12.3 一次函数与二元一次方程-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

26 12.3一次函数与二元一次方程 第1课时 一次函数与二元一次方程 01基础达标 (2)解关于x的一元一次不等式2x十b>m.x十4. :v=2x+b 知识点一二元一次方程与一次函数的关系 1.以方程2x一y=一2的解为坐标的点组成的图 象是 23=x+4 12 2.下列有序实数对是二元一次方程3x+y=6的 解的为 (填字母) A(2,0);B(3,-3);C(4.5,-7.5); D(6,-10);E(-2,10);F(-3,15) 知识点二二元一次方程组与一次函数的关系 3.用图象法解二元一次方程 v=kx+b y=x+2 02能力提升 (kx-y+b=0, A(1,m) 组 时，小英 1x-y+2=0 6.已知点(2，一1)是方程y=k.x十1的一个解，则 直线y=k.x+1的图象不经过的象限是() 所画图象如图所示，则方 程组的解为 A.第一象限 B.第二象限 a x=1 x=1 C.第三象限 D.第四象限 C. y=1 D. y=2.5 y=3 7.如图，过点Q(0,3.5)的一次函数的图象与正 比例函数y=2x的图象相交于点P,能表示这 4.已知二元一次方程组 x-y=-5, x+2y=-2 的解为 个一次函数图象的方程是 () A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0 则在同一平面直角坐标系中，直线 y=1, C.3x-2y+7=0 D.3.x+2y-7=0 l1:y=x十5与直线l2:y=- 2x-1的交点坐 8.因为一次函数y=2-2x与y= y=2x 5一2x的图象互相 ,所 标为 知识点三二元一次方程组的图象解法 以方程组 2.x+y=2, 的解的 2x+y=5 5.如图所示，直线l1:y=2.x十b与直线L2:y=mx 情况为 +4相交于点P(1,3),利用图象： 9.已知直线y=x十a与直线y=一x十b的交点 2x-y+b=0, (1)解关于x,y的二元一次方程组 mx-y+4=0; 坐标是(m,6),则a十b= 21 10.如图，已知直线11：y1=2x十1与坐标轴分别 03 思维拓展 交于A,C两点，直线l2:2=一x一2与坐标轴 分别交于B,D两点，两条直线的交点为P点. 12.已知二元一次方程x十y=5,通过列举将方 (1)求△APB的面积； 程的解写成下列表格的形式： (2)利用图象求当x取何值时，y<y2 6 1y,=2x+1 如果将二元一次方程的解所包含的未知数x 的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未 -2 知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一 个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标 系中的一个点，例如：方程x十y=5的解 x=2 的对应点是(2,3)； y=3 (1)表格中的m=,n= (2)通过以上确定对应点坐标的方法，将表格 中给出的五个解依次转化为对应点的坐标， 11.（南通中考)如图，在平面直角坐标系中，已知 并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根 A3,0),B(0,3),直线y=x十b(k,b为常 据这些点猜想方程x十y=5的解的对应点所 数，且>0)经过点C(1,0),并把△AOB分 组成的图形是 ,并写出它的两个特 成两部分，其中靠近原点部分的面积为。 征① ,② (1)AB所在直线的函数关系式为 (2)求k,b的值. 5-4-3-2-1q12345x (3)若点P(-2a,a一1)恰好落在x+y=5的 解对应的点组成的图形上，求a的值. 28 第2课时 一次函数的应用—方案决策 01基础达标 (1)当销售量为2吨时，销售收入= 元，销售成本= 元； 知识点利用一次函数进行决策 (2)当销售量为6吨时，销售收入 1.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以 元，销售成本= 元； 每月用车路程xkm计算，甲汽车租赁公司每月 (3)当销售量等于 时，销售收人等于 收取的租赁费为y元，乙汽车租赁公司每月收 销售成本； 取的租赁费为y2元，若y1,2与x之间的函数 (4)当销售量 时，该公司赢利（收 关系如图所示，其中x=0对应的函数值为月 人大于成本)； 固定租赁费，则下列判断错误的是 () (5)当销售量 时，该公司亏损（收 A.当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁 入小于成本) 公司租赁费用相同 4.某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使 B.当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租 用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种 赁公车比较合算 卡租书，租书金额y(元)与租书时间x(天)之 C.除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取 间的关系如图所示： 的费用比乙租赁公司多 (1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y D.甲租赁公司平均每公里收（到）的费用比乙 (元)与租书时间x(天)之间的函数关系式； 租赁公司少 (2)根据图象回答，当租书天数大于100天时， ↑y元 元乙甲 哪种租书方式比较合算？ 3000i 2.4) 2000- ↑y元 1000E 租书卡 50 会员卡 O100020003000x/km 123x/件 第1题图 第2题图 20 100x/天 2.如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售 价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.下 列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买 1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合 算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确 的说法是 A.①② B.②③④C.②③ D.①②③ 3.如图，1反映了某公司产品 y/元 的销售收入与销售量之间 4000 的关系，l2反映了该公司产2000 品的销售成本与销售量之 x/件 间的关系，根据图像填空： 29 02能力提升 (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什 么范围时，选择方式一比式二省钱. 5.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入 园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡 消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下 列问题 (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x 的函数表达式； 03 (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较 思维拓展 合算. 7.用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印 y元 甲 多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同 300 B 样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收 100 费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部 20 x次 分每页收费0.09元.设在同一家复印店一次 复印文件的页数为x(x为非负整数)， (1)根据题意，填写下表： 一次复印页数（页） 5 10 20 30 甲复印店收费（元）0.5 2 乙复印店收费（元）0.6 2.4 (2)设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店 复印收费y2元，分别写出y1、y2关于x的函 数关系式； (3)当x>70时，顾客在哪家复印店复印花费 少？请说明理由， 6.某游泳馆推出了两种收费方式。 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳 再付费30元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元， 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选 择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总 费用为y2(元). (1)请分别写出y,y2与x之间的函数表达式. 30 基础训练专题 根据实际问题确定函数图象 1.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从 (L),行驶时间为t,则V与t的大致图象是 家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原 路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距 离y(m)与时间x(min)之间关系的大致图象 人， 是 5.汽车由襄阳驶往相距400km的武汉某地，如 果汽车的平均速度是100km时，那么汽车距 目的地的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系 2.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行 用图象表示应为 () 驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来 个s(km) s(km) 400 400 修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速 200 200 度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 024h) 24th) B 关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情 s(km) s(km) 400F 400 况的图象大致是 200 200 0241(h) 02本ih) 上人以 0 6.点P(x,y)在第一象限内，且x十y=6,点A的 坐标为(4,0).设△OPA的面积为S,则下列 3.某厂家今年年初生产一种饮料，在库存为m 图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关 (m>0)的情况下，日销售量与产量持平，自5 系式的图象是 月气温升高以来，饮料需求量猛增，在生产能 力不变的情况下，饮料一度脱销，以下表示 2024年初至脱销期间，库存量y与时间t之间 . 的函数大致图象是 7.如图.正方形ABCD的边长为4，P 卢 为正方形边上一动点，运动路线是 A→DCB→A,设P点经过的路线为x,以 4.小华同学放暑假乘坐大巴车去看望在外打工 点A,P,D为顶点的三角形的面积是y.则下 的妈妈，出发时大巴车的油箱装了油，匀速行 列图象能大致反映y与x的函数关系的是 驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加 满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱 中还剩箱汽油，设油箱中所剩的汽油量为V O41216xO481216经过第一、三、四象限， 故方程kx十b=0的解是x=2; /-2+3m> B(o,) (2)根据图示知，该直线经过点 -6m<0 解得m> 3 第5课时一次函数的应用 (2,0)和点(0，一2)，则2k+b ②由①得y=(-2+3m)x-6m 分段函数 0,b=-2,解得k=1,b=-2.故 =m(3x-6)-2x, 1.C2.123.270 k+b=1-2=一1，即k+b=-1: .直线1一定过定点(2，一4). 7 5(x≥3)； (3)根据图示知，当y=一3时，x 第4课时用待定系数法求 41y-子x+ =一1.故方程kx十b=一3的 (2)721(3)20km. 函数解析式 解是x=一1. 5 14.图略. 1.B2.B3.A4.k= 1 x(0≤x≤18) 2 ,b=5. 5.(1)y= 3x-9(x>18) (1)由图象知，方程2x+1=0的 5.(1)y=5x-3;(2)y=5x+3. (2)由题意，把y=81代入y=3x 6.把（一2，一3）和(1,3)或（一2,3）和 解是x=一司 一9中，解得x=30.即这个月用 (1,-3)分别代入y=x十b得， (2)由图象知，不等式2x十1≥0 水量为30m3. 一次函数的解析式为y=2x十1 6.D7.B8.A 的解集是≥一 或y=-2x-1,当x=-1时，y 9.(1)由图象可知，进水的速度为： =-1或当x=-1时，y=1, (3)由图象可知，x的取值范围 20÷4=5(L/min). 所以点P(-1,1)在一次函数y 为-2≤x≤1. =一2x一1的图象上，不在一次 (2y-+15. 15.(1)-3x(2)x≥-2 函数y=2x十1的图象上 12.3一次函数与二元一次方程 (3)出水的速度为5一(35一20) 7.D8.D9.C10.D 第1课时一次函数与二元一次方程 ÷(16-4)=3.75(L/min),当x 11.y=x-2 1.B2.ABCF3.D4.(-4,1) =24时，y=45,∴.a=24+45÷ 12.(1)设y=kx+b,把(10,450)， 3.75=36 5.(1)/x=1, (20,500)代入，得 y=3. 10.(1)当0≤x≤4时，y=5x,当x 10k+b=450, k=5, (2)由图象可以看出，当x>1时， 解得 =4时，y=20,∴.当4<x≤14时， 20k+b=500, b=400. 直线U在直线12的上方，即2x+ y=20,当14≤x≤24时，设y= ∴y与x之间的函数关系式为y b>mx+4,∴.不等式2x+b>m.x kx+b,由B(14,20),C(24,0)得 =5x+400: +4的解集为x>1. 114k+6=20,.k=-2 (2)在y=5x+400中，令y=800 6.C7.D 24k+b=0. b=48, 得：800=5.x+400,解得x=80, 8.平行无实数解9.12 y=-2x十48，函数关系式 80×15=1200(元)， 3 /5x(0x≤4) 10.(1)SAABP=2: .当生产成本为800元时，所生 为：y=20(4<x≤14) (2)由题图可知，当x<一1时， 产的产品总售价为1200元. -2x+48(14<x≤24) 直线U1上的点都在直线2的下 1y=x+2, (2)200 方，所以当x<-1时，y<y2 (3)对于函数y=-2x+48,当y 11.(1)y=-x+3 (2)设光线B'D所在直线的表 =15时，-2x+48=15,解得x 达式为y=mx十，则B'(0,n), (2)将点(1,0)代入y=kx+b,得 =16.5,16.5-14=2.5(h). 十b=0,解得b=一k, 法线为直线y=n, 故在这一天内恒温系统最多可 .A(4,0)关于y=n的对称点 ∴.直线y=kx十b为 以关闭2.5h就必须重新启动， y=kx-k,联立y=一x十3， (4,2n)在直线BD上，.光线 才能避免草莓受到伤害， k十3 B'D经过点(4,2n)、D(6,4), 第6课时一次函数与一次方程、 得少=x, k+11 2 y=-x+3, 解得 m+n=2, m一5 一次不等式 2k y- 解得 k+1’ 6m+n=4, 8 1.A2.A3.C n= 5· 4.1(分，0).(0，-1)2)x=2 P(路) ∴.光线BD所在直线的表达式为 1 5.C6.D7.A8.A9.A S6B=7X3X3=7 10.D11.x112.x>3 ∴.此时在平面镜OH上入射点13.(1)如图所示，当y=0时，x=2. “远离原点部分的面积为2 9 40 1 用为：y2=40x; 4 2X(3-1) 15）=15,解得：x=50,.当这两 (2)由y<y得：30x+200< 40x,解得x>20,当x>20时，选 个气球的海拔高度相差15m时， 择方式一此方式二省钱， 上升的时间为50min. 5 7.(1)131.23.3 3.(1)设柏树的单价为x元/棵，杉树 12.(1)0-1 (2)M=0.1x(x≥0)； 的单价是y元/棵，根据题意得： (2)直线图象经过一、二、四象 0.12x(0x20) = 0.09x+0.6(x>20) 3+2=90解得T=20 2x+3y=850 y=150 限图象从左向右呈下降趋势 (3)由题意得：-2a十a-1=5, (3)顾客在乙复印店复印花费少； 答：柏树的单价为200元/棵，杉 解得：a=-6. 当x>70时，y=0.1x,2=0.09x 树的单价是150元/棵； 第2课时一次函数的应用 +0.6,∴y-=0.1x-(0.09x+ (2)设购买柏树a棵，则杉树为 (80一a)棵，购树总费用为元， 一方案决策 0.6)=0.01x-0.6,设y=0.01x一 根据题意：a≥2(80-a),解得 1.D2.D 0.6,由0.01>0，则y随x的增大 3.(1)20003000(2)60005000 而增大，当x=70时，y=0.1,.x a≥l60 ,w=200a+150(80-a) (3)4吨(4)大于4吨 >70时，y>0.1,y1>y2,.当 =50a+12000,:50>0,∴.随a (5)小于4吨 x>70时，顾客在乙复印店复印 的增大而增大，又，a为整数， 4.(1)可设租书卡与租书时间的函 花费少 ∴.当a=54时，级小=14700，此时， 数关系式为y=x,把点(100， 基础训练专题根据实际问题 80一a=26,即购买柏树54棵，杉树 50)代入求得=，即：函数关 确定函数图象 26棵时，总费用最小为14700元. 1.C2.D3.D4.D5.C6.C 4.(1):y=kx+b过点(0,30)， 7.B 系式为y=2x(x≥0)： 1b=30 难点突破专题 一次函数的应用 (10,180),. 可设会员卡与租书时间的函数关 10k+b=180 3 系式为y=k.x十b,其图象经过点 1.(1)1,0)(2)y=2x-6 解得 k=15 =15表示的实际 y=-3x+3 b=30 (0,20)和(100,50)，代入可得b= 1x=2 意义是：购买一张学生暑期专享 3 (3)由 3 ,解得{ 20,k=品，即：函数关系式为y= y=2x-6 y=-3' 卡后每次健身费用为15元， 3 .C(2,-3),AD=3 b=30表示的实际意义是：购买 10x+20(.x≥0)： 1 9 (2)当超过100天时，使用会员卡 5ac=乞X3X1-3=2; 一张学生暑期专享卡的费用为 30元； 合算， (4)点P的坐标是(6,3). (2)由题意可得，打折前的每次健 5.(1)设ym=kx,根据题意得5k 2.(1)设甲气球的函数解析式为：y 身费用为15÷0.6=25（元），则 =100,解得k=20,.ym=20x; =kx十b,乙气球的函数解析式 k2=25×0.8=20; 设yz=k2x+100,根据题意得： 为：y=mx+n,分别将(0,5)， (3)选择方案一所需费用更少.理 20k2+100=300,解得k2=10, (20,25)和(0,15)，(20,25)代入 由如下：由题意可知，y=15x+ .yz=10x+100; 得/65 n=15 30,y2=20x.当健身8次时，选择 (2)①ym<yz,即20x<10x+ 20k+b=25'20m+n=25 方案一所需费用：y=15×8十30 100,解得x<10,当入园次数小于 =150(元)，选择方案二所需费 10次时，选择甲消费卡比较合算； 解得： k=1m=立，甲气球 b=5 用：y2=20×8=160(元)>y, (n=15 ②y甲=yz,即20x=10x+100, 选择方案一所需费用更少 解得x=10,当入园次数等于10 的函数解析式为：y=x十5(0≤x 5.(1)30.5 次时，选择两种消费卡费用一样； ≤60)，乙气球的函数解析式为：y (2)当10<60时，设y关于x ③ym>yz,即20x>10x+100,解 1 x+15(0≤x≤60)； 的函数解析式为y=ax+b, 得x>10,当入园次数大于10次 (2)当x大于20时，两个气球的 10a+b=30 a=-0.5 解得， ,即 时，选择乙消费卡比较合算. 海拔高度可能相差15m,且此时 60a+b=5 b=35 6.(1)当游泳次数为x时，方式一费 机器工作时y关于x的函数解析 用为：y=30x+200,方式二的费 甲气球海拔更高，x十5一 zr+ 式为y=-0.5.x+35(10<x≤60)： 42