立体几何的方法体系（三）球与动态问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦立体几何球与动态问题，涵盖外接球、内切球、平面折叠、动点轨迹与最值等高考核心考点，按“知识点梳理-方法突破-例题解析-分层练习”逻辑架构，通过考点分类梳理、方法系统指导、真题分层训练，帮助学生构建完整解题体系，突破空间想象与动态分析难点。 资料以“空间观念”和“推理能力”为核心，创新设计“模型归类+不变量分析”教学策略，如外接球通过“找球心两条线索”建立通法，折叠问题强调“同半平面不变量”简化动态分析。设置自查要点和分层练习，确保学生高效掌握解题关键，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

立体几何的方法体系（三） 球与动态问题 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　几何体的外接球 如果一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该多面体的外接球，球心到这个多面体每个顶点的距离都相等，这个公共距离就是球的半径。所以找外接球的第一步永远是「找球心」，也就是找与各顶点等距的那个点。 球心一定在某个面的外接圆的垂线上。因为球心到该面三个顶点的距离相等，它在该面上的射影必然是这三个点外接圆的圆心；而到圆心等距的点，都在这条过圆心且垂直于该平面的直线上。两个不平行的面各给一条这样的直线，交点就是球心。 最基本的一条关系式是 ： 是某个面外接圆的半径， 是球心到这个面的距离。用的时候要先把 算出来，再想办法求出 ，这两步各自都不难，合起来就能定出半径。 长方体与正方体的外接球最省事：球心就是体对角线的中点，半径等于体对角线的一半。棱长为 的正方体，体对角线为 ，所以外接球半径 ，这一条几乎每年都要用。 侧棱垂直于底面的棱锥，可以补形成直棱柱，两者外接球相同。这时球心到底面的距离恰好是侧棱长的一半，于是 ，其中 是垂直于底面的那条侧棱的长。 正棱柱的外接球球心在上下底面中心的连线中点处，半径 。这里 是底面正多边形的外接圆半径，三角形的要算到中心到顶点的距离，不要错用中心到边的距离。 正棱锥的外接球球心在高所在的直线上。设底面外接圆半径为 、高为 ，球心在轴上距底面中心 处，由 解出 即可，要注意球心可能落在底面下方。 正四面体是特殊的一类，直接记住结论更省事：棱长为 时外接球半径 ，内切球半径 ，两者之比恒为 。这是因为正四面体的中心把高分成 两段。 两个平面互相垂直时有一个好用的公式。设球心在这两个平面上的射影分别是两个三角形的外心，两个外接圆半径分别为 、，两个三角形的公共边长为 ，则 。 对棱相等的四面体（三组对棱分别相等）可以补成长方体，它的六条棱正好是长方体六个面的对角线，外接球就是长方体的外接球。设长方体三条棱为 、、，由三组对棱长解出 、、 即可。 圆柱、圆锥、圆台的外接球球心都在它们的轴上。圆柱的球心是轴的中点；圆台的球心在轴上但要靠两个底面圆周上的点来确定；圆锥的球心由「母线长、底面半径、高」这三者与半径的关系确定。 常见失误有三个：把球心当成了某个面的中心；求 时把 写成了 ；两平面垂直的模型中把公共弦长当成了半径。算完之后可以用「球心到每个顶点的距离是否相等」自查。 例如求棱长为 2 的正方体的外接球表面积：体对角线为 ，半径 ，表面积 。再如侧棱垂直底面且长为 2 的三棱锥，若底面外接圆半径为 1，则 ，表面积是 。 知识点二　内切球与球的截面 与多面体的每一个面都相切的球叫做这个多面体的内切球。切点到球心的连线垂直于该面，所以球心到每个面的距离都等于球的半径，球心一般落在几何体的对称轴或对称中心上。 求内切球半径有一条通用公式：，其中 是多面体的体积、 是全面积。道理是把多面体按各个面切成若干个以球心为顶点的小棱锥，它们的体积之和等于原体积。这条公式对任意多面体都成立，是最稳的一条路。 正四面体的内切球半径 ，与它的高 之间的关系是 。记住这一条，凡是碰到正四面体里装球或串球的题，都可以只算高再除以 4。 正方体有三种「球」值得分清：内切球与六个面相切，半径 ；棱切球与十二条棱相切，半径 ；外接球过八个顶点，半径 。三个半径之比为 ，记住这个比就不会张冠李戴。 圆柱、圆锥、圆台以及台体的内切球，都要降到轴截面上看。轴截面是矩形、等腰三角形或等腰梯形，球的大圆在截面上就是一个与它们相切的圆，立体问题因此变成平面几何问题。 圆内切于四边形时有一条好用的性质：四边形的两组对边之和相等。在等腰梯形里，这一条直接给出「两腰之和等于两底之和」，腰长和高的关系便随之确定，是求圆台、棱台内切球半径的关键一步。 球与几何体的两个底面都相切时，球心一定在两个底面中间，于是几何体的高等于直径。反过来，如果知道高与球的半径之二倍相等，就能判断球是否同时与上下底面相切。判断球是否「装得下」时，还要检查它与侧面是否相切。 平面截球所得的图形是圆。设球半径为 、球心到截面的距离为 ，则截面圆半径 。球心、截面圆圆心与截面圆上任意一点构成直角三角形，这是所有与球的截面有关计算的骨架。 过球心的截面所得的交线叫做大圆，大圆的半径等于球的半径，这时 ，截面圆最大。反过来，题目说「某几个点在同一个大圆上」，其实就是在说「这几点所在的那个平面过球心」。 球面上的动点问题，通常先把动点满足的条件化成一个方程。如果这个方程是三元一次方程，它就是一个平面，动点轨迹就是平面与球面的交线，也就是一个圆，再用 求它的半径。 求轨迹长度时要注意取哪一段。轨迹圆往往只有一部分落在几何体的表面或内部，这时要按交线或侧面把圆截开，取相应的弧长，不能一律按整圆周长算。画一张截面草图能有效避免这一处失误。 「球与所有棱都相切」是另一种情形，球心到每条棱的距离都等于半径。求点到直线的距离时，用「向量在方向上的投影」来算最省事，即先算出向量与方向向量的夹角，再用斜边乘夹角的正弦。 常见失误有三个：用 时把 当成了底面积而不是全面积；求截面圆半径时把 写成了 ；轨迹求了整圆而题目只要一段弧。 例如正方体的棱长为 2，则它的内切球半径为 1、体积为 ；外接球半径为 、表面积为 。又如球半径为 2、球心到某截面距离为 1 时，截面圆的半径为 ，面积为 。 知识点三　平面图形的折叠 折叠是把平面图形的一部分沿一条直线翻折到空间中，这条直线叫做折痕。翻折之后图形分成两块：不动的那一块仍然在原平面内，动的那一块绕折痕转到新的位置，两部分拼成一个空间几何体。 折叠有两条不变量。第一，折痕上的点位置不变；第二，位于同一个半平面内的线段长度、角度和图形面积都不变。只有跨越折痕的量（比如两个半平面之间的夹角）才会改变。 很多时候折痕是某条线段的垂直平分线，这时有更好用的结论：原图中到折痕两端距离相等的点，翻折后得到的新点到这两端的距离仍然相等。由此可以推出「折痕垂直于某条连线」，是证明垂直关系的常用依据。 判断折痕是不是垂直平分线，要看原图上到折痕两端等距的点有几个。如果能找到两个这样的点，那么过这两点的直线就是折痕的垂直平分线，折叠后这条直线与折痕垂直的结论依然成立。 折叠题的通法是：把不动的那一块放在 平面上，动点用「折痕上的垂足」加上「绕折痕转过的角度」来表示。这样动点的坐标就只含一个参数，问题随即降成一元问题。 折痕两侧各有一条与折痕垂直的线段时，这两条线段所成的角就是二面角的平面角。题目给出二面角的大小，相当于给出了这两条线段的关系，用一个角 写坐标是最直接的翻译方式。 折叠后要证明线面垂直、面面垂直，思路与不折叠时完全一样：仍然先找两条相交直线，再说明它们都垂直于目标直线。只不过程序里用到的等长关系要换成折叠后的那一条。 折叠会破坏一些原来的共线、共面关系，但没有被破坏的要大胆使用。不动的那一块里的平行、垂直、长度、角度全都保留，把它们先标在图上，往往一眼就能看出该证哪两条线垂直。 求折叠后的体积、距离、线面角与二面角，一般都要建系。建系之前必须先说明三条坐标轴两两垂直，这一步在解答题里不能省，而且往往就是题目第一问要证的那个结论。 折叠中的最值问题，通常用「转过的角度」作参数。把目标量写成这个角的函数，再求导或配方定出最值，最后要交代参数的取值范围，不能把不可能的角度也算进去。 还有一类折叠是把某个顶点沿直线翻折到另一个位置，由于翻折前后该点到折痕上各点的距离都不变，它到折痕的距离在翻折前后是同一个数，这正是求高的突破口。 常见失误有三个：把跨折痕的线段长当成不变；忘记了动点所在的圆（球）的圆心和半径；建系前没有先证三条轴两两垂直，导致后面的坐标全是错的。 例如把边长为 2 的等边三角形沿中位线折起：中位线长 1，折后得到的是一个上底为 1、下底为 2、腰为 1 的等腰梯形与一个小三角形拼成的几何体，梯形的面积与各边长都能由「同半平面内长度不变」直接读出。 知识点四　动点轨迹与最值 动点问题有一套固定流程：先用参数写出动点的坐标，再把题目给的约束条件翻译成方程，最后求目标量的最大值或最小值。难的不是流程，而是判断该设几个参数、哪个量最值得当参数。 常见的轨迹只有三类。第一类，动点在一条线段上，用一个参数就能表示；第二类，动点在一个平面内，约束化成一个二元二次方程，轨迹是圆或圆弧；第三类，动点在球面上，约束化成一个平面，轨迹是球面被截出的圆。 轨迹是圆时，求「动点到某个定点的距离」的最值有固定答案：最小值等于圆心到该定点的距离减去半径，最大值等于这个距离加上半径。用的时候要先确认定点在圆外，否则最值中会出现零。 空间里两条线段上各取一点、求它们距离的最小值，把两个动点各用一个参数表示，距离的平方就是一个二元二次式，依次对两个变量配方即可，不必求偏导数。 两条异面直线的距离，是分别取在两直线上两点的距离的最小值，也可以理解成「过其中一条直线的平面与另一条直线平行时，它们之间的距离」。题目通常只需要用到估值：先证某条线段同时垂直于两条直线。 体积的最值往往可以拆成两部分。底面固定时让高最大，高固定时让底面面积最大；两者都在变时，把体积写成一个参数的函数再求导。判断高最大在哪，常常用「动点在一个圆（球）上」这一条。 线面角与二面角的最值，一般也用参数表示再求导。写表达式时优先选那种能让分子分母同时化简单的参数，例如把 换成半角的形式。 动点轨迹围成的面积，做法是「先认清边界再拆」。边界通常是圆弧加线段，把区域按竖直的界切开，一半是扇形或四分之一圆，另一半是三角形或直角梯形，分别算面积再相加。 与球有关的动点问题，第一步是把动点满足的条件化成方程。若得到的是三元一次方程，说明轨迹在一个平面上，它与球面的交线是圆，半径用 求。 出现多个动点时，先找出其中不动的量。例如某个动点虽然位置在变，但它到某条定直线的距离始终不变，于是求最值时可以先把这个量固定下来，问题立刻就简单了。 与球有关的一类最值题还要注意：球可能只与部分棱相切。要求「与所有棱都相切」的球，需让球心到每条棱的距离都相等，这时先由对称性把球心定在轴上，再让两种距离相等列出方程。 求最值时务必交代取等条件。很多题目最后要回答的不是最值本身，而是「取到最值时某个线段有多长」，所以参数的具体取值必须算出来并说明它在允许范围内。 常见失误有三个：参数取值范围漏掉了边界；把轨迹圆整圈都算进去而实际上只取了一段弧；求出最值后没有回代验证取等条件是否真的能满足。 例如正三棱柱底面边长为 4、侧棱长为 2，点 在侧面内且与两个顶点的连线互相垂直，把条件化成圆 后，求 到定点的最小值时，答案就是「圆心到此定点的距离 减去半径 」。 二、方法突破 方法一　外接球 这一节只做一件事：把一个多面体的外接球半径算出来。球心到底面的距离加上底面外接圆半径，用勾股定理合成球半径 —— 所有模型都是这一个式子的变形，差别只在「球心到该面的距离」好不好求。 ★ 找球心只有两条线索。一条是「到某个面的三顶点等距」，说明球心在该面外接圆圆心的垂线上；另一条是「到某一对顶点等距」，说明球心在这对点连线的垂直平分面上。两条线索各给一个几何位置，交出来就是球心。 ★ 几个必须条件反射的模型：长方体与正方体的球心是体对角线中点；侧棱垂直底面的棱锥补成直棱柱，球心到底面的距离恰好是侧棱的一半；正棱柱与正棱锥的球心都在轴上，用 与 联立。 ★ 正四面体直接背结论更省时间：棱长 时外接球半径 ，内切球半径 ，两者之比恒为 。把正四面体补进棱长为 的正方体是它的第二套解法。 ★ 两个平面互相垂直时，球心在两个面上的射影分别是两个三角形的外心，于是 ，其中 是两个三角形的公共边长。看到「平面 平面 」加「各顶点在同一球面上」，直接套这条。 ★ 对棱相等的四面体一律补成长方体。三组对棱长正好是长方体六个面的对角线长，解出三条棱的平方和再开方，就是体对角线。 ★ 做完自查：球心位置合理吗（可能在底面下方）？侧棱垂直底面时用的是 还是 ？最后可以用「球心到各顶点距离是否相等」验一遍。 例题 例 1-1 【单选】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】 由 平面 得 ，。 在 中，由 、、 得 ，即 。 因为 ，所以 ，。 于是 的外接圆以 为直径，外接圆半径 。 设球心 在平面 上的射影为 。因为 ，所以 是 的外心， 即 是 的中点，。 又 平面 ，所以 到 的距离为 0，球心到平面 的距离 。 于是球半径的平方 。 所以球 的表面积为 ，选 C。 第 1 步　先把底面三角形的形状判清楚 ◈ 用余弦定理算出 ，再回代验证 ，得到直角，外接圆半径才好定。 第 2 步　侧棱垂直底面时球心在正中 ◈ 球心在底面的射影就是底面外心，球心到该平面的距离恰好是侧棱的一半 —— 这正是「补形为直棱柱」的坐标解释。 第 3 步　半径用勾股合成 ◈ 球半径的平方等于底面外接圆半径的平方，加上球心到该平面距离的平方。 答　C 例 1-2 【单选】如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】 设球 的半径为 ，正方形 的边长为 。 因为 、、、 在球 的同一个大圆上，而大圆是过球心的平面与球面的交线， 所以点 在底面 内，且 ，即 是正方形 的中心。 正方形的对角线长等于它的外接圆直径，即 ，而 ， 所以 。 因为底面是正方形，正四棱锥的顶点 在底面中心 的正上方， 而 在球面上，所以正四棱锥的高 。 由 得 ，即 ，。 所以球 的表面积为 ，选 D。 第 1 步　「同一个大圆」说明底面过球心 ◈ 大圆就是过球心的平面截球所得的圆，所以底面的外接圆是球的大圆，球心落在底面内。 第 2 步　顶点在球面上给出高等于半径 ◈ 正四棱锥的高就是底面中心到顶点的距离，顶点在球面上时它恰好等于球的半径。 第 3 步　两条关系代入体积公式 ◈ 把 与 一起代进体积公式，方程里就只剩 一个未知量。 答　D 例 1-3 【单选】已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 3 【解析】 设球 的半径为 ， 与 的外接圆半径分别为 、。 由两圆面积之和为 得 ，即 。 因为球心到 三个顶点的距离相等，所以 在平面 上的射影就是 的外心 ； 同理 在平面 上的射影是 的外心 。 取 的中点为原点， 所在直线为 轴，平面 为 平面、平面 为 平面。 因为两平面的交线是 ，且平面 平面 ，所以 、 都在 的垂直平分线上， 可设 、。 由 得 、，于是 ，。 球心既在与平面 垂直且过 的直线上，又在内与平面 垂直且过 的直线上， 所以 。 于是 。 所以 ，选 C。 第 1 步　球心在两个平面上的射影都是外心 ◈ 球心到三角形三个顶点等距，它在该平面上的射影必是外心 —— 这是「两平面相交」这一类外接球题的地基。 第 2 步　两平面互相垂直时坐标最好写 ◈ 取交线作 轴、两个平面分别作 与 平面，球心坐标就是把两个外心的坐标拼在一起。 第 3 步　把外接圆半径的整体换成已知量 ◈ 用 、 替换 、，条件立刻从分散的两个半径变成它们的和。 答　C 例 1-4 【填空】四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 【解析】 取 、，即把 放在 轴上。 由 得 的横坐标为 0，设 ，由 得 ； 由 得 的横坐标为 3，设 ，由 得 。 由 得 ，即 。 把它展开，并用 ，得 。 记 、，则 ，。 设球心为 。由 得 。 由 得 ，整理得 ； 同理由 得 。 解得 ，， 所以 。 于是 ， 外接球的表面积为 。 第 1 步　两条垂直关系直接给出两个坐标 ◈ 以 为 轴后， 让 的横坐标为 0， 让 的横坐标为 3，未知量一下少两个。 第 2 步　把棱长的等式化成点积 ◈ 展开后只剩 ，也就是两个方向向量的点积为 8，方向之间的夹角随之锁定。 第 3 步　球心由三次等距定出 ◈ 给出横坐标， 与 给出的两个方程联立解出另外两个坐标，球心就唯一确定了。 答　 练习 1-1. 【多选】若正四面体的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 解析　答：ACD 设正四面体的棱长为 。它的四个面都是边长为 的等边三角形， 所以表面积 ，解得 ，A 正确。 正四面体的高 ，不等于 ，B 错误。 体积 ，C 正确。 外接球半径 ， 外接球的表面积 ，D 正确。 所以正确的结论是 A、C、D。 1-2. 【单选】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设正方形 的中心为 ，取 的中点为 。 因为侧面 是边长为 2 的等边三角形，所以 且 。 又侧面 底面 ，交线是 ，所以 底面 。 以 为原点、 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、， 、、、。 设球心 。由 得 ，即 ； 由 得 ，即 。 所以球心在 轴上，设 。 由 得 ，即 ， 解得 ，所以 。 所以四棱锥 的外接球表面积为 ，选 C。 1-3. 【单选】已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设圆柱的底面半径为 、高为 。轴截面是边长为 与 的矩形， 由周长为 24 得 ，即 ，其中 。 侧面积 ， 当 时 最大，此时 。 圆柱的上、下底面圆周都在球面上，所以球心是上下底面中心连线的中点， 球半径 满足 ，所以 。 该球的体积 ，选 C。 1-4. 【填空】正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 解析　答： 棱长为 的正四面体，其外接球半径 。 把正四面体补进棱长为 的正方体， 以正方体的中心为原点、三条棱所在方向为坐标轴，则它的四个顶点可取为 、、 、。 此时球心就是原点 ，且 。 、 两点的横坐标都是 ，所以棱 在平面 内； 、 两点的横坐标都是 ，所以棱 与平面 平行。 因此过棱 且与棱 平行的平面 就是平面 ， 球心 到 的距离 。 设截面圆半径为 ，则 ， 所以截面的面积为 。 1-5. 【填空】已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为_______. 解析　答： 外接球半径与棱长成正比，所以不妨取 来算比值。 因为三棱锥 为正四面体，所以 ； 底面 是菱形，所以 ， 与 都是边长为 1 的等边三角形。 在底面内取 、、， 由 得 。 的重心为 ，棱长为 1 的正四面体的高为 ， 所以 。 三棱锥 是棱长为 1 的正四面体，外接球半径 。 。 取 的中点 。在等边 与等边 中， 、，且 。 设 ，由 得 ， 所以 。 取 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、、。 由对称性设三棱锥 的外接球球心为 。 由 得 ；再由 得 。 所以 ，。 于是 。 1-6. 【填空】在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 解析　答： 是以 为斜边的等腰直角三角形，， 所以 ，。 于是 的外接圆以 为直径，外接圆半径 。 因为 平面 ，所以球心在平面 上的射影是 的中点， 球心到平面 的距离等于 。 球半径的平方 ，所以 。 外接球的体积 。 方法二　内切球与球的截面 这一节有两块内容。前半块是内切球：球与几何体的每个面都相切，只要求出半径；后半块是球的截面：平面截球所得是圆，要在球面上找出动点满足条件的那条曲线。两块用的工具不同，但都围绕「球心」这一个点。 ★ 内切球最稳的办法是等体积法 ，把多面体按各个面切成以球心为顶点的若干个小棱锥，体积之和等于原体积。它对任意多面体都成立，不需要什么特殊结构。 ★ 旋转体、台体的内切球要把问题降到轴截面上：矩形、等腰三角形、等腰梯形里作内切圆。有内切圆的四边形满足「对边之和相等」，这一条直接给出腰长与两底的关系。 ★ 正方体的三种球要分清：内切球半径 、棱切球半径 、外接球半径 ，三者之比是 。题目说「与所有面都相切」是内切球，「与所有棱都相切」是棱切球，一字之差结果不同。 ★ 球的截面只需记一个直角三角形：球心、截面圆圆心、截面圆上任一点。于是截面圆半径 ，其中 是球心到截面的距离。过球心的截面叫大圆，此时 、截面圆最大。 ★ 球面上的动点，条件通常化成一个三元一次方程，也就是一个平面，轨迹就是球面被这个平面截出的圆。求长度时还要看这条圆有多少落在几何体的表面或内部。 ★ 做完自查：等体积法里分母用的是全面积吗？截面圆半径是用减法还是加法？求轨迹长度时取的是整圆还是一段弧？ 例题 例 2-1 【填空】已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则 = ______； = ______． 【解析】 棱长为 6 的正四面体，其内切球半径 。 为了求 ，先写出球心到各个面的距离。取底面 的中心为原点、底面为 平面， 则 、、， 正四面体的高 ，所以 。 设平面 的法向量为 。 由 得 ，即 ； 由 得 ，即 。 取 ，得 ，。 平面 的方程为 ， 所以点 到平面 的距离为 ，到平面 的距离为 。 令两者相等得 ，解得 ，与 一致； 由对称性，球 、 的球心都在 轴上。 设球 的球心为 、半径为 ，且它与三个侧面相切， 所以 。 球 与球 外切，且在球 的上方，所以 。 把 的表达式代入得 ， 解得 ，所以 。 第 1 步　轴上的点，距离公式只有一维 ◈ 由对称性球心必在正四面体的轴（顶点与底面中心的连线）上，设成 后，到侧面的距离就只是 的一次式。 第 2 步　「到各面等距」的解就是内切球心 ◈ 令到侧面与到底面的距离相等，解出的 正是内切球心的位置，这一步同时也验算了 。 第 3 步　两个球心都在轴上，用外切列方程 ◈ 与 外切给出 ，与「 到侧面的距离等于 」联立即可解出两个未知量。 答　； 例 2-2 【填空】在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 【解析】 因为 、、，即三组对棱分别相等，所以可以把三棱锥 补成长方体： 取长方体共顶点的三条棱长为 、、，则它四个交替顶点构成的三棱锥， 六条棱正好是长方体的六个面对角线。 于是 、、 分别是 、、 的平方， 即 ，，。 三式相加得 ，即 。 于是 ，，，长方体的体对角线长为 。 该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，半径 ， 球的体积 。 再用等体积法求内切球半径。长方体的体积为 ， 切掉的四个角上的三棱锥体积都是 ，四个共 ， 所以三棱锥 的体积 。 它的四个面是全等的三角形，边长均为 、、， 每个面的面积为 ， 所以表面积 。内切球半径 ， 内切球的表面积为 。 第 1 步　对棱相等就补长方体 ◈ 三组对棱分别相等，说明四个顶点可以看成某个长方体的四个交替顶点，六条棱就是六个面对角线 —— 这是这一类题的通用开局。 第 2 步　外接球顺手就是长方体外接球 ◈ 补形之后球心是长方体的中心，半径等于体对角线的一半，不用再找球心。 第 3 步　内切球一律用等体积法 ◈ 对任何多面体都成立，这里 用「长方体减掉四个角」来算， 是四个全等三角形之和。 答　； 例 2-3 【单选】正四棱锥中，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时， = （ ） A. B. C. D. 【解析】 设正四棱锥的高为 。底面是边长为 的正方形，其外接圆半径为 。 外接球球心在高所在直线上，设半径为 ，则 ， 解得 。 设侧面上的斜高为 ，则 。 全面积 ， 体积 。 内切球半径 。 记 ，则 。 再记 （），则 ， 而 ，所以 。 对它求导得 ， 当 时导数为负，当 时导数为正， 所以 时 取最小值。 于是 ，，， 所以 ，选 D。 第 1 步　外接球与内切球各写一条公式 ◈ 外接球用 ，内切球用 ，两条都是这一节的常备工具。 第 2 步　换元把两个根式并成一个 ◈ 令 ，则 正好等于 ，比值化简成只含 的分式，求导一步到位。 第 3 步　先求最小值点再回代体积 ◈ 由 定出 ，反解 后方可代入体积公式。 答　D 例 2-4 【填空】已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【解析】 设正四棱台的上底面边长为 ，则下底面边长为 ，记球 的半径为 。 过球心作与一组对面都垂直的截面，截得一个等腰梯形：上底为 、下底为 ， 它的内切圆就是球的大圆在该截面上的截线，半径为 ； 梯形的高等于棱台的高 ，而球与上、下底面都相切，所以 。 由圆内切于梯形可得两腰之和等于两底之和，即每条腰长为 。 于是 ，， 球的半径 。 球的体积 。 棱台的体积 。 所以 。 第 1 步　台体的内切球降到轴截面看 ◈ 球与上、下底面及四个侧面都相切时，取与一组对面垂直的截面，问题就变成「圆内切于等腰梯形」，立体问题一次降维。 第 2 步　相切给出高与半径的二倍关系 ◈ 与上、下两个底面都相切，说明球心在两个底面中间，于是 ，这是求半径的关键一步。 第 3 步　圆内切于梯形给出腰长 ◈ 有内切圆的四边形满足「对边之和相等」，用量出的肩宽求出腰长，再用勾股定理得到高。 答　 练习 2-1. 【单选】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 设正方体的棱长为 。正方体的内切球半径为 ， 其体积 ，所以 。 由 得 。 正方体的外接球半径 ， 外接球的表面积为 ，选 B。 2-2. 【单选】已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 正方体的棱长为 2，所以内切球 的半径为 1，球的体积为 。 以正方体的中心 为公共顶点，以正方体的六个面为底面，可把正方体分成六个全等的四棱锥。 球心 到每个面的距离都等于 1，所以球被这六个四棱锥分成六个全等的部分， 每一部分的体积为 。 三棱锥 的底面 是底面正方形 被对角线 分出的一个三角形， 所以它就是四棱锥 被平面 分成的一半， 由对称性，球在 内的部分也是球在 内那一半的一半， 体积为 ，选 B。 2-3. 【填空】已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______. 解析　答： 以 为原点、三条棱的方向为坐标轴建立坐标系，棱长为 1，则 、、、、。 正方体的内切球球心是正方体的中心 ，半径 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，平面 的方程是 。 平面 说明直线 的方向向量与 垂直， 即 ，所以点 在平面 ： 上。 又 在内切球面上，所以 的轨迹是平面 与球 的交线（一个圆）。 球心 到平面 的距离 ， 轨迹圆的半径 。 设轨迹圆的圆心为 ，它是 在平面 上的射影， 。 ，而 ， 所以 的最小值为 。 2-4. 【填空】如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则 = ______． 解析　答： 设半球面碗的球心为 、半径为 ，把碗口所在水平面取为 。 三颗汤圆两两相切，所以它们的球心两两相距 ； 又由对称性三个球心在同一高度 上，构成边长为 的正三角形， 其外接圆半径 。 汤圆与碗的内壁相切，说明球心到点 的距离等于 ，于是 。 汤圆与碗口等高，说明每个汤圆的最高点恰好在 上，所以 。 代入得 ，即 。 所以 ， 即 。 2-5. 【填空】已知在底面边长为，高为的正三棱柱内有一个半径为的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为________. 解析　答： 小球能在正三棱柱内自由活动，说明球心到三棱柱每个面的距离都不小于 1。 所以球心的轨迹就是原三棱柱向内平移 1 之后得到的几何体， 它的表面正是小球恰好与某个面相切时球心的位置。 对底面的正三角形来说，「向内平移 1」就是把内切圆半径减去 1。 原底面边长为 ，内切圆半径为 ， 平移后内切圆半径为 ，对应的边长为 。 高度同样向内收缩：。 所以这个新的几何体是底面边长为 、高为 2 的正三棱柱， 体积 。 2-6. 【填空】已知点M为正三棱柱的外接球上动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______． 解析　答： 正三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形，其外接圆半径 。 外接球球心在两底面中心连线的中点，半径 。 以球心 为原点、棱柱的轴为 轴建立坐标系，则两底面分别在 与 上。 取 ，则 ， 。 设动点 。由 得 ， 即 ， 整理得 。 ， 其模为 。 所以点 的轨迹是球 被这个平面截得的圆，球心到该平面的距离 ，轨迹圆的半径 。 所以轨迹长度为 。 方法三　平面图形的折叠 折叠题只考一句话：哪些量变了、哪些量没变。折痕上的点不动，同一个半平面内的长度、角度、面积都不动，唯一会变的是「跨折痕」的那部分，而它往往正好由题目给出的二面角描述。 ★ 第一步永远是分清「哪一块不动」。不动的那一块留在原平面内，把它放在 平面上，几何体的大半就定住了；动的那一块绕折痕转，用一个角 就能把动点写出来。 ★ 折痕常常是某条线段的垂直平分线。判定方法是看原图上有没有两个点到折痕两端等距 —— 如果有，过这两点的直线就是折痕的垂直平分线，折叠后依然有「折痕垂直于这条连线」，这是证明垂直关系的现成材料。 ★ 「同半平面内长度不变」用起来最直接：折前某点到折痕上各点的距离，折后一模一样。所以动点到折痕的距离、折痕两侧的边长都可以照抄，不必重新算。 ★ 题目给出的二面角，就是「折痕两侧各一条垂直于折痕的线段所成的角」。把这两条垂线段找出来，用它们的夹角当参数，坐标一步就能写出。 ★ 折叠后的第一问多半是证垂直或平行，思路与不折叠时完全一样，只是把依据换成折叠后仍然成立的等量关系。这一问证出来了，第二问的坐标系才有依据。 ★ 做完自查：用到的长度是折痕同侧的还是跨折痕的？动点是不是应该落在某个圆（球）上？三条坐标轴两两垂直有没有先证过？ 例题 例 3-1 【解答】如图，在边长为2的正三角形中，，分别为，的中点，将沿翻折至，使得. （1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 在正三角形 中 、 分别是 、 的中点， 所以 且 ， 是边长为 1 的正三角形。 翻折后四边形 是等腰梯形：，，， 其高为 。 取 为原点， 的方向为 轴方向，梯形 所在平面为 平面，则 、、、。 （1）因为 ，所以点 在 的垂直平分面上，设 。 由 得 ； 由 得 ， 所以 ，代回得 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ， 取 ，得 、，即 。 因为 与平面 的法向量 垂直，所以平面 平面 。 （2）不妨取 ，则 ， 。 平面 内 ，， 设它的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，即 ， 取 ，得 ，。 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 第 1 步　先认清「不动的那一块」 ◈ 、 是中点，四边形 是等腰梯形，翻折时它完全不动，把它放在 平面上，坐标系就定了一半。 第 2 步　动点的坐标由两条约束定死 ◈ 给出 在 的垂直平分面上， 再给出一个方程，两个未知量刚好解完。 第 3 步　面面垂直只看两法向量是否垂直 ◈ 要证平面 平面 ，只需算出平面 的法向量第三个分量为 0，它垂直于底面的法向量。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-2 【解答】如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：；（2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 在梯形 中 ，，， 是 的中点， 所以 ， 且 ，四边形 是平行四边形； 又 ，所以 是边长为 2 的菱形，。 在 中 、、，所以 是等边三角形。 （1）在原平面内， 且 ，所以点 、 都在线段 的垂直平分线上， 即直线 是 的垂直平分线。记 与 的交点为 ，则 是 的中点，且 。 翻折时 、、 都不动，而 到 的翻折保持到 上各点的距离不变， 所以 ，。 于是点 、 到 、 的距离分别相等，、 都在线段 的垂直平分面上， 所以 。 （2）取 为原点， 的方向为 轴方向，平面 为 平面， 由 得 、。 是边长为 2 的等边三角形，取 ； 由 、 且 在平面 内得 。 因为 ，翻折后 ，且 就是二面角 的平面角， 所以 ，。 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，代入得 ， 取 ，得 ，。 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 第 1 步　先看折痕是不是中垂线 ◈ 与 说明 、 都在 的垂直平分线上，于是 垂直平分 —— 这一条把翻折后的等长关系全部打通， 随之成立。 第 2 步　翻折不改变到折痕的距离 ◈ 绕 转到 ，到 上任意一点的距离都不变，所以 。 第 3 步　二面角的平面角就是两条垂线段的夹角 ◈ 、，所以 就是二面角 的平面角，取 后 的坐标即可写出。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-3 【解答】如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点． （1）证明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 【解析】 正三角形 的边长为 4，、 分别为 、 的中点， 所以 ，， 且 。 翻折后得到的四棱锥 中，底面 是等腰梯形： ，，，其高为 。 取底面 所在平面为 平面，、， 则 、。 （1）因为平面 平面 ，交线是 ， 而 是边长为 2 的等边三角形， 到直线 的距离为 ， 所以这个距离就是 到底面的距离，取 。 是 的中点，所以 ， 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，取 ， 得 。 因为 ，而点 不在平面 内， 所以 平面 。 （2），。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，取 ， 得 ，。 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 第 1 步　面面垂直直接把顶点「抬」起来 ◈ 平面 底面且交线为 ，所以 到 的距离就是它到底面的距离， 的坐标一步写出。 第 2 步　证明线面平行只需一次点积 ◈ 把 与平面 的法向量作点积，结果为 0 就说明方向平行，再补一句「 不在平面内」。 第 3 步　中点坐标取两端平均 ◈ 是 的中点，坐标由两端相加除以 2 得到，不必另设未知数。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-4 【解答】在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）设，（ⅰ）证明：平面；（ⅱ）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【解析】 由 知 是等边三角形， 边上的高为 。 取 为原点、 的方向为 轴方向、翻折前 所在平面为 平面， 则 、、，翻折前 。 翻折后设 ，其中 是二面角 的平面角。 （1）（ⅰ）由 得 ， 展开得 ，所以 ，即 。 此时 、、 的纵坐标都是 0，平面 就是平面 ， 而直线 在 轴上，所以 平面 。 （ⅱ）平面 就是平面 ，点 到它的距离为 ； 中 ，面积为 ， 所以 。 （2）仍设 ， ，。 直线 与平面 所成角的正弦值等于 。 记 ，正弦值的平方为 。 设 ，求导得 ， 令分子为 0 得 ，解得 （ 舍去）。 此时 ， 所以正弦值的平方的最大值为 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 。 第 1 步　把动点参数化成一个角 ◈ 翻折时只有二面角在变，用一个角 写出 的坐标，整个动点问题就变成一元函数问题。 第 2 步　等长条件反解出这个角 ◈ 化成的方程里 的一次项系数正好把平方项消掉，直接读出 。 第 3 步　线面角的最大值交给求导 ◈ 正弦值写成 的函数后求导，两根中只有一个落在 内，它就是最大值点。 答　(1) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）；(2) 练习 3-1. 【解答】如图，矩形中，，将沿直线翻折成. （1）若为线段上一点，且满足，求证：直线平面；（2）当平面平面时，求点到平面的距离. 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 矩形 中 ，，，所以 ，。 在 中 ，，所以 。 （1）取 上一点 ，使 。 由 得 ，所以在 中， ，于是 且 。 又 且 ，所以 且 ，四边形 是平行四边形， 。因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）取 为原点，、 的方向为 、 轴方向，平面 为 平面， 则 、、、。 中 到直线 的距离为 。 因为平面 平面 ，交线是 ，所以 到平面 的距离就是 。 在直线 上的射影是 的中点 （ 是直角三角形）， 所以 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，即 ， 取 ，得 ，。 平面 过 ，其方程为 ， 所以点 到它的距离为 。 3-2. 【解答】如图，在直角梯形中，，，．将沿折起，使，连接，得到三棱锥． （1）求证：平面；（2）点是的中点，连接、，若，（i）求二面角的正切值；（ii）求三棱锥的外接球体积． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （ⅰ），（ⅱ） 直角梯形 中 ，，所以 。 取 、、， 设 （）。 由 得 ， 所以 ，即 、 都固定不动。 （1）翻折时 、、 不动，设 转到点 （因为 到直线 的垂足是 ）。 由 得 ，即 。 ，， ， 由 得 ； 由 得 。 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 。 （2） 是 的中点，。 （ⅰ）平面 内 、， 设其法向量为 ，由两式相减得 ，取 得 。 平面 内 同上、， 设其法向量为 ，由 得 ， 再由 得 ，取 ，得 。 ，，， 所以两平面夹角的余弦值为 ， 正切值为 。 （ⅱ）设球心 。由 得 ，由 得 ， 即 。由 得 ，解得 ，所以 ，即 为球心。 球半径 ，所以外接球的体积为 。 3-3. 【填空】在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 解析　答： 矩形 中 ，， 是 的中点，所以 ，。 取 、、、， 则 ， 是 的中点，。 因为 是直角三角形， 是斜边，所以 是它的外心， 。 翻折时 绕直线 转动，所以 始终在以 为球心、 为半径的圆上， 该圆所在的平面与 垂直，可设 。 因为 、、 都不动，平面 就是平面 ， 直线 与它成 角，，所以 到平面 的距离为 ，即 ，。 设球心 。由 得 ，由 得 ， 所以 。 由 得 ， 其中 、。 把 代入并化简得 ，即 。 由 得 ，四种取值组合下都有 ， 所以 。 所以三棱锥 外接球的表面积为 。 3-4. 【解答】如图，菱形ABCD的对角线交于点，且为CD的中点，平面CBD，且．现沿BD将翻折至的位置，使得平面平面CBD，且点和在平面CBD的同侧． （1）证明：平面BCE；（2）求直线EF和平面所成角的正弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 菱形 中 ，， 是两条对角线的交点， 所以 ，，且 。 翻折中 、、、 都不动。取 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、、。 （1）因为平面 平面 ，交线 是 轴，所以平面 就是平面 ， 设 。由 得 。 又 平面 、，且 与 在平面 的同侧，所以 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 与 相减得 ， 取 、，得 。 ，因为 ，且点 不在平面 内， 所以 平面 。 （2） 是 的中点，， ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，取 ， 得 ，。 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 3-5. 【解答】如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． （1）证明：平面；（2）若二面角的余弦值为．①求的长；②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) ① ，② 证明见解析 菱形 中 ，，所以 是等边三角形，； 两条对角线互相垂直平分，。 （1）设 与 交于点 ，则 。 翻折时 绕直线 转到 ，到 上各点的距离不变， 所以 且 。 又 ， 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 。 （2）① 由（1）知 就是二面角 的平面角，所以 。 又 ， 所以 ，。 ② 取 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、 竖直方向为 轴方向建系，则 、、 、。 由 、 得 ， 所以 在平面 上的射影为 。 直线 上的点可写成 ，直线 上的点可写成 ，联立解得 、， 所以 。 是 的中点，， 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，取 ， 得 。 因为 ， 且点 不在平面 内，所以 平面 。 3-6. 【解答】如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． （1）证明：平面平面；（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 因为 、， 为 的中点，所以 、。 （1） 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 。 又 平面 ，所以平面 平面 。 （2）由 、 得 、，所以 ， 中 边上的高 。 取 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、 竖直方向为 轴方向建系。因为 平面 ，所以 、 都在平面 内。 取 ，设 。 由 得 ， 由 得 ，两式相减得 ， 于是 ，取 ，即 。 又 、。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 ， 所以两平面夹角的余弦值为 ， 正弦值为 。 方法四　动点轨迹与最值 这一节的题目样子最杂，但落点只有三种：轨迹是一个圆（或弧），目标量能写成一个参数的函数，或者轨迹是一块平面图形要算面积。先判断属于哪一种，再选工具，比一上来就设坐标快得多。 ★ 判断轨迹是圆的两个标志：条件化成方程后是二元二次式且能配方成 ；或者动点在球面上、条件化成三元一次方程。前者在平面内是圆，后者在球面上是圆。 ★ 轨迹是圆时，求「到定点距离」的最值有固定答案：最小值是圆心到定点的距离减去半径，最大值是这个距离加上半径。用之前先确认定点在圆外，否则最小值要写成零。 ★ 两条线段上各取一点求最小距离，把两个动点各设一个参数，距离的平方是二元二次式，依次对两个变量配方即可。配方时先固定一个看着另一个，最后剩下的通常是一个完全平方加常数。 ★ 体积的最值要先看「什么固定、什么在动」。底面固定就让高最大，高固定就让底面面积最大；两者都动时把体积写成一个参数的函数再求导。判断「高最大」经常用到动点落在圆或球上这一条。 ★ 轨迹围成的面积，做法是「按竖直界切开再分别算」。圆弧那一块是扇形或四分之一圆，直线那一块是三角形或直角梯形，两块相加即可，不要硬套积分。 ★ 多个动点同时出现时，先找不动的量。往往有一个动点到某条定直线或某个定平面的距离始终不变，把它当成已知数先固定下来，剩下的就只是一元函数。 ★ 做完自查：参数的取值范围写全了吗（线段、圆、弧都有端点）？取最值的点真的落在允许范围内吗？如果题目还要问此时某个线段的长，算出来了吗？ 例题 例 4-1 【填空】已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为___________，此时 = ___________. 【解析】 以 为原点，、、 的方向为三条坐标轴，棱长为 4，则 、、、。 设 在线段 上，， 由 得 ，其中 。 设 在线段 上，， 由 得 ，其中 。 ， 所以 。 记 。先把 看成变量， ，当 时取最小值 。 再对 配方：。 所以 、 时 最小，最小值为 。 于是 ，。 又 ， 所以此时 。 第 1 步　两条线段各设一个参数 ◈ 、 分别在两条线段上，各用一个参数 、 表示坐标， 就写成了二元函数。 第 2 步　先对一个变量配方，再对另一个配方 ◈ 把 看成 的二次函数定出 ，剩下的式子再对 配方，两步都是初中方法。 第 3 步　最小值点回代求长度 ◈ 求出 后， 就是 的 ，直接用线段长的比例算。 答　； 例 4-2 【单选】已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 取 的中点为原点、 的方向为 轴方向、平面 内竖直向上为 轴方向、 底面内垂直于 的方向为 轴方向，则 、。 底面正三角形的高为 ，所以 ，。 点 在平面 上，所以设 。 ，， 由 得 ， 整理得 。 所以 的轨迹是平面 内以 为圆心、 为半径的圆。 ， 所以 的最小值为 ，选 D。 第 1 步　把动点限制在一个面内 ◈ 在侧面 上，就设成 ，一个面把三个坐标压到两个。 第 2 步　垂直条件化成一个圆的方程 ◈ 写成点积为零后配方，得到 ，轨迹是圆。 第 3 步　圆上的点到定点的最值 ◈ 最小值等于「圆心到该点的距离减半径」，这是圆上动点最值的固定套路。 答　D 例 4-3 【填空】在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为__________． 【解析】 设 的面积为 ，则 。 因为 且 ，所以点 在以 为直径的圆上， 该圆半径为 2， 面积的最大值为 ， 此时 （等腰直角三角形）。 取 、、，则平面 为 ，。 侧面 就是平面 。设 在 内， 则 、、。 由 得 ，即 。 所以 的轨迹是平面 内以 的中点 为圆心、2 为半径的圆。 它在 内的部分是满足 的圆弧，与 交于 ，与 交于 。 所求区域由这段圆弧、线段 上的 部分、线段 围成。 把它按 与 分成两块： 前者由圆弧 与 围成，正好是半径为 2 的四分之一圆，面积为 ； 后者由直线 与 围成，是两条直角边都为 2 的直角三角形，面积为 2。 所以所求面积为 。 第 1 步　先让体积最大定住 ◈ 固定时 说明 在以 为直径的圆上，高最大为半径 2，体积最大时 。 第 2 步　轨迹圆落在侧面内 ◈ 化成 ，圆心恰好是 的中点，圆过 、 两点。 第 3 步　面积拆成扇形与三角形 ◈ 所求区域按 切开，左边是四分之一圆，右边是直角三角形，分别算面积再相加。 答　 例 4-4 【填空】三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为___________． 【解析】 由 、 得 。 取 为原点、 的方向为 轴方向、底面 为 平面， 则 、。 由 知 在线段 的垂直平分面上，设 。 三棱锥的体积 ，所以只要让 最大。 由 得 ， 即 ，所以 ， 的最大值为 。 于是 。 第 1 步　底面面积先算出来 ◈ 已知两边夹角，面积直接用 ，底面是定值，体积只随高变化。 第 2 步　等距条件把动点压到一个面上 ◈ 说明 在 的垂直平分面上，横坐标定为 1，剩下两个坐标由 约束在一个圆上。 第 3 步　高最大即体积最大 ◈ 直接给出 ，不必再设参数。 答　 练习 4-1. 【单选】已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 正方形 绕边 所在直线旋转一周，得到底面半径为 1、高为 1 的圆柱。 取圆柱的轴为 轴，、，则旋转前 、。 设 在上底面圆周上、 在下底面圆周上， 则 。 三棱锥 以 为底、 为顶点。 中 ，点 到直线 的距离为 1，所以面积 。 、、 的纵坐标都是 0，平面 就是平面 ， 点 到它的距离为 。 所以 ， 当 时取到最大值 ，选 B。 4-2. 【多选】已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B. 平面平面 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若点在上，则的最小值为 解析　答：BC 以 为原点、三条棱的方向为坐标轴，棱长为 2，则 、、、、 ， 是 的中点，， 是 的中点，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由两个点积为零得 、，取 ，得 ， 平面方程为 。 A：该平面经过 、、、 四点，所以截面是四边形 。 四边长为 ，是菱形； 但 ，不是正方形，A 错误。 B：平面 过 、、，方程为 ，法向量为 。 因为 ，所以平面 平面 ，B 正确。 C：点 在侧面 上，设 （，）。 由 得 ，即 ， 轨迹是半径 1 的四分之一圆，长度为 ，C 正确。 D：设 （），。 其最小值在 处取得，最小值的平方为 ； 若它等于 17，则需 ，平方得 ，矛盾， 所以 的最小值不是 ，D 错误。 综上，选项 B、C 正确。 4-3. 【单选】已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 圆台的轴截面是梯形：下底为 ，上底为 ，高为 ， 腰长为 。 圆台内的球在轴截面上就是一个内切于该梯形的圆。设球心在轴上、到底面的距离为 ，则球半径就是 。 两条腰所在直线交于圆锥的顶点。取底面中心为原点， 腰所在直线过点 与 ，方程为 。 点 到该直线的距离为 。 令它等于 得 。 此时球的最高点为 ，小于 ，没有超出上底面，符合要求。 所以球表面积的最大值为 ，选 B。 4-4. 【填空】在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 解析　答： 设正方体的棱长为 2，以它的中心为原点、三条棱的方向为坐标轴。 第 1 个球与六个面都相切，球心在正方体的中心，半径 。 第 2 个球与过顶点 的三个面都相切，所以球心在直线 处体对角线上，可设为 。 两球外切，且第 2 个球在中心与 之间，所以 ， 解得 。 同理第 个球的球心为 ，与第 个球外切， ，所以 。 于是 是首项为 1、公比为 的等比数列，。 。 由 得 ， 因为 ，所以 随 增大而增大，且 。 ， 且当 时 无限接近该值，所以 的最小值为 。 4-5. 【填空】已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 解析　答： 把棱长为 的正四面体补进棱长为 2 的正方体， 以正方体的中心为原点、三条棱所在方向为坐标轴，四个顶点可取为 、、、。 设 。由 得 。 因为 ，所以 。 ，， 所以 ，即 ，动点 的轨迹是平面 。 平面 与正四面体的棱交于 的中点 、 的中点 、 的中点 、 的中点 。 这四点构成一个边长为 的正方形， 所以所得截面的面积为 。 4-6. 【多选】已知正四棱锥，为棱上的动点．则（ ） A. 平面平面 B. 存在使得为直角三角形 C. 当为中点时，平面 D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 解析　答：ACD 设正四棱锥的底面中心为 ，则 底面 。 A：底面是正方形，所以 ；又 底面，所以 。 于是 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，A 正确。 B：，。若 为直角三角形，只能是 ， 于是 ，。但正四棱锥的侧棱必须大于底面外接圆半径 ， 时棱锥的高为 0，B 错误。 C： 为 的中点时，在 中 、 分别是 、 的中点， 所以 。又 平面 ，所以 平面 ，C 正确。 D： 时四条侧棱也都等于 2，与四条底棱等长。 取底面中心为原点、底面为 平面，则 、， 设球心为 。 它到棱 的距离为 ；， ，， 所以到棱 的距离的平方为 。 令 得 ，此时球半径 ，表面积为 ，D 正确。 所以正确的选项是 A、C、D。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何的方法体系（三） 球与动态问题 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　几何体的外接球 如果一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该多面体的外接球，球心到这个多面体每个顶点的距离都相等，这个公共距离就是球的半径。所以找外接球的第一步永远是「找球心」，也就是找与各顶点等距的那个点。 球心一定在某个面的外接圆的垂线上。因为球心到该面三个顶点的距离相等，它在该面上的射影必然是这三个点外接圆的圆心；而到圆心等距的点，都在这条过圆心且垂直于该平面的直线上。两个不平行的面各给一条这样的直线，交点就是球心。 最基本的一条关系式是 ： 是某个面外接圆的半径， 是球心到这个面的距离。用的时候要先把 算出来，再想办法求出 ，这两步各自都不难，合起来就能定出半径。 长方体与正方体的外接球最省事：球心就是体对角线的中点，半径等于体对角线的一半。棱长为 的正方体，体对角线为 ，所以外接球半径 ，这一条几乎每年都要用。 侧棱垂直于底面的棱锥，可以补形成直棱柱，两者外接球相同。这时球心到底面的距离恰好是侧棱长的一半，于是 ，其中 是垂直于底面的那条侧棱的长。 正棱柱的外接球球心在上下底面中心的连线中点处，半径 。这里 是底面正多边形的外接圆半径，三角形的要算到中心到顶点的距离，不要错用中心到边的距离。 正棱锥的外接球球心在高所在的直线上。设底面外接圆半径为 、高为 ，球心在轴上距底面中心 处，由 解出 即可，要注意球心可能落在底面下方。 正四面体是特殊的一类，直接记住结论更省事：棱长为 时外接球半径 ，内切球半径 ，两者之比恒为 。这是因为正四面体的中心把高分成 两段。 两个平面互相垂直时有一个好用的公式。设球心在这两个平面上的射影分别是两个三角形的外心，两个外接圆半径分别为 、，两个三角形的公共边长为 ，则 。 对棱相等的四面体（三组对棱分别相等）可以补成长方体，它的六条棱正好是长方体六个面的对角线，外接球就是长方体的外接球。设长方体三条棱为 、、，由三组对棱长解出 、、 即可。 圆柱、圆锥、圆台的外接球球心都在它们的轴上。圆柱的球心是轴的中点；圆台的球心在轴上但要靠两个底面圆周上的点来确定；圆锥的球心由「母线长、底面半径、高」这三者与半径的关系确定。 常见失误有三个：把球心当成了某个面的中心；求 时把 写成了 ；两平面垂直的模型中把公共弦长当成了半径。算完之后可以用「球心到每个顶点的距离是否相等」自查。 例如求棱长为 2 的正方体的外接球表面积：体对角线为 ，半径 ，表面积 。再如侧棱垂直底面且长为 2 的三棱锥，若底面外接圆半径为 1，则 ，表面积是 。 知识点二　内切球与球的截面 与多面体的每一个面都相切的球叫做这个多面体的内切球。切点到球心的连线垂直于该面，所以球心到每个面的距离都等于球的半径，球心一般落在几何体的对称轴或对称中心上。 求内切球半径有一条通用公式：，其中 是多面体的体积、 是全面积。道理是把多面体按各个面切成若干个以球心为顶点的小棱锥，它们的体积之和等于原体积。这条公式对任意多面体都成立，是最稳的一条路。 正四面体的内切球半径 ，与它的高 之间的关系是 。记住这一条，凡是碰到正四面体里装球或串球的题，都可以只算高再除以 4。 正方体有三种「球」值得分清：内切球与六个面相切，半径 ；棱切球与十二条棱相切，半径 ；外接球过八个顶点，半径 。三个半径之比为 ，记住这个比就不会张冠李戴。 圆柱、圆锥、圆台以及台体的内切球，都要降到轴截面上看。轴截面是矩形、等腰三角形或等腰梯形，球的大圆在截面上就是一个与它们相切的圆，立体问题因此变成平面几何问题。 圆内切于四边形时有一条好用的性质：四边形的两组对边之和相等。在等腰梯形里，这一条直接给出「两腰之和等于两底之和」，腰长和高的关系便随之确定，是求圆台、棱台内切球半径的关键一步。 球与几何体的两个底面都相切时，球心一定在两个底面中间，于是几何体的高等于直径。反过来，如果知道高与球的半径之二倍相等，就能判断球是否同时与上下底面相切。判断球是否「装得下」时，还要检查它与侧面是否相切。 平面截球所得的图形是圆。设球半径为 、球心到截面的距离为 ，则截面圆半径 。球心、截面圆圆心与截面圆上任意一点构成直角三角形，这是所有与球的截面有关计算的骨架。 过球心的截面所得的交线叫做大圆，大圆的半径等于球的半径，这时 ，截面圆最大。反过来，题目说「某几个点在同一个大圆上」，其实就是在说「这几点所在的那个平面过球心」。 球面上的动点问题，通常先把动点满足的条件化成一个方程。如果这个方程是三元一次方程，它就是一个平面，动点轨迹就是平面与球面的交线，也就是一个圆，再用 求它的半径。 求轨迹长度时要注意取哪一段。轨迹圆往往只有一部分落在几何体的表面或内部，这时要按交线或侧面把圆截开，取相应的弧长，不能一律按整圆周长算。画一张截面草图能有效避免这一处失误。 「球与所有棱都相切」是另一种情形，球心到每条棱的距离都等于半径。求点到直线的距离时，用「向量在方向上的投影」来算最省事，即先算出向量与方向向量的夹角，再用斜边乘夹角的正弦。 常见失误有三个：用 时把 当成了底面积而不是全面积；求截面圆半径时把 写成了 ；轨迹求了整圆而题目只要一段弧。 例如正方体的棱长为 2，则它的内切球半径为 1、体积为 ；外接球半径为 、表面积为 。又如球半径为 2、球心到某截面距离为 1 时，截面圆的半径为 ，面积为 。 知识点三　平面图形的折叠 折叠是把平面图形的一部分沿一条直线翻折到空间中，这条直线叫做折痕。翻折之后图形分成两块：不动的那一块仍然在原平面内，动的那一块绕折痕转到新的位置，两部分拼成一个空间几何体。 折叠有两条不变量。第一，折痕上的点位置不变；第二，位于同一个半平面内的线段长度、角度和图形面积都不变。只有跨越折痕的量（比如两个半平面之间的夹角）才会改变。 很多时候折痕是某条线段的垂直平分线，这时有更好用的结论：原图中到折痕两端距离相等的点，翻折后得到的新点到这两端的距离仍然相等。由此可以推出「折痕垂直于某条连线」，是证明垂直关系的常用依据。 判断折痕是不是垂直平分线，要看原图上到折痕两端等距的点有几个。如果能找到两个这样的点，那么过这两点的直线就是折痕的垂直平分线，折叠后这条直线与折痕垂直的结论依然成立。 折叠题的通法是：把不动的那一块放在 平面上，动点用「折痕上的垂足」加上「绕折痕转过的角度」来表示。这样动点的坐标就只含一个参数，问题随即降成一元问题。 折痕两侧各有一条与折痕垂直的线段时，这两条线段所成的角就是二面角的平面角。题目给出二面角的大小，相当于给出了这两条线段的关系，用一个角 写坐标是最直接的翻译方式。 折叠后要证明线面垂直、面面垂直，思路与不折叠时完全一样：仍然先找两条相交直线，再说明它们都垂直于目标直线。只不过程序里用到的等长关系要换成折叠后的那一条。 折叠会破坏一些原来的共线、共面关系，但没有被破坏的要大胆使用。不动的那一块里的平行、垂直、长度、角度全都保留，把它们先标在图上，往往一眼就能看出该证哪两条线垂直。 求折叠后的体积、距离、线面角与二面角，一般都要建系。建系之前必须先说明三条坐标轴两两垂直，这一步在解答题里不能省，而且往往就是题目第一问要证的那个结论。 折叠中的最值问题，通常用「转过的角度」作参数。把目标量写成这个角的函数，再求导或配方定出最值，最后要交代参数的取值范围，不能把不可能的角度也算进去。 还有一类折叠是把某个顶点沿直线翻折到另一个位置，由于翻折前后该点到折痕上各点的距离都不变，它到折痕的距离在翻折前后是同一个数，这正是求高的突破口。 常见失误有三个：把跨折痕的线段长当成不变；忘记了动点所在的圆（球）的圆心和半径；建系前没有先证三条轴两两垂直，导致后面的坐标全是错的。 例如把边长为 2 的等边三角形沿中位线折起：中位线长 1，折后得到的是一个上底为 1、下底为 2、腰为 1 的等腰梯形与一个小三角形拼成的几何体，梯形的面积与各边长都能由「同半平面内长度不变」直接读出。 知识点四　动点轨迹与最值 动点问题有一套固定流程：先用参数写出动点的坐标，再把题目给的约束条件翻译成方程，最后求目标量的最大值或最小值。难的不是流程，而是判断该设几个参数、哪个量最值得当参数。 常见的轨迹只有三类。第一类，动点在一条线段上，用一个参数就能表示；第二类，动点在一个平面内，约束化成一个二元二次方程，轨迹是圆或圆弧；第三类，动点在球面上，约束化成一个平面，轨迹是球面被截出的圆。 轨迹是圆时，求「动点到某个定点的距离」的最值有固定答案：最小值等于圆心到该定点的距离减去半径，最大值等于这个距离加上半径。用的时候要先确认定点在圆外，否则最值中会出现零。 空间里两条线段上各取一点、求它们距离的最小值，把两个动点各用一个参数表示，距离的平方就是一个二元二次式，依次对两个变量配方即可，不必求偏导数。 两条异面直线的距离，是分别取在两直线上两点的距离的最小值，也可以理解成「过其中一条直线的平面与另一条直线平行时，它们之间的距离」。题目通常只需要用到估值：先证某条线段同时垂直于两条直线。 体积的最值往往可以拆成两部分。底面固定时让高最大，高固定时让底面面积最大；两者都在变时，把体积写成一个参数的函数再求导。判断高最大在哪，常常用「动点在一个圆（球）上」这一条。 线面角与二面角的最值，一般也用参数表示再求导。写表达式时优先选那种能让分子分母同时化简单的参数，例如把 换成半角的形式。 动点轨迹围成的面积，做法是「先认清边界再拆」。边界通常是圆弧加线段，把区域按竖直的界切开，一半是扇形或四分之一圆，另一半是三角形或直角梯形，分别算面积再相加。 与球有关的动点问题，第一步是把动点满足的条件化成方程。若得到的是三元一次方程，说明轨迹在一个平面上，它与球面的交线是圆，半径用 求。 出现多个动点时，先找出其中不动的量。例如某个动点虽然位置在变，但它到某条定直线的距离始终不变，于是求最值时可以先把这个量固定下来，问题立刻就简单了。 与球有关的一类最值题还要注意：球可能只与部分棱相切。要求「与所有棱都相切」的球，需让球心到每条棱的距离都相等，这时先由对称性把球心定在轴上，再让两种距离相等列出方程。 求最值时务必交代取等条件。很多题目最后要回答的不是最值本身，而是「取到最值时某个线段有多长」，所以参数的具体取值必须算出来并说明它在允许范围内。 常见失误有三个：参数取值范围漏掉了边界；把轨迹圆整圈都算进去而实际上只取了一段弧；求出最值后没有回代验证取等条件是否真的能满足。 例如正三棱柱底面边长为 4、侧棱长为 2，点 在侧面内且与两个顶点的连线互相垂直，把条件化成圆 后，求 到定点的最小值时，答案就是「圆心到此定点的距离 减去半径 」。 二、方法突破 方法一　外接球 这一节只做一件事：把一个多面体的外接球半径算出来。球心到底面的距离加上底面外接圆半径，用勾股定理合成球半径 —— 所有模型都是这一个式子的变形，差别只在「球心到该面的距离」好不好求。 ★ 找球心只有两条线索。一条是「到某个面的三顶点等距」，说明球心在该面外接圆圆心的垂线上；另一条是「到某一对顶点等距」，说明球心在这对点连线的垂直平分面上。两条线索各给一个几何位置，交出来就是球心。 ★ 几个必须条件反射的模型：长方体与正方体的球心是体对角线中点；侧棱垂直底面的棱锥补成直棱柱，球心到底面的距离恰好是侧棱的一半；正棱柱与正棱锥的球心都在轴上，用 与 联立。 ★ 正四面体直接背结论更省时间：棱长 时外接球半径 ，内切球半径 ，两者之比恒为 。把正四面体补进棱长为 的正方体是它的第二套解法。 ★ 两个平面互相垂直时，球心在两个面上的射影分别是两个三角形的外心，于是 ，其中 是两个三角形的公共边长。看到「平面 平面 」加「各顶点在同一球面上」，直接套这条。 ★ 对棱相等的四面体一律补成长方体。三组对棱长正好是长方体六个面的对角线长，解出三条棱的平方和再开方，就是体对角线。 ★ 做完自查：球心位置合理吗（可能在底面下方）？侧棱垂直底面时用的是 还是 ？最后可以用「球心到各顶点距离是否相等」验一遍。 例题 例 1-1 【单选】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先把底面三角形的形状判清楚 ◈ 用余弦定理算出 ，再回代验证 ，得到直角，外接圆半径才好定。 第 2 步　侧棱垂直底面时球心在正中 ◈ 球心在底面的射影就是底面外心，球心到该平面的距离恰好是侧棱的一半 —— 这正是「补形为直棱柱」的坐标解释。 第 3 步　半径用勾股合成 ◈ 球半径的平方等于底面外接圆半径的平方，加上球心到该平面距离的平方。 答　C 例 1-2 【单选】如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　「同一个大圆」说明底面过球心 ◈ 大圆就是过球心的平面截球所得的圆，所以底面的外接圆是球的大圆，球心落在底面内。 第 2 步　顶点在球面上给出高等于半径 ◈ 正四棱锥的高就是底面中心到顶点的距离，顶点在球面上时它恰好等于球的半径。 第 3 步　两条关系代入体积公式 ◈ 把 与 一起代进体积公式，方程里就只剩 一个未知量。 答　D 例 1-3 【单选】已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 3 【解析】 第 1 步　球心在两个平面上的射影都是外心 ◈ 球心到三角形三个顶点等距，它在该平面上的射影必是外心 —— 这是「两平面相交」这一类外接球题的地基。 第 2 步　两平面互相垂直时坐标最好写 ◈ 取交线作 轴、两个平面分别作 与 平面，球心坐标就是把两个外心的坐标拼在一起。 第 3 步　把外接圆半径的整体换成已知量 ◈ 用 、 替换 、，条件立刻从分散的两个半径变成它们的和。 答　C 例 1-4 【填空】四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 【解析】 第 1 步　两条垂直关系直接给出两个坐标 ◈ 以 为 轴后， 让 的横坐标为 0， 让 的横坐标为 3，未知量一下少两个。 第 2 步　把棱长的等式化成点积 ◈ 展开后只剩 ，也就是两个方向向量的点积为 8，方向之间的夹角随之锁定。 第 3 步　球心由三次等距定出 ◈ 给出横坐标， 与 给出的两个方程联立解出另外两个坐标，球心就唯一确定了。 答　 练习 1-1. 【多选】若正四面体的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 1-2. 【单选】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 1-3. 【单选】已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 1-4. 【填空】正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 1-5. 【填空】已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为_______. 1-6. 【填空】在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 方法二　内切球与球的截面 这一节有两块内容。前半块是内切球：球与几何体的每个面都相切，只要求出半径；后半块是球的截面：平面截球所得是圆，要在球面上找出动点满足条件的那条曲线。两块用的工具不同，但都围绕「球心」这一个点。 ★ 内切球最稳的办法是等体积法 ，把多面体按各个面切成以球心为顶点的若干个小棱锥，体积之和等于原体积。它对任意多面体都成立，不需要什么特殊结构。 ★ 旋转体、台体的内切球要把问题降到轴截面上：矩形、等腰三角形、等腰梯形里作内切圆。有内切圆的四边形满足「对边之和相等」，这一条直接给出腰长与两底的关系。 ★ 正方体的三种球要分清：内切球半径 、棱切球半径 、外接球半径 ，三者之比是 。题目说「与所有面都相切」是内切球，「与所有棱都相切」是棱切球，一字之差结果不同。 ★ 球的截面只需记一个直角三角形：球心、截面圆圆心、截面圆上任一点。于是截面圆半径 ，其中 是球心到截面的距离。过球心的截面叫大圆，此时 、截面圆最大。 ★ 球面上的动点，条件通常化成一个三元一次方程，也就是一个平面，轨迹就是球面被这个平面截出的圆。求长度时还要看这条圆有多少落在几何体的表面或内部。 ★ 做完自查：等体积法里分母用的是全面积吗？截面圆半径是用减法还是加法？求轨迹长度时取的是整圆还是一段弧？ 例题 例 2-1 【填空】已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则 = ______； = ______． 【解析】 第 1 步　轴上的点，距离公式只有一维 ◈ 由对称性球心必在正四面体的轴（顶点与底面中心的连线）上，设成 后，到侧面的距离就只是 的一次式。 第 2 步　「到各面等距」的解就是内切球心 ◈ 令到侧面与到底面的距离相等，解出的 正是内切球心的位置，这一步同时也验算了 。 第 3 步　两个球心都在轴上，用外切列方程 ◈ 与 外切给出 ，与「 到侧面的距离等于 」联立即可解出两个未知量。 答　； 例 2-2 【填空】在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 【解析】 第 1 步　对棱相等就补长方体 ◈ 三组对棱分别相等，说明四个顶点可以看成某个长方体的四个交替顶点，六条棱就是六个面对角线 —— 这是这一类题的通用开局。 第 2 步　外接球顺手就是长方体外接球 ◈ 补形之后球心是长方体的中心，半径等于体对角线的一半，不用再找球心。 第 3 步　内切球一律用等体积法 ◈ 对任何多面体都成立，这里 用「长方体减掉四个角」来算， 是四个全等三角形之和。 答　； 例 2-3 【单选】正四棱锥中，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时， = （ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　外接球与内切球各写一条公式 ◈ 外接球用 ，内切球用 ，两条都是这一节的常备工具。 第 2 步　换元把两个根式并成一个 ◈ 令 ，则 正好等于 ，比值化简成只含 的分式，求导一步到位。 第 3 步　先求最小值点再回代体积 ◈ 由 定出 ，反解 后方可代入体积公式。 答　D 例 2-4 【填空】已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【解析】 第 1 步　台体的内切球降到轴截面看 ◈ 球与上、下底面及四个侧面都相切时，取与一组对面垂直的截面，问题就变成「圆内切于等腰梯形」，立体问题一次降维。 第 2 步　相切给出高与半径的二倍关系 ◈ 与上、下两个底面都相切，说明球心在两个底面中间，于是 ，这是求半径的关键一步。 第 3 步　圆内切于梯形给出腰长 ◈ 有内切圆的四边形满足「对边之和相等」，用量出的肩宽求出腰长，再用勾股定理得到高。 答　 练习 2-1. 【单选】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2-2. 【单选】已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 2-3. 【填空】已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______. 2-4. 【填空】如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则 = ______． 2-5. 【填空】已知在底面边长为，高为的正三棱柱内有一个半径为的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为________. 2-6. 【填空】已知点M为正三棱柱的外接球上动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______． 方法三　平面图形的折叠 折叠题只考一句话：哪些量变了、哪些量没变。折痕上的点不动，同一个半平面内的长度、角度、面积都不动，唯一会变的是「跨折痕」的那部分，而它往往正好由题目给出的二面角描述。 ★ 第一步永远是分清「哪一块不动」。不动的那一块留在原平面内，把它放在 平面上，几何体的大半就定住了；动的那一块绕折痕转，用一个角 就能把动点写出来。 ★ 折痕常常是某条线段的垂直平分线。判定方法是看原图上有没有两个点到折痕两端等距 —— 如果有，过这两点的直线就是折痕的垂直平分线，折叠后依然有「折痕垂直于这条连线」，这是证明垂直关系的现成材料。 ★ 「同半平面内长度不变」用起来最直接：折前某点到折痕上各点的距离，折后一模一样。所以动点到折痕的距离、折痕两侧的边长都可以照抄，不必重新算。 ★ 题目给出的二面角，就是「折痕两侧各一条垂直于折痕的线段所成的角」。把这两条垂线段找出来，用它们的夹角当参数，坐标一步就能写出。 ★ 折叠后的第一问多半是证垂直或平行，思路与不折叠时完全一样，只是把依据换成折叠后仍然成立的等量关系。这一问证出来了，第二问的坐标系才有依据。 ★ 做完自查：用到的长度是折痕同侧的还是跨折痕的？动点是不是应该落在某个圆（球）上？三条坐标轴两两垂直有没有先证过？ 例题 例 3-1 【解答】如图，在边长为2的正三角形中，，分别为，的中点，将沿翻折至，使得. （1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 第 1 步　先认清「不动的那一块」 ◈ 、 是中点，四边形 是等腰梯形，翻折时它完全不动，把它放在 平面上，坐标系就定了一半。 第 2 步　动点的坐标由两条约束定死 ◈ 给出 在 的垂直平分面上， 再给出一个方程，两个未知量刚好解完。 第 3 步　面面垂直只看两法向量是否垂直 ◈ 要证平面 平面 ，只需算出平面 的法向量第三个分量为 0，它垂直于底面的法向量。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-2 【解答】如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：；（2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 第 1 步　先看折痕是不是中垂线 ◈ 与 说明 、 都在 的垂直平分线上，于是 垂直平分 —— 这一条把翻折后的等长关系全部打通， 随之成立。 第 2 步　翻折不改变到折痕的距离 ◈ 绕 转到 ，到 上任意一点的距离都不变，所以 。 第 3 步　二面角的平面角就是两条垂线段的夹角 ◈ 、，所以 就是二面角 的平面角，取 后 的坐标即可写出。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-3 【解答】如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点． （1）证明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 【解析】 第 1 步　面面垂直直接把顶点「抬」起来 ◈ 平面 底面且交线为 ，所以 到 的距离就是它到底面的距离， 的坐标一步写出。 第 2 步　证明线面平行只需一次点积 ◈ 把 与平面 的法向量作点积，结果为 0 就说明方向平行，再补一句「 不在平面内」。 第 3 步　中点坐标取两端平均 ◈ 是 的中点，坐标由两端相加除以 2 得到，不必另设未知数。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-4 【解答】在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）设，（ⅰ）证明：平面；（ⅱ）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【解析】 第 1 步　把动点参数化成一个角 ◈ 翻折时只有二面角在变，用一个角 写出 的坐标，整个动点问题就变成一元函数问题。 第 2 步　等长条件反解出这个角 ◈ 化成的方程里 的一次项系数正好把平方项消掉，直接读出 。 第 3 步　线面角的最大值交给求导 ◈ 正弦值写成 的函数后求导，两根中只有一个落在 内，它就是最大值点。 答　(1) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）；(2) 练习 3-1. 【解答】如图，矩形中，，将沿直线翻折成. （1）若为线段上一点，且满足，求证：直线平面；（2）当平面平面时，求点到平面的距离. 3-2. 【解答】如图，在直角梯形中，，，．将沿折起，使，连接，得到三棱锥． （1）求证：平面；（2）点是的中点，连接、，若，（i）求二面角的正切值；（ii）求三棱锥的外接球体积． 3-3. 【填空】在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 3-4. 【解答】如图，菱形ABCD的对角线交于点，且为CD的中点，平面CBD，且．现沿BD将翻折至的位置，使得平面平面CBD，且点和在平面CBD的同侧． （1）证明：平面BCE；（2）求直线EF和平面所成角的正弦值． 3-5. 【解答】如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． （1）证明：平面；（2）若二面角的余弦值为．①求的长；②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 3-6. 【解答】如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． （1）证明：平面平面；（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 方法四　动点轨迹与最值 这一节的题目样子最杂，但落点只有三种：轨迹是一个圆（或弧），目标量能写成一个参数的函数，或者轨迹是一块平面图形要算面积。先判断属于哪一种，再选工具，比一上来就设坐标快得多。 ★ 判断轨迹是圆的两个标志：条件化成方程后是二元二次式且能配方成 ；或者动点在球面上、条件化成三元一次方程。前者在平面内是圆，后者在球面上是圆。 ★ 轨迹是圆时，求「到定点距离」的最值有固定答案：最小值是圆心到定点的距离减去半径，最大值是这个距离加上半径。用之前先确认定点在圆外，否则最小值要写成零。 ★ 两条线段上各取一点求最小距离，把两个动点各设一个参数，距离的平方是二元二次式，依次对两个变量配方即可。配方时先固定一个看着另一个，最后剩下的通常是一个完全平方加常数。 ★ 体积的最值要先看「什么固定、什么在动」。底面固定就让高最大，高固定就让底面面积最大；两者都动时把体积写成一个参数的函数再求导。判断「高最大」经常用到动点落在圆或球上这一条。 ★ 轨迹围成的面积，做法是「按竖直界切开再分别算」。圆弧那一块是扇形或四分之一圆，直线那一块是三角形或直角梯形，两块相加即可，不要硬套积分。 ★ 多个动点同时出现时，先找不动的量。往往有一个动点到某条定直线或某个定平面的距离始终不变，把它当成已知数先固定下来，剩下的就只是一元函数。 ★ 做完自查：参数的取值范围写全了吗（线段、圆、弧都有端点）？取最值的点真的落在允许范围内吗？如果题目还要问此时某个线段的长，算出来了吗？ 例题 例 4-1 【填空】已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为___________，此时 = ___________. 【解析】 第 1 步　两条线段各设一个参数 ◈ 、 分别在两条线段上，各用一个参数 、 表示坐标， 就写成了二元函数。 第 2 步　先对一个变量配方，再对另一个配方 ◈ 把 看成 的二次函数定出 ，剩下的式子再对 配方，两步都是初中方法。 第 3 步　最小值点回代求长度 ◈ 求出 后， 就是 的 ，直接用线段长的比例算。 答　； 例 4-2 【单选】已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　把动点限制在一个面内 ◈ 在侧面 上，就设成 ，一个面把三个坐标压到两个。 第 2 步　垂直条件化成一个圆的方程 ◈ 写成点积为零后配方，得到 ，轨迹是圆。 第 3 步　圆上的点到定点的最值 ◈ 最小值等于「圆心到该点的距离减半径」，这是圆上动点最值的固定套路。 答　D 例 4-3 【填空】在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为__________． 【解析】 第 1 步　先让体积最大定住 ◈ 固定时 说明 在以 为直径的圆上，高最大为半径 2，体积最大时 。 第 2 步　轨迹圆落在侧面内 ◈ 化成 ，圆心恰好是 的中点，圆过 、 两点。 第 3 步　面积拆成扇形与三角形 ◈ 所求区域按 切开，左边是四分之一圆，右边是直角三角形，分别算面积再相加。 答　 例 4-4 【填空】三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为___________． 【解析】 第 1 步　底面面积先算出来 ◈ 已知两边夹角，面积直接用 ，底面是定值，体积只随高变化。 第 2 步　等距条件把动点压到一个面上 ◈ 说明 在 的垂直平分面上，横坐标定为 1，剩下两个坐标由 约束在一个圆上。 第 3 步　高最大即体积最大 ◈ 直接给出 ，不必再设参数。 答　 练习 4-1. 【单选】已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4-2. 【多选】已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B. 平面平面 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若点在上，则的最小值为 4-3. 【单选】已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4-4. 【填空】在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 4-5. 【填空】已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 4-6. 【多选】已知正四棱锥，为棱上的动点．则（ ） A. 平面平面 B. 存在使得为直角三角形 C. 当为中点时，平面 D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $