专题04二次函数综合同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学二次函数综合应用核心知识点，以抛物线和坐标运算为基础，重点研究几何动态最值与图形存在性问题，涵盖线段周长、面积、角度等六大必考题型，构建从坐标公式、解题模型到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于系统归纳题型与解题模型，提炼数形结合、分类讨论等核心思想，通过题型精讲（如线段最值用将军饮马模型转化）和课堂小练，培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固方法，查漏补缺。

专题04二次函数的综合同步培优讲义 ✺知识框架 本专题以抛物线和坐标运算为基础，运用多种数学思想，重点研究二次函数几何动态最值与图形存在性问题，涵盖六大必考题型，属于二次函数板块的核心重难点。 ✺学习目标 1.熟练掌握坐标相关计算公式，了解六大题型基本思路，能完成简单动点计算与最值求解。 2.掌握各类题型解题模型，规范分类讨论、数形转化与验根取舍，能够独立求解中档二次函数几何综合题。 ✺题型归纳 题型1.线段周长问题(二次函数综合) 题型2.面积问题(二次函数综合) 题型3.角度问题(二次函数综合) 题型4.特殊三角形问题(二次函数综合) 题型5.特殊四边形(二次函数综合) 题型6.其他问题(二次函数综合) 题型7.课堂小练 ✺知识清单 题型一：线段、周长最值问题 1.常用公式: 水平线段长度：|-| . 竖直线段长度：|-| 平面两点距离公式：AB= 2.解题模型 设抛物线上动点坐标，代入公式构造线段长度的二次函数，结合自变量取值范围求解最值；周长最值剔除定长线段，利用轴对称（将军饮马）模型转化为两点之间线段最短求解。 题型二：面积最值问题 1.常用公式： 铅垂高水平宽面积公式：S=铅垂高×水平宽 2.解题模型：采用割补法、铅垂法，将不规则图形转化为规则图形。建立面积二次函数，结合自变量取值区间求面积最值。 题型三：角度存在性问题 1.核心结论： 特殊直角三角形边长比例：45°等腰直角三角形边长比1:1:；30°、60°直角三角形边长比1::∶2。借助边长关系、垂直条件，结合相似三角形判定特殊角。 2.解题模型：将角度条件转化为线段比例、垂直、相似等代数关系，分类讨论动点位置，计算后检验结果，防止漏解、增根。 题型四：特殊三角形存在性问题 1.核心公式:勾股定理：+= 2.解题模型: 等腰三角形：两定点一动点，按三边两两相等分类，列边长方程。 直角三角形：分别以三个顶点作为直角顶点，利用勾股定理列方程。 通用解题流程：设动点坐标→表示三边长度→分类列方程→验根取舍。 题型五：特殊四边形存在性问题 1.核心公式:中点坐标公式：(,) 2.解题模型 平行四边形：利用对角线互相平分、中点坐标重合列方程。 特殊平行四边形：平行四边形基础上，邻边相等为菱形，有直角为矩形，同时满足两者为正方形。 分类讨论图形位置，舍去无法构成图形的无效解。 题型六：拓展综合问题 涵盖定点定值、几何量取值范围、动点规律探究。通过代数化简求定点定值；结合函数增减性、顶点、区间端点，确定几何量取值范围，分析动点带来的图形变化。 【核心解题思想】 数形结合思想：几何条件转化为坐标、函数、方程，几何问题代数化。 分类讨论思想：动点、存在性问题完整分类，避免漏解。 转化建模思想：将最值、存在性问题转化为二次函数或一元二次方程求解。 验根取舍思想：检验解的合理性，剔除无效增根。 ✺题型精讲 题型1.线段周长问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 2．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 3．课题学习：我们知道二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，那么动点形成的图形就是抛物线的图像，如图所示． (1)探究与的关系． (2)应用：已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式． 拓展：抛物线的图像看作到定点（_______，________）的距离与到定直线___________的距离相等的动点所形成的图形． (3)若点的坐标是，则在（2）应用中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；拓展：，，； (3)存在， 【分析】（1）过点作直线交于点得，由新定义得，由勾股定理得，即可求解； （2）应用：由（1）得，即可求解； 拓展：由图像平移得 抛物线由抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，由新定义得抛物线可以看作动点到定点的距离与到定直线的距离相等，动点形成的抛物线的解析式，定点与直线分别先向右平移个单位，再向上平移个单位得定点与直线，即可求解； （3）过点作直线的垂线垂足为，与抛物线的交点为，由新定义得，的最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线交于点， ， 由题意得， ， 整理得， ， ， ； （2）解：应用：由（1）得， ， ； 拓展：由抛物线得 ，顶点为， 抛物线由抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 由（1）得， 解得， 抛物线可以看作动点到定点的距离与到定直线的距离相等，动点形成的抛物线的解析式， 定点与直线分别先向右平移个单位，再向上平移个单位得定点与直线， 抛物线可以看作动点到定点的距离与到定直线的距离相等，动点形成的抛物线的解析式， 故答案为：，，； （3）解：存在； 如图，过点作直线的垂线垂足为，与抛物线的交点为， ， ， 的最小值为的长， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，待定系数法，垂线段最短，二次函数图像的平移等；理解新定义是解题的关键． 题型2.面积问题(二次函数综合) 1．已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标． 【详解】解：对于一次函数， 当时，得：， 解得：， ∵二次函数的图像与轴分别交于点，， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，， ∴， 解得：或， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 【答案】8 【分析】根据抛物线解析式得到点的坐标，易得点到的距离、线段的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由抛物线知，顶点． ∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍， ∴． 则， 解得． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． 3．如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】 【分析】连接，求出点A和点B的坐标，根据推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，当时，，则， 在中，当时，，解得或，则， ∴； 设， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时，即点Q的坐标为． 题型3.角度问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 2．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 3．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 题型4.特殊三角形问题(二次函数综合) 1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值． 【详解】解：∵抛物线三角形系数为， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点为，， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴或， ∵时，抛物线与x轴只有一个交点， ∴不符合题意， ∴或， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 【答案】 【分析】先求出抛物线顶点A、点B、点C的坐标，根据点A在BC的垂直平分线上得到，确定直角顶点为A，利用等腰直角三角形的性质求出的值，再用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：将代入得， 因此， 抛物线的对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式得顶点的纵坐标为， 因此， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 若为直角三角形，则直角顶点只能为， 如图，设中点为，连接， 则，， 由等腰直角三角形性质得， 即， 整理得， 当时，，此时三点重合，舍去， 因此，所以，即， 由勾股定理得， 代入得． 3．如图，抛物线与x轴相交于两点．在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】或 【分析】根据题意可得，设，则，可求出，，则可得到 方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：轴于点Q， ， 是等腰直角三角形， ； 点P在抛物线上， ∴设，则， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 或， ∴或 当时，解得或（舍去）， ∴此时，即点P的坐标为； 当时，解得或（舍去）， ∴此时，即点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 题型5.特殊四边形(二次函数综合) 1．如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点B，C的坐标分别是，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在抛物线的图像上， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．直线与轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一点，点为轴上一点．是否存在以为边的四边形为菱形？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在；的值为或 【分析】求出点A坐标，根据菱形性质，表示P点坐标，代入抛物线解析式，求出m即可． 【详解】解：存在，以为边的四边形为菱形．理由如下： 对于直线，令，则； 令，则，解得， ∴，， ∴． ①当时， 如图， 四边形为菱形，， ， 或， 或， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或； ②当时，如图， 当四边形为菱形时， ，， ∴ ∴ 解得，或（舍去） 综上所述，的值为或． 题型6.其他问题(二次函数综合) 1．在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，先根据题意可得：抛物线的图象与直线在第三象限有两个交点，再结合图象与两个函数的对称轴可得答案. 【详解】解：∵抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点， ∴抛物线的图象与直线在第三象限有两个交点， 如图， ∴， ∵的对称轴为直线，的对称轴为直线， ∴与关于直线对称， ∴的图象不经过第二象限； 故选：B 2．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 3．已知二次函数的图象过点，． (1)当时，求a的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：根据题意，，， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】(1)根据题意当时，将点代入即可得出a的值； (2)首先，把点，分别代入函数，得，，然后，再将代入，得，最后，由，可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴， 解得； （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①抛物线是否存在“量子三角形”取决于其与x轴的交点个数，根据判别式即可判断；②通过计算正三角形的边长及面积验证；③枚举符合条件的系数组合，结合等腰直角三角形的几何条件判断．本题关键是掌握二次函数与二次方程的关系，掌握等边三角形、等腰直角三角形的几何特征． 【详解】①正确：抛物线的判别式，故抛物线与x轴无交点，故不存在“量子三角形”． ②正确：抛物线的顶点为，与x轴交于和． 若构成正三角形，则顶点到交点的距离等于交点间距， 即，解得， 则正三角形的边长，面积为． ③正确：要满足题意，则， 设两根为，则， 二次函数与x轴两交点之间的距离，即等腰直角三角形的底边边长为： ， 要使该等腰三角形为等腰直角三角形，则：， ∴， ∴， 又∵为绝对值不大于1的整数，， ∴ ∴或， 即满足条件的抛物线有两条． 故选：D． 2．如图，在等腰中，，点是边上一个动点，过点分别作射线和射线的垂线段和，连接，设的面积为，的面积为，当线段的长度最小时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，作于，设，，根据三角形函数分别表示出，， ，，得，，，，进而可得，，，，，根据勾股定理得，可得当时，最小，即可求的值． 【详解】解：作于，作于， 设，， ， ， ，， 同理可求，， ， ， ，， 同理可求，， ， ， ， ， 当时，最小为， 此时，， ， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及解直角三角形的相关计算，涉及二次函数的性质，准确利用参数建立变量之间的关系式是正确解答此题的关键． 二、填空题 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 4．已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【答案】 【分析】连接，由题意得，推得，所以当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长，然后求出直线的解析式为，求出该直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】解：连结， 由已知，，则， ， 当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得，， 点C位于y轴左侧， ， 当时，， 点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与线段相关的最值问题，二次函数图象与性质， 求一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意，分析线段差的最值的几何意义是关键． 三、解答题 5．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 6．抛物线：（其中）与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)①填空：当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，，的对应点分别为点，，求的值； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)①；   ②解：随值的变化，抛物线恒经过定点，理由如下： 由可变形得， 当，即时，无论取何值，， ∴抛物线恒经过定点； (2)或 (3)或 【分析】（1）①代入，求抛物线顶点式得，即可求出顶点坐标；令，求出抛物线与轴两交点横坐标，即可得点坐标； ②整理抛物线表达式，令含参数的系数为 0，求出定点； （2）平移不改变线段长度，，列式，解得； （3）是等腰三角形，直角只能在点；等腰直角三角形斜边上高等于斜边一半，列方程求解即可 ． 【详解】（1）解：①抛物线：， 当时，， ∴顶点； 令，则， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴， 所以，，； ②略； （2）解：抛物线：平移得到抛物线：， 且，的对应点分别为点，， ∴， ∵，， ∴，即； 令，得， 设，的横坐标为，，得，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴的值为或； （3）解:抛物线的对称轴为直线，点,关于对称轴对称，点为顶点， ∴，为等腰三角形； 若为直角三角形，则， 设中点为，则，且， 由(2)知， ∴， 又∵点P的纵坐标， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数的综合同步培优讲义 ✺知识框架 本专题以抛物线和坐标运算为基础，运用多种数学思想，重点研究二次函数几何动态最值与图形存在性问题，涵盖六大必考题型，属于二次函数板块的核心重难点。 ✺学习目标 1.熟练掌握坐标相关计算公式，了解六大题型基本思路，能完成简单动点计算与最值求解。 2.掌握各类题型解题模型，规范分类讨论、数形转化与验根取舍，能够独立求解中档二次函数几何综合题。 ✺题型归纳 题型1.线段周长问题(二次函数综合) 题型2.面积问题(二次函数综合) 题型3.角度问题(二次函数综合) 题型4.特殊三角形问题(二次函数综合) 题型5.特殊四边形(二次函数综合) 题型6.其他问题(二次函数综合) 题型7.课堂小练 ✺知识清单 题型一：线段、周长最值问题 1.常用公式: 水平线段长度：|-| . 竖直线段长度：|-| 平面两点距离公式：AB= 2.解题模型 设抛物线上动点坐标，代入公式构造线段长度的二次函数，结合自变量取值范围求解最值；周长最值剔除定长线段，利用轴对称（将军饮马）模型转化为两点之间线段最短求解。 题型二：面积最值问题 1.常用公式： 铅垂高水平宽面积公式：S=铅垂高×水平宽 2.解题模型：采用割补法、铅垂法，将不规则图形转化为规则图形。建立面积二次函数，结合自变量取值区间求面积最值。 题型三：角度存在性问题 1.核心结论： 特殊直角三角形边长比例：45°等腰直角三角形边长比1:1:；30°、60°直角三角形边长比1::∶2。借助边长关系、垂直条件，结合相似三角形判定特殊角。 2.解题模型：将角度条件转化为线段比例、垂直、相似等代数关系，分类讨论动点位置，计算后检验结果，防止漏解、增根。 题型四：特殊三角形存在性问题 1.核心公式:勾股定理：+= 2.解题模型: 等腰三角形：两定点一动点，按三边两两相等分类，列边长方程。 直角三角形：分别以三个顶点作为直角顶点，利用勾股定理列方程。 通用解题流程：设动点坐标→表示三边长度→分类列方程→验根取舍。 题型五：特殊四边形存在性问题 1.核心公式:中点坐标公式：(,) 2.解题模型： 平行四边形：利用对角线互相平分、中点坐标重合列方程。 特殊平行四边形：平行四边形基础上，邻边相等为菱形，有直角为矩形，同时满足两者为正方形。 分类讨论图形位置，舍去无法构成图形的无效解。 题型六：拓展综合问题 涵盖定点定值、几何量取值范围、动点规律探究。通过代数化简求定点定值；结合函数增减性、顶点、区间端点，确定几何量取值范围，分析动点带来的图形变化。 【核心解题思想】 数形结合思想：几何条件转化为坐标、函数、方程，几何问题代数化。 分类讨论思想：动点、存在性问题完整分类，避免漏解。 转化建模思想：将最值、存在性问题转化为二次函数或一元二次方程求解。 验根取舍思想：检验解的合理性，剔除无效增根。 ✺题型精讲 题型1.线段周长问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 3．课题学习：我们知道二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，那么动点形成的图形就是抛物线的图像，如图所示． (1)探究与的关系． (2)应用：已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式． 拓展：抛物线的图像看作到定点（_______，________）的距离与到定直线___________的距离相等的动点所形成的图形． (3)若点的坐标是，则在（2）应用中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型2.面积问题(二次函数综合) 1．已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 3．如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 题型3.角度问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 2．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 3．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 题型4.特殊三角形问题(二次函数综合) 1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 3．如图，抛物线与x轴相交于两点．在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 题型5.特殊四边形(二次函数综合) 1．如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为________． 3．直线与轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一点，点为轴上一点．是否存在以为边的四边形为菱形？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 题型6.其他问题(二次函数综合) 1．在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 3．已知二次函数的图象过点，． (1)当时，求a的值； (2)求证：． ✺课堂小练 一、单选题 1．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在等腰中，，点是边上一个动点，过点分别作射线和射线的垂线段和，连接，设的面积为，的面积为，当线段的长度最小时，的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 4．已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 三、解答题 5．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．抛物线：（其中）与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)①填空：当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，，的对应点分别为点，，求的值； (3)若为直角三角形，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $