第1章 3 勾股定理的应用-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

1.3勾股 01基础达标 知识点一勾股定理在生活中的应用 1.消防云梯的长度是13m,在一次执行任务时， 它只能停在离大楼5m远的地方（云梯底端离 地面高度忽略不计)，则云梯可以达到建筑物 的高度是 () A.12m B.13m C.14mD.15m 2.如图，一根长5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙 上，这时AO为4m,若竹竿的顶端A沿墙下滑 1m至C处，则竹竿底端B外移的距离BD A.小于1m B.等于1m C.大于1m D.以上都不对 3.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都 是每分钟40m,甲客轮用15min到达点A,乙 客轮用20min到达点B.若A,B两点的直线 距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的方向 航行，则乙客轮的航行方向可能是( A.南偏东60 B.南偏西60° C.北偏西30° D.南偏西30 4.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底 面半径为6cm,高为16cm,现有一根 长为25cm的吸管任意放入杯中，则 吸管露在杯口外的长度最少是 5.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳 子、卷尺测算出学校旗杆的高度.小明发现旗 杆上的绳子垂到地面还多了1m,当他把绳子 的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面， 请你帮小明求出旗杆的高度， 定理的应用 知识点二立体图形中两点之间的最短距离 6.如图，一个底面圆周长为24cm,高为9cm的圆 柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿 侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最 短路线长为 ( ) A.12cm B.15cm C.14cm D.13cm 第6题图 第7题图 7.如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧 面都是长为13的长方形，点D是BC的中点， 在长方体下底面的A点处有一只蜜蜂，它想吃 到上底面点D处的蜂蜜，需要爬行的最短路 程是n,则n2的值为 () A.397 B.250 C.370 D.205 02能力提升 8.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE =1m,将它往前推4m至C处时（即水平距离 CD=4m),踏板离地的垂直高度CF=3m,它 的绳索始终拉直，则绳索AC的长是() A.4m B.5m C.6m D.8m 9.如图所示，某人到岛上去探宝，从A B 处登陆后先往北走9km,又往东走 6km,再折回向北走3km,往西一 拐，仅走1km就找到宝藏.问登陆 4 点A与宝藏埋藏点B之间的距离是 A.10km B.11km C.12km D.13km 10.如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且 AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,A,F 两点间的距离是 B 第10题图 第11题图 11.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC =6,若点D为AB边上任意一点，则线段CD 的取值范围是 12.边长为1的正方形的顶点称为格点，图中点 A,B,C均为格点. B的 (1)在图中，∠ACB的度数为 (2)如图，请仅用无刻度直尺作图，在格点上 取一点E,使∠ACE=45 8 03思维拓展 13.如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地需 要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公 路上的停靠点A的距离为300m,与公路上另 一停靠点B的距离为400m,且CA⊥CB,为 了安全起见，爆破点C周围半径250m范围 内会有危险.请通过计算判断在公路AB上 行驶时是否会遇到危险？若无，请说明理由， 若有危险请求出危险路段的长度. 甲村A B乙村温馨提示：请做完后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章勾股定理 b+2ab,.a2+b=c2; 1.1探索勾股定理 (2)13; 第1课时勾股定理 (3)由题意，可知DH=BI, 1.B2.B3.D :∠DCH=∠BCI,∠CHD= 4.(1)13:(2)BC=6,AC=8. ∠CIB=90°，∴.△CDH≌ 5.D6.3 △CBI(AAS),.CD=BC, 7.AC=4cm.SAABC =6cm'. 设BC=x,则CH=4一x,在Rt 8.C9.C10.10 4 11.6 △CDH中，CH+DH=CD, .(4-x)2+22=x2, 12.连AC,AC=5,证∠BAC=90°， ∴.BC=13. 解得：x=号BC=CD=号， 13.Sae=号cm 同理可得DE=EF=BC-多， 14.设BD=x,则CD=14-x,由勾 .“帽子”外围轮廓（实线）的周长 股定理得：AD2=AB一BD2= 为AB+AF+BC+CD+DE+EF 152-x2,AD2=AC-CD2=13 -(14-x)2,.152-x2=132 -5+5+2+号+号+号=20 (14-x)2,解得x=9,.AD=12, 1.2一定是直角三角形吗 1.B2.C3.直角三角形4.A 5m=BC·AD=合×145.答案不i唯-，如5，i2,137,24,25 2 ×12=84. 6.A7.B 第2课时勾股定理的验证及 8.(1)△ABE是直角三角形，理由略； 简单应用 (2)AB=16.9. 1.B 9.C10.B11.直角 2.(1)4ca+b 12.连接AE,设CE=a,则BC=4a, (2)(a+b)22ab+c2 DF=2a,BE=3a, (3)a2+b=c2(4)10 AF2=AD2+DF2=20a2,EF2= 3.B4.A5.0.7 FC°+EC°=5a2,AE2=AB2+ 6.沿B→C→D→B路线配送途中 BE=25a2,.AE=AF+ 飞行所需时间是40分钟. EF,.△AFE是直角三角形， 7.B8.99.14 ∠AFE是直角 10.超速.理由如下：在Rt△ABC 13.图中阴影部分的面积为96m. 中，AC=60m,AB=100m,由勾14.(1)n-1;2n;n2+1. 股定理可得BC=AB-AC= (2)是直角三角形 6400,∴.BC=80m, a2+b=(n2-1)2+(2n)2= .∴.汽车速度为80÷4=20m/s= (n+1)2,.a2+b=c2, 72km/h,.72>60,.这辆小汽 ∴.以a,b,c为边长的三角形是 车超速了. 直角三角形. 11.(1)证明：如图1，，大的正方形 1.3勾股定理的应用 的面积可以表示为(a+b)2,大1.A2.B3.A4.5cm 的正方形的面积又可以表示为5，旗杆的高为12m. 6.D7.B8.B9.D10.10 c+4×2ab,e2+2ab=a+1.48<CD≤8 49 12.(1)90°；(2)略 为66或126. 13.在公路AB上行驶时会遇到危险。 章未核心考点与素养提升 理由如下：过C作CDLAB于D.1.C2.C3.D4.10 :'BC=400m,AC=300m,5.E站应建在离A站10km处. ∠ACB=90°，根据勾股定理得6.B7.C AB2=ACe+BC=250000, 8.(1)证明略； ÷AB=500mS-合AB· (2)设该三角形的腰长为xcm,则 AD=(x-12)cm. CD=合BC·AC,CD- ,CD⊥AB,∴.∠ADC=90°， ∴.AD+CD2=AC,即(x-12)2 BC·AC=400×300 AB 500 =240m, 由于240m<250m,故有危险， +16,解得x一9，该三角 设EF为危险路段的长度， 形的度长为”cm ,爆破点C周围半径250米范 9.D10.B11.B12.C 围内不得进入，CE=CF= 13.(1)证明：：AB=AC, 250m,,CD=240m,∴.DE= .∠ABC=∠ACB, DFR=CE-CD2=4900, BF∥AC,∴.∠ACB= DE=DF=70m,.'EF=140m, ∠CBF, 故危险路段长为140m. ∴.∠ABC=∠CBF, 专题一立体图形中最短路径问题 .BC平分∠ABF; 1.B2.D3.10cm.4.C5.B (2)过点C作CMLAB,CN⊥BF, 6.5a27.20cm8.25dm. 则CM=CN, 专题二勾股定理中的方程思 想与分类讨论思想 ·SaE=2AE·CM,S△ar= 1.C2.12 7BF·CN,且BF=AE 3.△ABE的面积为6cm. 4.B5.7或25 .SAr=S△4cE, 6.分两种情况考虑： .四边形EBFC的面积=SAaF ①当△ABC为锐角三角形时， +SAE=S△AE+S△E ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC SAABC =90°，在Rt△ABD中，AB=13, 过点A作AH⊥BC,由勾股定 AD=12,根据勾股定理得：BD 理易求AH=12,得出S△Bc= =AB2-AD2=25,.BD=5, ×10×12=60. 1 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, ∴.四边形EBFC的面积为60. 根据勾股定理得：DC=AC 14.2026a AD=256,.DC=16, 第二章实数 ..BC=BD+DC=5+16=21, 2.1认识实数 1 则S△ac=2BC·AD=126: 1.D ②当△ABC为钝角三角形时， 2.(1)3160.64 同理可得，BD=5,DC=16, (2)②③① .BC=DC-BD=16-5=11, 3.C4.D5.B6.C7~8.略 2.2平方根与立方根 Saee=2BC·AD=2XI1 第1课时算术平方根 ×12=66;综上，△ABC的面积1.B2.B3.D4.B5.B 50 6.1:(2)g,(30.5；④3. 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 7.C8.D9.C 1.D2.-1(答案不唯一) 10.√3√5-/211.√/2 3.C4.C5.D 12.2x+y一z的算术平方根是√T. 6.(1)原式=6；(2)原式=8； 13.4 (3)原式=√6；(4)原式=2√a. 第2课时平方根 7.B8.C 1.C2.D3.略4.B5.B 9.(1)原式=17； 6.平方根分别是：(1)士4：(2)0：(3) 没有平方根；(4)±2. (2)原式=23+6/10； 算术平方根分别是：(1)4；(2)0； (3)原式= 51 (3)没有算术平方根；(4)2. 10.(1)2x3 7.C8.A9.B 10.9±9±3 (2)原式-号 11.a+2b的平方根是±3. 第2课时最简二次根式 12.根据题意，分以下两种情况： :1.B2.B3.D4.A ①当a-1与5-2a是同一个平 方根时，则a一1=5-2a,解得a 5.(1)原式=35； =2.此时，m=(2-1)2=1; (2原式-， ②当a-1与5-2a是不同的平 方根时，则a一1十5一2a=0,解 (3)原式=30 10 得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 6.B7.B8.3 综上所述，a=2,m=1或a=4, 9.(1)662020 m=9. 第3课时立方根 ①5×√/20=10： 1.C2.B3.D4.A5.A @号xV停-1 6.(1)一8=-2： (3)ab. (2)/0.064=0.4; 10.由分式和二次根式有意义的条件得， 38 (3)一√125 1x-5≥ (4)(5)3=9. 8-x>0 解得，5≤r<8, 7.B8.D9.D10.7 x为偶数，x=6, 11.a-6的立方根为一5， .(x+2) t-4x+4 =(x+2) x2-4 12.(1)24.77;(2)0.006137. 第4课时估算 (x-2)2 V(x-2)(x+2) =√(x-2)(x+2), 1.B2.B3.A4.A 当x=6时，原式=√4X8=42. 5.(1)>(2)>(3)> 6.97.48.a-b=7. 第3课时二次根式的加减法 1.D2.C3.C4.A 9.由题意得：Rt△ABC中， AC=10m,BC=7m, AB=AC+BC=102+7=149, 指武=a万.②原式-5 .12.52=156.25>149, 6.A7.C822-2 这一长度够用. 9.(1)原式=85+2； 10.(1)>;(2)√5+1>√/10. (2)原式=15-2√6. 51