专练31 分类讨论思想&专练32 整体思想-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

31 专练31线段计算中的数学思想（二）分类讨论思想 【方法规律】几何问题中没给出图形，或给出图形但已知点的位置没给出来，这时往 往考虑分类讨论求解. ③典倒导练 示范题 已知点A,B,C在一条直线上，点M是线段AC的中点，BC=AB,AM= 6cm,求AB的长. 【思路点拨】根据中，点定义求得AC,设BC=xcm,则AB=5xcm,分两种情况：点C 在线段AB上；，点C在线段AB的延长线上.分别列出方程便可求得结果 【自主解答】 之知能检测 如图，已知点C在线段AB上，AB=30cm,AC=12cm,点M,N分别是AB,BC的中点. CM N B (1)MN的长为cm. (2)若点P在直线AB上，且PA=2cm,点Q为BP的中点，求QN的长. 32 专练32线段计算中的数学思想（三）整体思想 【方法规律】在求线段长度时，若已知条件个数少于未知量的个数，或动，点运动问题 中，部分线段的长是不确定的量，往往设参数，运用整体法求线段长， ③典例导练 示范题 如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AC =m,求MN的长度. M C N B 【思路点拨】根据线段中点的定义和线段的和差以及整体代入思想，即可得到结论， 【自主解答】 之知能检测 1.如图，B,D两点均为线段AE上的动点，若AE=12,BD=5,求图中所有线段的和. B D E 2.如图，点E、F是线段AB上的两，点，点E、F分别是AC、BD的中点，若AB=,CD= n,请用含m,n的式子表示线段EF的长. A EC D F B商品的每个进价分别是x元和×(x一800)=420，解得：x=3800. (30+x)元，4(30十x)十5.x=570, 答：这笔稿费为3800元. 解得x=50, 专练27特殊法解二元一次 答：毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品 方程组 的每个进价分别是80和50元. 典例导练 (2)设毛绒公仔买了x个，80x+ ②-①得：x+y=1,变形得x=1 50(60-x)=4200,解得x=40, -y③，将③代入②得：2025(1-y) 设3D钥匙扣的每个售价为y元， +2026y=2,解得：y=-2023,把y 由题意得：(100-80)×40+20(y =一2023代入③得：x=2024,则方 50)=4200X25%,解得y=62.5. x=2024 程组的解为 答：每个3D钥匙扣的售价为625元 1y=-20231 专练25一元一次方程的实际 知能检测 应用（四）几何图形问题 1.设x十y=m,x一y=n,原方程组 典例导练 m+=1 m=3 设计的长边不符合实际情况，理 可化为 3+2 ,解得 n=0 由如下：设篱笆的长为xm,宽为 2m-3m=6 (x-5)m,由题意得，x+2(x-5) 即/x+y=3 x= 3 2 =35,解得x=15,.15>14,.设 y=0解得 .原 计的长边不符合实际情况， y-2 知能检测 3 号xamxm(号x+1)am x一 方程组的解为 (2)由题意可得：号x+100=4× y2 15x-2y=3 2.由已知可得 (2×合x+27）解得x=21. 1x-4y=-3' 解得 答：天头长为24cm. 一起二代入下的两个 专练26一元一次方程的实际 方程组成的方程组 /mx+5y=4 应用（五）分段计费问题 5.x+y=1 典例导练 m+5=4 m=-1 (1)48 得 解得 5+n=1 n=-4 (2)设三月份用水xm3,则四月份 3.2:3:1 用水(15-x)m3.①四月份用水超 专练28 二元一次方程组的应用（三） 过6m3不超出10m3.2x+6×2+ 利润、方案问题 4(15-x-6)=44.解得：x=2.. 典例导练 15-x=13(不符合题意，舍去)； (1)设1辆A型车载满货物一次 ②四月份用水超过10m3.2x+6 可运货x吨，1辆B型车载满货物 ×2+4×4+(15-x-10)×8= 次可运货y吨，依题意得： 44.解得：x=4.∴.15-x=11. 2.x+y=13 /x=4 综上，三月份用水4m3,则四月份 x+2y=14:解得： y=5 用水11m3 答：1辆A型车载满货物一次可 答：三月份用水4m3,则四月份用 运货4吨，1辆B型车载满货物一 水11m3. 次可运货5吨： 知能检测 (2)依题意得：4a十5b=45,.∴.b=9 (1)224(2)440 4 (3)设稿费为x元，由题意得：14%一5a,又“a,b均为自然数， 6 |a=0 AB=号AB∴AB=-25 3种租车方案，方案1：租用9辆B 专练30线段计算中的数学 型车，所需总租金为150×9= 思想（一）方程思想 1350(元)；方案2：租用5辆A型 典例导练 车，5辆B型车，所需总租金为 设每一份为x,则MB=2x,BC= 110×5+150×5=1300(元)；方 3.x,CN=4x,因为MN=36cm,所 案3：租用10辆A型车，1辆B型 以2x十3x+4x=36,解得x=4, 车，所需总租金为110×10+150 所以CN=4×4=16(cm),因为P ×1=1250(元)..1350>1300>： 是MN的中点，所以PN=号MN 1250,∴.最省钱的租车方案为：租 用10辆A型车，1辆B型车，最 -号×36=18(cm),所以PC- 2 少租车费为1250元. PN-CN=18-16=2(cm). 知能检测 知能检测 145 1.C 专练29与线段有关的计算 2.(1)DB=1. 典例导练 (2)设BD=x,则AB=4x,CD :AB=20,BC=号AB.DA=号 =3.x,所以BC=DC-DB=3x -x=2.x,所以AC=AB+BC AB,∴.BC=10,DA=30,AC=30, =4x十2.x=6x,因为点E为线 ,M是DA的中点，N是AC的 中点， 段AB的中点，所以BE-=号AB M=号DA=15,NM=号AC =号×4女=2x,所以BC=BE+ =15,.MN=MA+NA,∴.MN BC=4x=12,解得x=3,所以AC =30. =6x=6×3=18. 知能检测 专练31线段计算中的数学 1.AD-AC.:DC-- 思想（二）分类讨论思想 典例导练 而C是线段AB的中点，.AC AM=6cm,点M是线段AC的 =合AB.DC=号×号AB= 中点，∴.AC=12cm,设BC=xcm, 则AB=5.xcm 号AB,又：CE-DE-DC∴CE ①当C在线段AB上时，AC=AB- =号AB-号AB=号AB-号 BC=5x-x=4x,∴.4x=12,'.x= 3,∴.AB=5x=15; 24=8,故线段CE的长为8cm ②当C在线段AB的延长线上 2..AC:BC=3:2,AC+BC= 时，AC=AB+BC=5x+x=6.x, AB.:AC-AB. ∴.6x=12,x=2,.AB=5x=10. 综上，AB=10cm或15cm. ,E为AC的中点，∴.AE=CE 知能检测 -合AC-号AB.:点D为ABID6 (2)分两种情况：当点P在线段 的中点，.AD= 合AB,:ED AB上时，如图1： =5,ED=AD-AE=号AB AP C MO N 图1 65 ,PA=2cm,AB=30cm,∴.BP=(2)①当点P在点A左侧时，PA AB-AP=30-2=28(cm),.点 <PB,不合题意，舍去；②当点P Q为BP的中点， 位于A、B两点之间时，因为PA= .QB-BP-14em.B- 2PB,所以x十1=2(3-x),所以x 9cm,..QN=QB-BN=5cm; 号：③当点P位于点B右侧时， 当点P在线段BA的延长线上：因为PA=2PB,所以x十1=2(x 时，如图2： 3).所以x=7.故x的值为号或7 PA C OM B 图2 (3)t秒后，点A的值为(-1-t), '.'PA=2cm,AB=30cm, 点P的值为2t,点B的值和(3+ ∴.BP=AB+AP=30+2= 3t),所以3PB-PA=3(3+3t 32cm,,点Q为BP的中点， 2t)-[2t-(-1-t)]=9+3t QB=号BP=16cm,:BV (2t+1+t)=9+3t-3t-1=8.所 以3PB一PA的值为定值，不随时 9cm,∴.QN=QB-BN=7cm.综间变化而变化. 上所述，QN的长度为5cm或7cm. 知能检测 专练32线段计算中的数学 思想（三）整体思想 专练34与角有关的计算 典例导练 典例导练 ,M是AB的中点，N是CB的中点，因为∠BOD=90°，∠COD=25°， f号A.BN=2CB.AC=m 所以∠BOC=65°，因为OC平分 /BOE,所以/COE=/BOC= :=MBN=合AB-吉C- 65°，因为∠COD=25°，所以 ∠DOE=40°，所以∠AOD=1801 (AB-BC)-7AC-- 1 n. -∠DOE=180°-40°=140°. 知能检测 知能检测 1.因为AE=12,BD=5, 1.12130 所以所有线段的和为AB+AD2.(1):∠B0C=100,∴∠AOC= +AE+BD+BE+DE=(AB 180°-100°=80°，.OM平分 +BE)+(AD+DE)+AE+ ∠A0C.∠coM=2∠AC- BD-AE+AE+AE+BD-12 40°，，∠COD=90°，.∠MOD= +12+12+5=41. 90°-∠COM=50°. 2.,点E、F分别是AC、BD的中 (2),∠BOP与∠AOM互余， 点，CE=AC,DF=BD, ∴.∠BOP+∠AOM=90°， .AB=m,CD=n,.'.AC+BD= .∠AOB=180°，∴.∠MOP= m-n.:.CE+DF-j(m-. 180°-90°=90°，，OM平分 .EF=CE+DF+CD,∴.EF ∠A0C ∠AOC,∠COM=号 1 =40°，∴.∠COP=∠MOP =2(m-n)+n=2(m+n）. ∠COM=90°-40°=50°. 专练33线段计算中的数学 专练35余角与补角 思想（四）数形结合思想 典例导练 典例导练 (1).直线AB,CD相交于点O, (1)-13 ∴.∠AOC和∠BOD与∠AOD互 %