4.5 角的比较与补（余）角-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

∠EAC,∠BAC ∠A'BC+∠A'BD= 14.解：如图所示：作∠1=60°，∠2 =30°，两射线相交于P点，则 克∠ABA+7∠ABE, 点P即为所求， 因为A、B、E三点共线，所以 15.解：画图如下： ∠ABE=180°，所以∠CBD= C/B ∠A'BC+∠A'BD 0 合（∠ABA+∠ABE)=司 E ∠ABE=90°. (1)图中有4个平角. 15.解：(1)∠AOB=90°，OC, (2)小于平角的角有8个.分 OD是∠AOB的两条三分线， 别是∠AOB,∠BOC,∠AOC, ∠COD,∠DOE,∠AOE, ∴∠c0D-3∠A0B=30 ∠BOD,∠BOE. (2)当OA是∠COD'的三分 16.(1)3(2)6(3)10 线，且∠AOD>∠AOC时， (4)解：角的个数为：1+2+3 ∠AOC=10°， +4+…+(n+1)= ∴.∠D0C=30°-10°=20°， m+1)n+22(个). ∴.∠D0D'=20°+30°=50°. 2 .n=50. 4.5角的比较与补（余）角 第2课时 补角和余角 第1课时角的比较 1.B2.B3.D4.D 1.D 2.(1)=2.< 5.(1)14920 3.(1)BOC (2)BOC (3)COD (2)54°36 (4)AOB (5)AOD AOB COD 6.C 4.C5.A 7.(1)同角的余角相等 6.(1)18010'14" (2)19°58'32" (2)等角的补角相等 (3)24937'8”(4)1225 8.B9.A10.C 7.解：∠COD=∠AOC+∠BOD11.①②④ 12.759 -∠AOB 13.解：设∠BOE=x,则∠EOC= =90°+90°-165°=15° 2.x,∠BOC=3.x,∠AOB= 8.D9.C10.A 180°-3.x 11.28或112°12.< 因为OD平分∠AOB,所以 13.解：设∠AOB和∠AOD分别 为(2x)°，(7x)°， ∠B0D=180-30d 由题意得2x+100=7x, 因为∠BOE+∠BOD= 解得x=20, ∠DOE 所以∠AOB=40°，∠AOD 即x+号(180-3x)=72,解 140°，∠BOC=∠AOC ∠AOB=60°，∠COD 得x=36 故∠EOC=2.x=72 ∠BOD-∠BOC=40°. 14.解：(1)根据题意得：∠AOM= 14.解：90°，理由：由题意，得∠A 71°，∠BON=45°，.∠AOM BC=∠ABC- 2∠ABA', 与∠AOE互余，∴.∠AOE= 90°-71°=19°， ∠A'BD=号∠ABE,所以 ∴.∠AOB=∠BON+∠NOE 55 +∠AOE=45°+90°+19°= ∴.∠EOB+∠BOD= 154°， 2 .OC平分∠AOB, (∠AOB+∠BOC), ∠B0C=2 ∠AOB= -X 即∠EOD-合 ∠AOC,∴. 154°=77. ∠AOC=2∠EOD, (2)∠NOC=∠BOC-∠BON ,∠EOD+∠AOC=210°，. =77-45°=32°. ∠EOD=70°， 答：车站D位于学校北偏东 又：∠EOB=45°，∠BOD=70 32°. -45°=25°， 15.解：(1)因为∠AOD=90°+ ∴.∠BOC=2∠BOD=50° ∠BOD,∠BOC=90°+：3.解：设∠AOB=2a,则∠BOC= ∠BOD,所以∠AOD 3a,∠C0D=4a, ∠BOC. ,OM,ON分别平分∠AOB与 因为∠AOC+90°+∠BOD+ ∠COD, 90°=360°， ∴.∠BOM= 1 ∠AOB=a, 所以∠AOC+∠BOD=180°. (2)成立.理由： 因为∠AOD=90°-∠BOD, ∠C0N=号∠c0D=-2a. ∠BOC=90°-∠BOD,所以 ,∠MON=∠MOB+∠BOC ∠AOD=∠BOC. +∠CON, 因为∠AOC=90°+∠BOC, ∴.a+3a+2a=84°， ∠BOC=90°-∠BOD,所以 ∴.a=14°，.∠BOD=∠BOC ∠AOC=90°+90°-∠BOD, +∠COD=3a+4a=7a, 所以∠AOC+∠BOD=180°. ∴.∠BOD=98. 第3课时用尺规作角 4.略 1.D2.A3.C4.64° 章未考点整合与素养提升 5.略6.略7.略 1.D2.1912 4 专题九角的有关计算 3.(1)两点之间，线段最短 1.解：.∠AOB=43°，∠BOC= 4.C5.D6.407.98°40 8624', 8.略 ∴.∠AOC=43°+86°24'=129° 9.C10.B11.C12.C13.A 24', 14.把弯曲的公路改直，就能缩短 .OD平分∠AOC, 路程（答案不唯一） ∴∠A0D-号∠A0C-12921'÷ 15.解：(1)若以B为原点，则C表 示1，A表示-2， 2=6442, .p=1+0-2=-1: '.∠BOD=∠AOD-∠AOB 若以C为原点，则A表示一3， =64°42-43=-21°42'. B表示-1， 2.解：，OE,OD分别平分∠AOB, ∴.p=-3-1+0=-4; ∠BOC: (2)若原点O在图中数轴上点 ∴.∠EOB= ·∠AOB=45°， C的右边，且CO=28,则C表 示-28，B表示-29，A表示 ∠BOD-2∠BOC, -31, 56 ∴.p=-31-29-28=-88. 5.②③①6.72 16.(1)135°(2)112.5°135 7.解：此调查结果不可以用扇形 (3)解：∠AOC+∠BOD的度 统计图来表示.因为34.4%+ 数不发生变化.理由如下： 31.8%+28.0%+27.5%= .∠AOC=∠AOB+∠COB, 121.7%≠1. ∴.∠AOC+∠BOD=∠AOB8.C9.37770 +∠COB+∠BOD=∠AOB10.解：(1)120； (2)72°： +∠C0D=90°+45°=135°， (3)70400(人). ∴.∠AOC+∠BOD的度数不 所以估计测试成绩合格以上 发生变化 (含合格)的约有70400人. 第5章数据的收集与整理 11.解：(1)22÷11%=200（人）， 5.1数据的收集 答：参与调查的学生总数为 1.C2.D3.C4.A5.B 200人； 6.①7.D8.B9.C (2)200×24%=48(人)， 10.解：(1)问卷调查；(2)查询 答：最喜爱“开合跳”的学生有 资料；(3)试验；(4)访问； 48人： (5)观察， (3)最喜爱“健身操”的学生数 11.解：(1)适合抽样调查，因为调 为200-59-31-48-22=40 查具有破坏性。 (人)， (2)适合全面调查，因为考察对 8000X40 =1600(人)， 象数量适当，并且易于调查. 200 (3)适合抽样调查，因为考察 答：最喜爱“健身操”的学生数大 对象较多，且费时、费力 约为1600人. (4)适合抽样调查，因为考察 5.3用统计图描述数据 对象的数量巨大，具费时、且 1.C2.A3.条形 有破坏性等。 4.D5.A6.C 12.解：(1)总体：10万个零件的耐 7.(1)略(2)补图略. 高温性；个体：每个零件的耐 (3)估计八年级及格人数为 高温性；样本：100个零件的耐 1000×4+10+8=880(人)： 25 高温性；样本容量：100； (4)扇形. (2)总体：某幼儿园全体幼儿8.C9.扇形 的健康状况；个体：每个幼儿 10.解：(1)绘图略 的健康状况；样本：50名幼儿 (2)本题也可以用扇形统计图 的健康状况；样本容量：50. 来表示各个分数段的人数占 13.解：(1)全面调查（普查）； 总人数的比例，如图，但不适 (2)每周做3小时的人最多， 合用折线统计图，因为所给的 做0小时和1小时的人最少； 数据是不同分数段的人数. (3)这个班的同学每周做家务 11.(1)200 的时间大部分在2一3小时，有 的甚至一点也不做，我感到我 (2)360°×，36 200-64.8 们中学生做家务的时间太少 所以“天天参与”对应扇形的 5.2数据的整理 圆心角的度数为64.8°； 1.D2.D3.A4.B (3)1800×83%=1494(人)， 6291 4.5角的比较与补（余）角 第1课时 角的比较 01基础达标 6.计算： 知识点一角的比较 (1)153°29'42"+26°40'32"= 1.在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,那 (2)11036'-9037'28"= 么下列式子正确的是 (3)62°24'17"×4= A.∠AOB<∠AOC (4)37°15÷3= B.∠BOC<∠AOC C.∠COB>∠AOC D.∠AOB>∠AOC 7.如图，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD= 2.用“<”、“=”或“>”号填空： 90°，求∠COD的度数. (1)若∠a=∠3，∠B-∠Y,则∠a ∠Y. (2)若∠1十∠2=70°，∠3十∠2=100°，则∠1 ∠3. 知识点二角的平分线及角的运算 3.按图填空： (1)∠AOC=∠AOB+∠ (2)∠BOD=∠COD+∠ (3)∠AOC=∠AOD-∠ 02能力提升 (4)∠BOD=∠AOD-∠ 8.用一副三角板不能画出下列哪组角 ( (5)∠BOC=∠ A.45°，30°，90 B.75°，15°，135° ∠ C.60°，105°，150° D.45°，80°，120° 9.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确 的有 () ①AD平分∠BAE;②AF平分∠EAC;③AE 第3题图 第4题图 平分∠DAF;④AF平分∠BAC;⑤AE平分 4.如图，点O在直线AB上，射线OC平分 ∠BAC. ∠BOD,若∠COB=35°，则∠AOD等于 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ( A.35 B.70° C.110° D.1459 5.如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的 度数是 ( D A.15° 第9题图 第10题图 B.20° 10.如图，∠AOB=∠COD=90°，OE平分 C.30° ∠BOD.若∠AOD:∠BOC=5:1,则∠COE D.70 的度数为 () A.30°B.40° C.50° D.60° 92 11.已知∠AOB=70°，以O为端点作射线CC,使 03， 思维拓展 ∠AOC=42°，则∠BOC的度数为 15.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成度 12.如图所示的小正方形组成的网格中，点A,B, 数比为1：2的两个角的射线，叫作这个角的三 C,D,O均在格点（网格线交点）上，那么 分线.如图1，∠AOB=90°，OC,OD是∠AOB ∠AOC_∠BOD(填“>”、“<”或“=”). 的两条三分线 (1)求∠COD的度数. (2)如图2，以点O为中心，将∠COD顺时针 旋转n°得到∠COD',当OA恰好是∠C'OD 13.如图所示，已知∠AOC=∠BOD=100°，且 的三分线且∠AOD'>∠AOC'时，求n的值 ∠AOB:∠AOD=2:7,求∠BOC和∠COD 的度数。 14.如图所示，将书面折过去，该角顶点A落在 A'处，BC为折痕，BD为∠A'BE的平分线， 则∠CBD等于多少度？试说明其中的道理. 93 第2课时 补角和余角 01基础达标 7.如图，在横线上填上适当的性质： 知识点一互余和互补 1.若∠A=53°20'，则∠A的补角的度数为 A.3640 B.126°40 C.127°40 D.146°40 (1) (2) 2.下列说法中，正确的是 ( (1)若∠AOC=∠BOD=90°，则∠1=∠2，依 A.若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3 据是 互为补角 (2)若∠1=∠2，则∠3=∠4，依据是 B.如果一个角有余角，那么这个角必是锐角 C.互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角 易错点找余角或补角时漏解 D.两个锐角一定是互为余角 8.如图所示，∠AOC=∠BOC=90°，∠AOD= 3.用量角器度量∠AOB如图所示，则∠AOB的 ∠COE,则图中互为余角的共有 补角是 ( ) A.5对 A.45° B.55° C.125 D.135° B.4对 C.3对 D.2对 02能力提升 第3题图 第4题图 9.如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中α 4.如图，∠1和∠2都是∠α的余角，则下列关系 和B互为余角的是 不正确的是 A.∠1+∠a=90° B.∠2+∠a=90 C.∠1=∠2 D.∠1+∠2=90 5.(1)如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1 =59°20'，那么∠3= (2)若∠1与∠2互余，且∠1：∠2=3：2，则∠1 ,∠2= 知识点二余角、补角的性质 D 6.若∠a十∠3=90°，∠叶∠y=90°，则∠a与∠y 10.如图，∠1=15°18，∠AOC=90°，则∠2的度 的关系是 数为 A.互补 B.互余 A.74°42 B.1518 C.相等 D.∠=90°+∠y C.105°18 D.164°42 94 第10题图 第12题图 11.若∠α和∠3互补，且∠a>∠β，则下列表示角 的式子中：①90°-∠3②∠a90°，③号（∠a+ ∠；④2（∠&一∠）能表示∠B的余角的是 (填写序号) 12.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， BD,BE为折痕，并使BA',BC在同一直线 03思维拓展 上.若∠ABE=15°，则∠DBC为 15.如图1，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处 13.如图，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是 ∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE= 2∠B0C,∠D0E=72,求∠B0C的度数 图1 图2 (1)∠AOD和∠BOC相等吗？∠AOC和 ∠BOD在数量上有何关系？请说明理由. (2)若将这一副三角尺按如图2所示摆放，三 角尺的直角顶点重合在点O处，上述关系还 成立吗？请说明理由. 14.如图，O点是学校所在的位置，A小区位于学 校南偏东71°，B小区位于学校西北方向，在 A小区和B小区之间有一条公路OC(射线 OC)平分∠AOB, (1)求∠BOC的度数. (2)公路OC上的车站 B D相对于学校O的方 西 位是什么？ 0 A M 南 95 第3课时 用尺规作角 01基础达标 A.①表示点O B.②表示OP 知识点用尺规作角 C.③表示OQ D.④表示射线EF 1.下列作图属于尺规作图的是 4.如图，已知∠AOB,以点O为圆心，以任意长 A.用量角器画出∠AOB的平分线 为半径画弧①，分别交OA,OB于点E,F,再 B.画线段MV=3cm 以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧① C.用三角尺过点P作直线AB的垂线 于点D,画射线OD.若∠AOB=32°，则∠BOD D.已知∠a,用直尺和圆规作∠AOB,使 的度数为 ∠AOB=2∠a 2.如图所示的是已知∠BAC,求作∠EDF= ∠BAC的作图痕迹，则下列说法正确的是 02能力提升 5.如图，以B为顶点，射线BC为一边，在直线 BC的上方，用直尺和圆规作∠CBE,使∠CBE A.因为边的长度对角的大小无影响，所以BC =∠CAD(不写作法，保留作图痕迹). 弧的半径长度可以任意选取 D B.因为边的长度对角的大小无影响，所以GH 弧的半径长度可以任意选取 C.因为边的长度对角的大小无影响，所以FE 弧的半径长度可以任意选取 6.如图所示，已知∠α和∠3，利用尺规作∠BOD D.以上三种说法都正确 =2∠α十∠β（不写作法，保留作图痕迹） 3.用尺规作一个角等于已知角.已知∠AOB,求 作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB.作法如下： (1)作射线EG: (2)以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于 点P、交OB于点Q: (3)以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于 点D; 7.如图所示，光线CO照射到平面镜AB上的点 (4)以，点D为圆心，以③为半径画弧交前面的 O处，请用尺规作出光线CO经过平面镜反射 弧于点F; 后的光线.（保留作图痕迹，不写作法） (5)作④，∠DEF即为所求作的角. 以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是 96 专题九 角的有关计算 类型一角平分线的有关计算 类型二方程思想 I.单角平分线问题 3.如图，已知∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4, 1.如图，∠AOB=43°，∠BOC=86°24'，OD为 射线OM,ON分别平分∠AOB与∠COD, ∠AOC的平分线，求∠BOD的度数. ∠MON=84°，求∠BOD的度数， Ⅱ.双角平分线与整体思想 2.如图，OE,OD分别平分∠AOB,∠BOC, ∠AOB=90°，若∠EOD+∠AOC=210°，求 类型三分类讨论思想 ∠BOC的度数. 4.如图，OC是∠AOB的平分线. (1)当∠AOB=60°时，求 ∠AOC的度数. 0 (2)在(1)的条件下，∠EOC=90°，请在图中补 全图形，并求∠AOE的度数。 (3)当∠AOB=a,∠EOC=90°时，直接写出 ∠AOE的度数.（用含a的式子表示）