC=16, 第二章实数 ..BC=BD+DC=5+16=21, 2.1认识实数 1 则S△ac=2BC·AD=126: 1.D ②当△ABC为钝角三角形时， 2.(1)3160.64 同理可得，BD=5,DC=16, (2)②③① .BC=DC-BD=16-5=11, 3.C4.D5.B6.C7~8.略 2.2平方根与立方根 Saee=2BC·AD=2XI1 第1课时算术平方根 ×12=66;综上，△ABC的面积1.B2.B3.D4.B5.B 50 6.1:(2)g,(30.5；④3. 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 7.C8.D9.C 1.D2.-1(答案不唯一) 10.√3√5-/211.√/2 3.C4.C5.D 12.2x+y一z的算术平方根是√T. 6.(1)原式=6；(2)原式=8； 13.4 (3)原式=√6；(4)原式=2√a. 第2课时平方根 7.B8.C 1.C2.D3.略4.B5.B 9.(1)原式=17； 6.平方根分别是：(1)士4：(2)0：(3) 没有平方根；(4)±2. (2)原式=23+6/10； 算术平方根分别是：(1)4；(2)0； (3)原式= 51 (3)没有算术平方根；(4)2. 10.(1)2x3 7.C8.A9.B 10.9±9±3 (2)原式-号 11.a+2b的平方根是±3. 第2课时最简二次根式 12.根据题意，分以下两种情况： :1.B2.B3.D4.A ①当a-1与5-2a是同一个平 方根时，则a一1=5-2a,解得a 5.(1)原式=35； =2.此时，m=(2-1)2=1; (2原式-， ②当a-1与5-2a是不同的平 方根时，则a一1十5一2a=0,解 (3)原式=30 10 得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 6.B7.B8.3 综上所述，a=2,m=1或a=4, 9.(1)662020 m=9. 第3课时立方根 ①5×√/20=10： 1.C2.B3.D4.A5.A @号xV停-1 6.(1)一8=-2： (3)ab. (2)/0.064=0.4; 10.由分式和二次根式有意义的条件得， 38 (3)一√125 1x-5≥ (4)(5)3=9. 8-x>0 解得，5≤r<8, 7.B8.D9.D10.7 x为偶数，x=6, 11.a-6的立方根为一5， .(x+2) t-4x+4 =(x+2) x2-4 12.(1)24.77;(2)0.006137. 第4课时估算 (x-2)2 V(x-2)(x+2) =√(x-2)(x+2), 1.B2.B3.A4.A 当x=6时，原式=√4X8=42. 5.(1)>(2)>(3)> 6.97.48.a-b=7. 第3课时二次根式的加减法 1.D2.C3.C4.A 9.由题意得：Rt△ABC中， AC=10m,BC=7m, AB=AC+BC=102+7=149, 指武=a万.②原式-5 .12.52=156.25>149, 6.A7.C822-2 这一长度够用. 9.(1)原式=85+2； 10.(1)>;(2)√5+1>√/10. (2)原式=15-2√6. 51