第12章 综合与实践(一) 函数建模与运动问题&(二) 函数建模与方案选择-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

33 综合与实践（一） 函数建模与运动问题 1.在一条直线上依次有A,B,C三个海岛，某巡 120km/h.甲车以105km/h的速度从起点驶入 逻船执行海洋巡逻任务，从A岛出发沿直线匀 该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚 速行驶到B岛，保持速度不变，继续行驶到达 h,同方向从起点驶入该区间测速路段，以 C岛.设该巡逻船行驶x(h)后，与B岛的距离 为y(km),y与x的函数关系如图所示， 4 135km/h匀速行驶了h后，降低车速，以a (1)直接写出A,C两海岛间的距离，并求出函 km/h匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不 数图象中括号处缺失的数据， (2)求PN段的y关于x的函数解析式，并写 计)，当甲车行驶了号h时，行驶路程为mkm, 出自变量的取值范围。 此时乙车在甲车前方4km处.已知在此区间测 (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射 速路段，两车行驶的路程s(km)与甲车在此路段 台，发射的信号覆盖半径为15km,请直接写出 行驶的时间t(h)之间的函数图象如图所示. 该巡逻船能接收到该信号的时长。 (1)求m的值 ↑y/km (2)求a的值. 60P (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否 25M 超速。 ↑s/km 0.5 （)x/h 50--… DE …甲车 一乙车 OA 3 t/h 5 2.区间测速是指在高速公路某一路段的起点与 终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时 间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均 速度超过该路段限速，则判定为超速，某地有 一段区间测速路段，长为50km,限速为 34 综合与实践（二）函数建模与方案选择 1.扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染2.【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界 色技艺.扎染工艺的发展带动了当地旅游相关 读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境， 产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进 某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量， 甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本 现需购进20个书架用于摆放书籍. 价和销售价如表： 【素材呈现】 单价 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 类别 的单价比B种书架单价高20%； 甲种布料 60 100 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用 乙种布料 40 70 9000元购买B种书架的数量多6个； (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多 少件？ 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的号 (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎 【问题解决】 染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两 (1)求出A,B两种书架的单价； 种布料共100件.若此次购进甲种布料的数量 (2)设购买a个A种书架，购买总费用为 不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销 元，求@与a的函数关系式，并求出费用最少 售价全部售完这批布料.设第二次购进甲种布 时的购买方案， 料件，第二次全部售完后获得的利润为W 元.第二次应怎样进货，才能使第二次购进的 布料全部售完后获得的利润最大？最大利润 是多少元？(3)①当3x=30×分时，得=5：2.1号h甲车行驶的路程为15×号 答：A种书架的单价为600元，B种 书架的单价为500元； ②当-0.5x+35=30×7时，得 =42(km), (2)由题意可得， .∴.m=42: w=600a+500(20-a)=100a+ x=40.即油箱中油量为油箱容积 (2)点C的横坐标为0十5 1 4 的一半时x的值是5或40. 10000,由题意，得a≥3(20-a),解 6.(1)30 点C的纵坐标为135×是 3 得a≥5， (2)①设小丽步行的速度为 .∴.当a=5时，取得最小值，此时 m/min,小明步行的速度为 36C(哥36)，根据图象，得36 w=10500,20-a=15 2m/min,且o2>v,则 /30+30=5400 +(侣)a=2+4,解得a= 所以费用最少时的购买方案是购 买A种书架5个，B种书架15个. (67.5-30)0=3002 100: 章末核心考点整合与素养提升 (3)乙车在CD段行驶的时间为 1.x≥22.C3.C 解得： /0=80 2=100 (50-36)÷100= 品，则乙车 答：小丽步行的速度为80m/min, 4①≠8(2-号y=- 在该路段行驶的平均速度为50 小明步行的速度为100m/min; (3)≠-6=2(4)3 ②设点C的坐标为(x,y),则可 ÷(告+)=792kmw. 5.A6.C 7.B8.A9.C 得方程(100+80)(x-30)+80 3 :7500 10.B11.D12.A13.x=-2 (67.5-x)=5400,解得x=54,y 61>120, 14.(1)蜜枣棕的进货单价是4元，肉 =(100+80)(54-30)=4320m, 乙车在该区间测速路段超速. 棕的进货单价是10元； ∴.点C(54,4320).点C表示：两 综合与实践（二）函数建模与 (2)设第二批购进肉棕y个，则蜜 人出发54min时，小明到达甲地， 方案选择 枣粽购进(300一y)个，设获得利润 此时两人相距4320m. 1.(1)设该扎染坊第一次购进甲种 为元，由题意得：=(14一10)y 综合与实践（一）函数建模与 布料x件，购进乙种布料y件. 根据题意，得 +(6-4)(300-y)=2y+600, 运动问题 2>0,.®随y的增大而增大 1.(1)由图象可知，A,B两岛之间的 |x+y=80, 解得 x=25, y≤2(300-y),.0<y≤200， 距离为25km;B,C两岛之间的距 60x+40y=3700, y=55. ∴.当y=200时，有最大值， 离为60km;A,B,C三个海岛在 答：该扎染坊第一次购进甲种布 一条直线上，A,C两海岛间的距离 料25件，购进乙种布料55件. 0大做=400+600=1000. 为25+60=85(km);巡逻船从A岛 (2)根据题意，得m≤1.5(100一 答：第二批购进肉粽200个时，总 利润最大，最大利润是1000元. 到B岛的时间为0.5h,.巡逻船 m),解得m≤60， 的速度为25÷0.5=50(km/h), W=(100-60)m+(70-40)(100 15.D16.B17.B18.A19.B 巡逻船从B岛至C岛的时间 -m)=10m+3000, 20.(1)m>-2,n为任意实数. (2)m≠-2且n>3. 为60÷50=1.2(h),∴.函数图象 .10>0,.∴.W随m的增大而增大 中括号处缺失的数据为0.5+1. ∵m≤60， (3)5=子 .当m=60时，W值最大，W最大 2=1.7; 21.(1)观察图象可知：x=7,y =10×60+3000=3600,100-60 (2)设PN段的一次函数解析式 2.75这组数据错误 =40(件) 为y=kx+b,将N(0.5,0),P(1. (2)设y=kx十b,把x=1,y= 答：第二次购进甲种布料60件、乙 7,60)代入解析式，得 0.75,x=2,y=1代人可得 种布料40件，全部售完后获得的 0=0.5k+b, 解得/50， 最大利润是3600元. k+b=0.75 k一4 60=1.7k+b, b=-25, 2.(1)设B种书架的单价为x元，则A ,解得 2k+b=1 ∴.PN段的y关于x的函数解析式 种书架的单价为x(1+20%)= b2 为y=50x-25(0.5x1.7): (3)15×2÷50=0.6(h) 12x元，2-20-6，居得x .y=4x+2 答：该巡逻船能接收到该信号的 500,经检验，x=500是原分式方程 当x=16时，y=4.5, 时长为0.6h. 的解，∴.1.2x=600, 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距 43 离为16cm时，秤钩所挂物重是 13.原式=a+b+c. 6.(1)略；(2)S△ABc=4; 4.5斤. 14.由已知得b-2=0,c-3=0,则b 1 22.(1)C点横坐标的实际意义是游 =2,c=3,又，x-4=2,x-4 (3)SAAc=2AE·BC=zX3X 轮从杭州出发前往衢州共用了 =±2，则x=6或x=2,即a=6 BC=.解得BC-号 23h.游轮在“七里扬帆”停靠的 或a=2,当a=6时，2+3<6，故 时长=23-(420÷20)=23-21 a=6(舍去)，所以a=2,则 7.8或168.B9. 39 10.711.9 =2(h). △ABC周长为2+2+3=7， 12.(1)BC边上的高 (2)①280÷20=14h, △ABC为等腰三角形. (2)∠BAC的平分线 .点A(14,280)点B(16,280), 15.(1)BD PC BD+PC BP+ (3)BC边上的中线 点E的横坐标为23-源-24， PC 13.(1)△ABD,△AEC,△BEC,因 (2)在△AMN中，AM+AN> .点E(22.4,420),设BC的解 为它们的面积均为△ABC面积 MN,在△MPB中MP+MB> 析式为s=20t+b,把B(16,280) 的一半. BP,在△NPC中，NP+NC> 代入s=201+b,可得b=-40, (2)△AMC. PC,将三个不等式相加得：AM .s=201-40(16≤1≤23)， 微课堂 +AN+MB+MP+PN+NC 同理由D(14,0),E(22.4,420) >MP+NP+PB+PC,即AB (2)2 可得DE的解析式为s=50t- +AC>BP+PC. 13.2命题与证明 700(14≤t≤22.4)，由题意：20t 第2课时三角形中角的关系 第1课时命题 -40=50t-700,解得1=22， 1.B2.A3.C4.D5.C 1.D2.B3.D .22-14=8(h), ∴.货轮出发后8h追上游轮. 6.60°35°90° 4.(1)(2)(3)(4)(5)(8)是命题，其 中(1)(2)(3)是真命题，(4)(5) ②相遇之前相距12km时，20t一40 7.设∠B=x°，则∠A=100°-x°， ∠C=2x°.故有(100°-x)+x°+ (8)是假命题，(6)(7)不是命题. -(50t-700)=12,解得t=21.6, 相遇之后相距12km时，50t一 2x°=180°，解得x=40.即∠A=5.如果ab<0,那么a十b0假命题 700-(20t-40)=12,解得t= 60°，∠B=40°，∠C=80°.因为6.C 22.4,当游轮在刚离开杭州 △ABC中，最大角∠C=80°. 7.同旁内角互补，两直线平行 12km时，此时根据图象可知货 所以△ABC是锐角三角形. 8.①②④ 轮就在杭州，游轮距离杭州 8.D9.A10.A11.C12.105°9.(1)如果一个三角形是等边三角 12km,所以此时两船应该也是 13.30°14.∠ADE=40°. 形，那么这个三角形的三条边相 相距12km,即在0.6h的时候，两 15.在△BOC中，有∠BOC+∠1+ 等，真命题， 船相距12km,故在0.6h或 ∠2=180°，在△ABC中，有 (2)如果一个数是分数，那么这个 21.6h或22.4h时游轮与货轮相 ∠A+∠ABO+∠1+∠2+ 数一定是实数.真命题， 距12km. ∠AC0=180°，：∠A=50°， (3)如果两条直线相交成直角，那 第13章三角形中的边角 ∠ABO=28°，∠ACO=32°， 么这两条直线互相垂直.真命题. 关系、命题与证明 .∠1+∠2=180°-∠A (4)如果两个角的和为180°，那么 13.1三角形中的边角关系 ∠ABO-∠ACO=70°， 这两个角叫做邻补角.假命题. 第1课时三角形中边的关系 .∠B0C=180°-∠1-∠2=10.不是真命题.如当n=11时， 1.C2.D 110°. n2-n+11=112-11+11=11 3.(1)3画图略；(2)6画图略. 16.(1)2<BC<8 ×11,不是质数 4.A5.C6.B (2)∠ADB=180°-∠ADC=40°， 第2课时定理及证明 7.C【变式】设第三边长为x,由题 在△ABD中，因为∠B+∠BAD:1.①②④② 意，得5-2<x<5+2,解得3<x +∠ADB=180°，且∠BAD=2.同旁内角互补，两直线平行 <7.第三边长为偶数，.x=4 ∠B.所以2∠B=180°-40°，所以 ∠DCE两直线平行，同位角相 或6，这个三角形的周长为11 ∠B=70°，在△ABC中，∠C= 等∠DCE AD BE两直线 或13. 180°-∠B-∠BAC=25°. 平行，内错角相等 8.B9.B10.B 第3课时三角形中几条重要线段3.可推出AD∥BC,推理过程略. 11.-3a<-212.21 1.B2.B3.C4.C5.50° 4.(1)ABC BCD角平分线的定 45