专练27 构全等(七) 手拉手模型&专练28 构全等(八) 全等与无刻度直尺作图-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

∴.BC=BD+CD=AD+CD= 专练23构全等（三）中点模型 △BAG(AAS),同理△BCG≌ (AF+FD)+CD-AF+2CD. 典例导练 △CDH,∴.AF=BG,AG=EF,GC 专练21构全等（一）连接与延长 (1)①(2)1AD4 =DH,BG=CH,,梯形DEFH的 典例导练 知能检测 连接AD、DB,在△DEA和△DCB 1.过点E作EF∥AC交AD的延 面积=合(EF+DH)·FH=80, (DE=DC 长线于点F,利用AAS证△ABC 1 S△AEF=SAABG= 2 AF·AE=9, 中， ∠E=∠C,.△DEA≌△DCB ≌△FBE,从而EF=AC,∠A= AE-BC ∠F,易证∠A=∠EDF,知 SAx=S△DH= 2CH·DH=6, (SAS),..AD=BD,.'DF=DF, ∠EDF=∠F,从而EF=DE,得 .图中实线所围成的图形的面积S一 .Rt△ADF≌△Rt△BDF(HL) 证AC=DE. 2.延长OE到F,使得EF=OE,连接 80-2×9-2×6=50. ..AF=BF. DF.易证△BEO≌△DEF(SAS), 知能检测 知能检测 ∴.∠BOE=∠F,OB=DF,∴.OB∥ 1,4) 1.连接AC,易证△ABC≌△CDA DF,.∠ODF+∠BOD=180°，： 专练26构全等（六）对角互补模型 从而∠BAC=∠DCA, ∠AOC与∠BOD互补，∴.∠AOC 典例导练 ∴.AD∥BC,.∠AEF=∠CFE. =/ODF,.OA=OB,..OA-DF, ①②③ 2.连接BC.在△ABC和△DCB中， 在△AOC和△FDO中， 知能检测 (AB=DC (OA-DF 1.AF+BE=AE.理由如下：：AD平 AC=DB, ∠AOC=∠FDO, BC=CB 分∠BAC,DELAB,∠C=90°， OC=DO ∴.DC=DE ..△ABC≌△DCB(SSS), .△AOC≌△FDO(SAS), .∠A=∠D 在Rt△DCF和Rt△DEB中， AC=OF,.AC=2OE,即OE DC-DE 在△AOB和△DOC中， ∠A=∠D AC DF-DB ∠AOB=∠DOC, 专练24构全等（四） 角平分线模型 ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB, AB=DC 典例导练 ..CF=EB; ∴.△AOB≌△DOC(AAS), (1)SSS(2)>6 易证Rt△DCA≌Rt△DEA(HL), ∴.∠ABO=∠DCO. (3)PE=PF,理由如下：在BC上截 ∴.AC=AE,∴.AE=AF+FC,即 专练22构全等（二） 截长补短 取BG=BF,连接PG, AE-AF+BE. 典例导练 :∠BPC=120°，.∠BPF= 2.(1)过点C作CF⊥AD于点F, 如图，在AB上截取AE,使AE= ∠CPE=180°-∠BPC=60°，易证 AC平分∠BAD,CE⊥AB, △BPF≌△BPG(SAS),∴.PF= AC,连接PE,在△AEP和△ACP .CE=CF.CD=CB,.Rt PG,∠BPF=∠BPG=60°， AE-AC △CFD≌Rt△CEB(HL), ∴.∠CPE=∠CPG=60°，在△CPE 中 ∠1=∠2，.∴.△AEP≌△ACP ∴∠CDF=∠CBE,∠CDF+ ∠CPE=∠CPG AP=AP ∠ADC=180°， 和△CPG中，CP=CP (SAS),.PE=PC,在△PBE中 .∠ADC+∠ABC=180°： L∠PCE=∠PCG BE>PB-PE,即AB-AC>PB (2)在Rt△CAF和Rt△CAE中 .∴.△CPE≌△CPG(ASA), PC. ∴.PE=PG,PE=PF】 CF CE,AC=AC,.Rt 知能检测 △CAF≌Rt△CAE(HL),.∴.AE 专练25构全等（五） 一线等三 延长FD到点G,使DG=BE,连接 角模型 =AF,又，△CFD≌△CEB,. AG,易证△ABE≌△ADG(SAS), 典例导练 DF=BE,.AB-AD=(AE+ ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, ,∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+ BE)-(AF-DF)=BE+DF= .'EF=BE+FD,DG=BE,.'EF ∠AEF=90°，.∠BAG=∠AEF, 2BE=4. =DG+FD=GF,且AE=AG,AF:'在△AEF和△BAG中， 专练27构全等（七）手拉手模型 =AF,∴.△AEF≌△AGF(SSS), ∠F=∠AGB=90 典例导练 .∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF ∠AEF=∠BAG,∴.△AEF≌ (1).∠ACB=∠DCE=a, =∠BAE+∠DAF. AE-BA ∴.∠ACD=∠BCE,在△ACD和 6 (CA=CB 2.连接AE,设∠B=x,,AE=BE,2.在△BCD与△CBE中， △BCE中， ∠ACD=∠BCE, ∠BAE=∠B=x,∴∠AEC BC=BC, CD-CE 2x,AE=BE=AC,.∠C= ∠ACB=∠ABC, .△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE; ∠AEC=2x,在△ABC中，3x+75 BD-CE, (2).△ACD≌△BCE,∴.∠CAD =180°，解得x=35°，∴.∠B=35°. ∴.△BCD≌△CBE(SAS), =∠CBE,在△ACF和△BFM中， 专练30等腰三角形的性质（二）】 .∠FBC=∠FCB,设∠FBD= ∠CAF+∠FCA=∠FBM+ 整体思想求角 ∠ECF=x,则∠FBC=∠FCB= ∠FMB,.∠AMB=∠ACB=a. 典例导练 60°-x,∠BDF=∠ECF+∠A=x ②CM平分∠AME正确.证明：过点 :AB=AC,AE=AF,AD、AG分别为 +60°，∠DFB=2∠FBC=2(60° C作CGLAD于点G,CH⊥BE于点 △ABC和△AEF的中线，∴.∠DAC= x)=120°-2x,分三种情况讨论： H,:△ACD≌△BCE,.SAm= ∠BAC,∠EAG-∠EAR ①当BD=BF时，此时∠BDF= Sam心ADXCG=CHXBE, ∠DFB,.x+60°=120°-2x,得 .∠DAG=∠DAC+∠CAE+∠EAG x=20°，即∠FBD=20°；②当BD 又AD=BE,.CG=CH,.CG =号∠BAC+∠CAE+号∠EAF= =DF时，此时∠FBD=∠DFB, AD,CH⊥BE,.CM平分∠AME. ∴.x=120°-2x,得x=40°，即 专练28构全等（八）全等与无 号∠BAF+合∠CAE,:∠BAF ∠FBD=40°；③当BF=DF时， 刻度直尺作图 110°，∠CAE-24°，.∠DAG=55°+12° 此时∠FBD=∠FDB,∴x=x十 典例导练 =67°. 60°，不符题意，舍去；综上所述， 略 知能检测 ∠FBD=20°或40°. 知能检测 1..AP=BP,AQ=CQ 专练32等腰三角形的性质（四） (1)如图1中，线段CD,点P即为所求； ∴.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, 巧构三线合一 (2)如图2中，线段CE,点Q即为所求 :∠BAC=105°，∠BAP+典例导练 ∠CAQ=∠B+∠C=180° 证明：连接O℃，AC=BC,∠ACB= ∠BAC=180°-105°=75°， 90°，点O为AB的中点，∴.∠ACC= .∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ ∠BOC=90°，∠A=∠BC0=45°，AO =CO,又AE=CF,.△AOE≌ (1) (2) ∠CAQ)=105°-75°=30°. 第15章轴对称图形与等腰三角形 2.B △COF(SAS),∴.OE=OF,∠AOE= 专练29等腰三角形的性质（一） 解：△ABC中，∠B+∠C=180° ∠COF,∴.∠EOC+∠COF=90°，. 方程思想求角 ∠A=180°-a;△BED中，BE=△OEF为等腰直角三角形，∠OEF 典例导练 BD∠BDE-180°-∠B:同 45° (1)设∠A=x,EA=EC,.∠ACE 知能检测 =∠A=x,:EC平分∠ACB,. 理，得：∠CDF=2(180°-∠O;.1.连接BD, ∠ACB=2x,.'AB=AC,.∴.∠ABC= AB=BC,点D是AC的中点， ∠ACB=2x,在△ABC中，∴.x+2x+ ∠BDE+∠CDF=180°-（∠B ∴.BD⊥AC,∠ABD=∠CBD= 2x=180°，∴x=36°，即∠A=36°； Z∠ABC,:DELAB,,∠ADE+ (2)54° +∠0=180°-号(180°-o1=90 ∠BDE=90°，∠ABD+∠BDE= 知能检测 2Q;'∠BDE+∠CDF+B= 90°，.∠ADE=∠ABD,∴.∠ADE 1.设∠C=x,:ED=EC,∴.∠EDC =∠C=x,∴.∠DEA=∠C+ 1802a+90即e+29 .1 =2∠ABC,∠ABC=2 ∠EDC=2x,DA=DE,∴ 180° ∠ADE. ∠DAE=∠DEA=2x,∴.∠ADB= 专练31等腰三角形的性质（三） 2.过点C作CF⊥BE于点F, ∠C+∠DAE=3x,AB=AD,∴. 分类思想求边角 .CB=CE,.BF=EF,AB= ∠B=∠ADB=3x,∠BAC= 典例导练 AC,∴.∠ABC=∠ACB,又： 100°，∴.∠B+∠C=180°-∠BAC 50°或65°或80 ∠CFB=∠BDC=90°，BC=CB, =80°，即3x+x=80°， 知能检测 .△BFC≌△CDB,.CD=BF, ∴x=20°，∴.∠C=20. 1.6 .BE=2CD. 6627 专练27构全等（七）手拉手模型 【模型分析】如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则△BAD≌△CAE(SAS). ②典例导练 示范题如图，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a, AD与BC,BE分别相交于点F,M,连接CM. (1)求证：AD=BE; (2)用含α的式子表示∠AMB的度数. 【思路点拨】(1)利用SAS即可判定△ACD≌△BCE; (2)根据△ACD≌△BCE,得出∠CAD=∠CBE,再根据“8字ACFMB基本模型” 可得. 【自主解答】 【拓展提问】小明同学对该题进行进一步研究，并提出了下面两个结论：①CM平分 ∠BCD;②CM平分∠AME.请你选一个正确的结论，并给予证明. 28 专练28 构全等（八） 全等与无刻度直尺作图 ☒典例导练 示范题如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C均为小正方形的顶点，用无刻度 的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)在图1中，作△ABD与△ABC全等（点D与点C不重合）； (2)在图2中，作△ABC的高BE; (3)在图3中，作∠AFC=∠ABC(点F为小正方形的顶点，且不与点B重合). 图1 图2 图3 【思路点拨】(1)利用全等三角形的判定方法，构造全等三角形即可； (2)构造直角三角形全等； (3)构造全等三角形即可 知能检测 如图，在下列正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请在指定网格中仅用无 刻度直尺画图. (1)在图1中画图：①画AB边上的中线CD;②在边AC上画点P,使∠APD= ∠BPC: (2)在图2中画图：①画AB边上的高CE;②在边AB上画点Q,使AQ=CE. 图1 图2