3.5 二元一次方程组的应用-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

3.5二元一次 第1课时比赛广 01基础达标 知识点一比赛问题 1.李卫同学是校男篮球队的主力，在一次比赛 中，他一人得了23分，其中他投进的2分球 比3分球多4个，且他没有罚球机会，那么他 一共投进了2分球 () A.3个 B.7个 C.4个 D.8个 2.在全国足球A级的前11轮（场）比赛中，大连 实德队连续不败，共积23分，按比赛规则，胜 一场得3分，平一场得1分，那么该队平了 () A.8场 B.7场 C.6场 D.5场 3.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5 分，答错或不答都扣3分，小明考了68分，那 么小明答对了多少道题？ 知识点二行程问题 4.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑 5秒就可追上；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒 就可追上，若设甲的速度为x米/秒，乙的速 度为y米/秒，则下列方程组正确的是() 5x-5y=10 5x=5y+10, A. B. 4x-2=4y 4x=4y+2y C./5x-5y=10, D.J5x+10=5, 4x-2x=4y (4x-4y=2 74 方程组的应用 可题与行程问题 5.一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行 65千米需要5小时，若设船在静水中的速度 为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则 x,y的值为 A.x=13,y=2 B.x=14,y=1 C.x=15,y=1 D.x=14,y=2 6.小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀 速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的 数如下： 时刻 12:00 13:00 14:30 是一个两 十位与个位数 比12：00时 碑上 位数，数 字与12：00时 看到的两位 的数 字之和为 所看到的正好 数中间多了 6 颠倒了 个0 则12：00时看到的两位数是 ( ) A.24 B.42 C.51 D.15 02能力提升 7.某次知识竞赛共出了25个试题，评分标准如 下：答对1题加4分，答错1题扣1分，不答 记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2 个，他的总分为74分，则他答对了() A.18题 B.19题C.20题 D21题 8.已知某座桥长1000米，现有一列火车从桥上 通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用 了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40 秒，则火车的速度和车长分别是 () A.20米/秒，200米 B.30米/秒，300米 C.15米/秒，180米D.25米/秒，240米 9.在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游 戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分 不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆 75 外部分（掷中一次记一个点）现统计小华、小 明和小芳掷中与得分情况，如图所示，依此方 法计算小芳的得分为 分」 @ 小华：77分 小明：75分 小芳：分 10.一列载客火车和一列运货火车分别在两条平 行的铁轨上行驶，载客火车长150m,运货火 车长250m.若两车相向而行，从车头相遇到 车尾离开共需10s;若载客火车从后面追赶运 货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超 过运货火车共需100s.试求两车的速度， 11.一艘轮船在相距90km的甲、乙两地之间匀 速航行，从甲地到乙地顺流航行用6h,逆流 航行比顺流航行多用4h. (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度； (2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮 船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航 行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 03思维拓展 12.某次知识竞赛有20道必答题，每一题答对 得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题， 每一题抢答正确时得10分，抢答错扣20 分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决 赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只 答错了1题， (1)甲队必答题答对答错各多少题？ (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到 了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员 小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的 话不一定对！”请你举一例说明“小黄的话” 有何不对. 第2课时百分比 01基础达标 知识点一百分比问题 1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市 场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%， 调价后两种商品的单价和比原来的单价和提 高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分 别为x元、y元，则下列方程组正确的是 A.r+y=100 ((1+10%)x+(1一40%)y=100(1+20%) B/+y=100 (1一10%)x+(1+40%)y=100×20% x+y=100 C. (1-10%)x+(1+40%)y=100(1+20%) x+y=100 D. (1+20%)x+(1-40%)y=100×20% 2.甲、乙两仓库共存粮450吨，甲仓库运出60%， 乙仓库运出40%，结果乙仓库所余的粮食比甲 仓库所余的粮食多30吨，若设甲仓库原有粮 食x吨，乙仓库原有粮食y吨，则可列方程组 为 3.用含糖为30%和80%的两种糖水，混合制成含 糖为60%的糖水500克，则需用含糖30%的糖 水 克，含糖80%的糖水 克 4.某村今年烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加 了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬 菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶 和蔬菜种植面积共达到了4200亩.问该村去 年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？ 76 问题与分配问题 知识点二分配问题 5.七(1)班有54名同学参加学校运动会会场布 置，每一位同学可搬2张椅子，2名同学可抬一 张桌子，则在一次搬运过程中应安排 名 同学搬椅子， 名同学抬桌子，正好桌椅 配套.(1张桌子，配2张椅子) 6.机械工厂加工车间有85名工人，平均每人每 天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2 个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，若安 排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工 小齿轮，为能使每天加工的大、小齿轮刚好配 对，则每天能配成 对. 02能力提升 7.为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研 究所随机地调查了10000人，并进行统计分 析，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2. 5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸 烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数 多22人，如果设这10000人中，吸烟者患肺 癌的人数为x,不吸烟者患肺癌的人数为y, 根据题意，下面列出的方程组正确的是 ( x-y=22 A. (x×2.5%+y×0.5%=10000 x-y=22 B.x十 (2.5%+0.5%=10000 y x+y=10000 C. xX2.5%-y×0.5%=22 x+y=10000 D. y 2.5%0.5%=22 77 8.在一次美化校园的活动中，先安排30人去拔 草，16人去植树，后又增派20人去支援他们， 结果拔草的人数是植树人数的2倍，则支援 拔草和植树的人数分别是 () A.44,22B.14,6C.12,8 D.6,14 9.某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增 加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口 将增加1%，求这个城市现在的城镇人口和农 村人口.设现在的城镇人口为x万人，农村人 口为y万人，那么xy的值为 () A.1:2B.2:1 C.3:2 D.2:3 10.一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成，已知 1m3木料可做桌面50个或桌腿300根，现 有5m木料，恰好能做桌子 张。 11.金银放在水里称重时，分别要减轻本身的重 量的日，一块金与银的合金重530克在 水里称重时，减轻了35克，则这块合金含金 克，银 克. 12.某商场去年的总销售额比总支出多600万 元，由于今年销售活动开展广泛，销售额比 去年增加10%，总支出比去年节约6%，因 此，今年总销售额比总支出多1000万元，那 么今年的总销售额和总支出各是多少万元？ 03思维拓展 13.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，若同 时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1600 名学生就餐；若同时开放2个大餐厅、1个小 餐厅，可供2000名学生就餐. (1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少 名学生就餐？ (2)按照疫情防控的就餐要求，每个大餐厅 只能容纳原来就餐人数的40%，每个小餐厅 只能容纳原来就餐人数的30%，若同时开放 7个餐厅，能否供返校的1800名毕业生同时 就餐？请说明理由，15000, 解得x=12. 解得：x≈11806； 合作12天完成，能履行合同. x(1+4.60%×6)=15000, (2)设两人合作a天完成工程 解得：x≈11755， 的75%.则 .11806>11755, 按方式(2)开始存入的本金 品十号-，解得u=9, 比较少 若调走甲乙还蛋}分5天： 15.解：设产品每件的成本价应降 低x元 若调走乙甲还动天， 列方程： 若调走乙则无法在规定天数内 [(1-4%)×510-(400-x)] 完成任务，所以调走甲更合适 ×(1+10%)m 3.4二元一次方程组及其解法 =(510-400)m 第1课时二元一次方程组 解得：.x=10.4 1.D2.C3.①③②③③ 答：每件的成本价应降低10.4 4.15. |x+y=0 6.B7.D 元 (x-y=4 第3课时产品配套及工程问题 /4y+14=x 8. 9.B10.C 1.(90-x)12.x15(90-x) 15y-26=x 12x=15(90-x)50 2.B3.B 11.x+y=246 12.4 ly=2x-2 40击无+蒂=16 13.解：(1)设购买甲种票x张，乙 种票y张 5.(52+15g9)x=150 |x+y=40 根据题意得10x十8y=370 最+1 (2)设甲原来有书x本，乙原 6.A7.B8.A9.310.4 来有书y本，则 11.解：设安排x名工人生产机 1x-10=y+10, 壳，则安排(28一x)名工人生 x+10=2(y-10) 产机脚， 14.解：将解代入方程中，得2a-2 依题意，得：4×500x=800(28 =b, 一x), 即2a-b=2. 解得：x=8. ∴.4-2a十b=4-2=2. 即安排8名工人生产机壳，安 排20名工人生产机脚， 点年题意，将代人2 12.解：设开始安排x人做 式，得-6+b=-3,解得：b=3, 依题意得2X 80x+8X 1 (x 将/5 代入①式 +5)=是解得x=2. 得5a+8=10,解得，a一号 答：应先安排2人做2h后，再 (2)将a,b代入得 增加5人做8h. 13.解：(1)设合作x天完成.则 (-×3)+(- 品+品1， ) 49 =(-1)2022+(-1)2023 x=5 故原方程组的解为 =1+(-1) y=4 =0. 第3课时加减消元法 第2课时 代入消元法 1.B2.B3.D4.C 1.B 5.①×5-②×3①×3+②×2 2.y= 2x-1 x=1, x=1, 3 x=3y+1 2 6.(1)解： y=1; (2)解： y=2. 3.x-3y=8x=8+3y 7.解：设1台大收割机和1台小 2x+4y=7 y x 收割机每小时各收割小麦x公 4.B5.C 顷和y公顷.根据题意，可列方 x=2, |x=2, 2(2x+5y)=3.6 6.(1)解： (2)解： 程组为 y=1. 15(3.x+2y)=8 7.解：设茶园的面积为x公顷，种 解得x=0.4,y=0.2 粮食的面积为y公顷， 答：略. x+y=54 8.C9.B110.33 由题意得： x=2y-31 11.解： /x=5, 解得x=35,y=19. 1y=7. 答：略. 12.解：设大车一次运货xt,小车 8.C9.B10.-1 一次运货yt,则 x=6, 2.x+3y=34 5.x+6y=76, 解得8， 11.(1)解： - y=6. ∴.3x+5y=24+30=54(t). (2)解：原方程可变形为 答：3辆大车与5辆小车一次 x=3y+11,③ 可运货54t. 2x-5y=-6.④ 18解：A=号，B=寸，C=-5. 1 将③代入④，得2(3y+11) 5y=-6, 1代人方程 14.解：小金：将x=5 解得y=-28. 把y=-28代入③，得x= 5-3=4-a① 组中得：《 73. 5+5=3a② x=-73, 解①得：a=2,解②得：a= 10 .原方程组的解是 3 y=-28. 故小金的说法错误； 12.解：a=-15,b=15. |x+3y=4-a① 13.解：2x-3y+2=0① 小蝶： .x-5y=3a② 5-2x+3y+2y=9②， 7 ①-②得：8y=4-4a, 由①得：-2.x十3y=2③， 解得y2 将③代入②得： 5+2+2y=9, 将y=与代人①得x 7 a+5 解得：y=4, 2 将y=4代入①得：2x-3×4 +2=0, x+y=5+1,4=3, 2 2 解得：x=5, 即不论a取什么实数，x十y的 50 值始终不变， 得/=22， 故小蝶的说法正确。 y=18. 专题七二元一次方程组 答：载客火车的速度是22m 的解法归类专练 s,运货火车的速度是18m/s. 1x=3,① x=2, 1.解： 11.(1)设该轮船在静水中的速度是 y=2.② 2.解： y=3. xkm/h,水流速度是ykm/h. x=5, |x=-5, 3.解： 4.解： 由题意得 y=-2. y=-6. 16(x+y)=90, 5.解：由①得2x+y=6,③ 解得 1(6+4)(x-y)=90, 将③代入@，得号x+号×6 1x=12 6 8,解得x=4. y=3. 把x=4代入③，得2×4+y=6, 答：轮船在静水中的速度是 解得y=-2. 12km/h,水流速度是3km/h. x=4, (2)设甲、丙两地相距akm,由 所以原方程组的解为 y=-2. 题意得， 6.(1)略 -90.4,解得，a=25, 15 9 41 (2)解：拓展提高 设号-1=，号+2=y 答：甲，丙两地相距km |x+2y=4 :12.解：(1)设甲队必答题答对答 方程组变形得 2.x+y=5 错各x道，y道， /x=2 -1=2 根据题意，得 /10x-5y=170 3 x+y=20 解得 即 (y=1 点+2=1 解得x18 1y=2 |a=9 解得 则甲队必答题答对答错各18 b=-5 道，2道 /x=-1 (3) (2)“小黄的话”不对， y=4 理由为：甲队现在得分：170 3.5二元一次方程组的应用 分，乙队得分：19×10-5+10 第1课时比赛问题与行程问题 =195分，有以下两种情况， 1.B2.D 甲队可获胜： 3.解：设小明答对x道题，答错或 不答y道题， ①若第2题乙队抢答错误：则 则/+y=20, 1.x=16 乙得分：195-20=175分，第3 解得 15.x-3y=68, y=41 题甲队抢答正确，则甲队得分 答：小明答对了16道题. 170+10=180分，甲队获胜； 4.B5.B6.D7.B8.A9. ②若第2题乙队抢答错误：则 74 乙得分；195-20=175分，第 10.解：设载客火车的速度为xm/ 3题乙队抢答错误，则乙队最 s,运货火车的速度为ym/s, 后得分：175-20=155分，甲 由题意得 队得分170，甲队获胜. 10x+10y=150+250 第2课时百分比问题与分配问题 100x-100y=150+250, 解1.C 51 2. 校的1800名毕业生同时就餐， x+y=450, 3.6三元一次方程组及其解法 1(1-40%)y-(1-60%)x=301.B2.A3.D4.A 3.200300 4.解：设该村去年种植烟叶x亩， x=2, 蔬菜y亩， 5.(1)解：y=4, (2)解：y=2 由题意可得 x=1. 7 |x+y=4200-800, 1x21 1(1+20%).x+(1+30%)y=42006.52 x=2200, 解得 7.解：设有篮球x个，排球y个， y=1200. 足球之个，根据题意得 答：该村去年种植烟叶2200亩， x=2y-3, x=21, 蔬菜1200亩. 之：y=2:3,解得y=12, 5.18366.2007.B8.B x+y+=41, x=8, 9.A10.15011.380150 则有篮球21个，排球12个，足 12.解：设去年的总销售额是x万 球8个 元，去年的总支出是y万元，8.D9.B10.683 依题意，得 11.3,4,7 x-y=600, x+y-=3, (1+10%).x-(1一6%)y=1000:12.解：解方程组y十之一x=5,得 解得=2725， 2十x-y=7, y=2125. x=5, 所以今年的总销售额为： y=4, (1+10%)x= 110 z=6. 100 ×2725= ∴.5k+2×4-6=7, 2997.5(万元)， ∴.k=1. 而今年的总支出为(1一6%)y 13.解：原来的三位数为253. =94×2125=1997.5(万 14.(1)7310 100 元). (2)不妨设某个格点四边形由 答：今年的总销售额为2997.5 1个小正方形组成，此时，S= 万元，总支出为1997.5万元. 1,N=0,L=4, 13.解：(1)设1个大餐厅可供x ,格点多边形的面积S=aN 名学生就餐，1个小餐厅可供 +6L+c, y名学生就餐，依题意，得： ∴.结合图中的格点三角形ABC 1x+2y=1600 及格点多边形DEFGHI可 x=800 12x+y=200·解得： y=400 a=1 6b+c=2 答：1个大餐厅可供800名学 3a+10b+c=7,解得b= 2 生就餐，1个小餐厅可供400 4b+c=1 c=-1 名学生就餐； 章末考点整合与素养提升 (2)800×5×40%+400×2× 1.②④⑥2.D 30%=1840(名) .1840>1800, 3解：y=总4.C ∴.同时开放7个餐厅，能供返5.解：设应先安排x人工作，根据 52 题意，得 6.5;三角形、正方形、长方形、平 4红+8(x十2=1，解得x=2. 行四边形、圆 40 40 7.D8.D9.B10.36:14:24 答：应先安排2人工作. 11.a de cb 6.C7.C 12.(1)正方形，直角三角形，平行 x=3 四边形，梯形；(2)圆，三角形， 8.解： /x=2 y=1: 解： y= 长方形，梯形 3 13.(1)三面黄色的小正方体在8 y=x+4.5 9.1 个顶点上：共8块；(2)一面黄 |2y=x-1 色的小正方体在6个面上：共 10.解：(1)设成人有x人，学生有 6块；(3)两块黄色的小正方体 y人， 在12条棱上：共12块 由题意得： 14.(1)圆、正方形、半圆、三角形、 /x+y=12 扇形、长方形 135.x+35×0.5y=350 (2)从上到下，依次对折 解得：/8 (3)略. 4 15.略. (2)如果按团体票购买，按16人 4.2线段、射线、直线 计算，共需费用： 1.D2.A3.C4.①5.7 35×0.6×16=336(元)， 6.D7.两点确定一条直线 .336350, 8.(1)A,CB,D(2)ba .购买团体票更省钱 (3)ab 答：略。 9.D10.B11.D3个 11.D12.B13.D14.C15.D 12.经过一点可以画无数条直线 16.解：(1)设这台M型平板电脑 两点确定一条直线 价值x元， 13.364 根据题意得：器(x+150)-7 14.4线段AD、AB、AE、AC2 射线AP、AQ +300, 15.略 解得：x=2100. 16.解：(1)10种不同的票价 答：这台M型平板电脑价值 (2)由于客车是往返行驶的， 2100元： 所以要准备2×10=20种车 (2)由(1)知，一台M型平板电 票 脑价值2100元， 17.(1)①3②6③10 所以工作一个月，她应获得的 (2)n(n1) (3)780 报酬为2100+1500=3600 2 (元)， 4.3线段的长短 因此若工作m天，她应获得的 1.D2.B3.略4.A5.C 6.A 报酬为×3600=120m(元). 30 7.(1)CD BD (2AB CD 第4章几何图形初步 (3BC CD (4CD AD 4.1几何图形 8.D9.B10.2或4 第1课时认识几何图形 11.C12.D 1.B23.略4.C5.A :13.解：连接AC、BD的交点即为 53 P点的位置，图略 14.解：(1)因为AB=8cm,M是 -专CD=1em,所以EF=BE AB的中点， +BC+CF=4cm. 2.解：(1)如图所示： 所以AM=号AB=4cm, B 又因为AC=3.2cm,N是AC BC=1.5cm,DC=6cm. 的中点， (2)点K是线段AB、DC的中 所以AN=2AC-1.6cm, 点 3.解：设AB=2kcm,则BC=4k 所以MN=AM-AN=4-1. cm,CD=3k cm, 6=2.4(cm). AD=2k+4k+3k=9k(cm), (2MN- 因为CD=6cm,即3k=6,所以 15.解：设MC=x, k=2. .MC:CB=1:3,∴.BC=3.x, 所以AD=18cm,又因为M是 MB=4x. AD的中点， M为AB的中点，.AM= 所以MD= 2AD=×18=9 MB=4x. (cm), ∴.AC=AM+MC=4.x+x= 所以MC=MD一CD=9一6=3 20,即x=4. (cm). 所以AB=2AM=8.x=32. 故AB的长为32. 4.(1)5(2)①12或20②6或 10(3)8 16.解：(1)点M为AC的中点， ∴.AC=2AM, 5.解：(1)设x秒后，原点恰好在A, .BM=AB-AM,BC=AB B两点正中间. -AC, 根据题意，得x十3=12-4x,解 ∴.2BM-BC=2(AB-AM) 得x=1.8. -(AB-AC)=AB=12. (2)设t秒后，恰好有OA:OB 故答案为：12. =1：2. (2)成立，如图， ①B与A相遇前：12-4t=2(t C M A +3),即t=1; B ,M是AC的中点，.AC= ②B与A相遇后：4t-12=2(t 2MC, 十3)，即t=9. ∴.2BM-BC=2(BC-MC) 答：1秒或9秒后，恰好有OA: BC=2BC-2MC-BC=BC OB=1:2. -AC=AB=12. 4.4角 故结论仍然成立. 1.C2.BB3.D4.C 专题八线段的计算 5.(1)300.5(2)3606 1.解：因为BC=AC+BD-AD, (3)105 AD=6cm,AC=BD=4cm,所 6.解：(1)3224'36”. 以BC=2cm,AB=AD-BD= (2)5530'.(3)5'. 2cm,CD=AD-AC=2cm,因 7.C8.D9.C10.D11.B 为E、F分别为AB、CD的中12.B 13.∠B,∠C BAE. 点，所以BE=AB=1cm,CP ∠EAD,∠DAC,∠BAD, 54