22.3.2 第2课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似（课件）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，核心知识点为两边成比例且夹角相等、三边对应成比例的判定定理。课堂导入通过复习旧知（定义、两角相等），结合探索活动引导猜想，再经严谨证明形成学习支架，衔接前后知识。 其特色在于以探究式学习（如移动点E观察相似）培养数学眼光，通过证明推理发展数学思维，用符号语言和典例强化数学语言。小结系统归纳定理，助力学生构建知识体系，教师可借助清晰流程和实例提升教学效率。

第 2 课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似 22.3 相似三角形 第22章 图形的相似 2 相似三角形的判定 九年级上册数学（华师版） 现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？ 有两种方法：(1) 根据定义； (2) 两角分别相等的两个三角形相似. 复习回顾 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 1 探索 观察右图，如果有一点 E 在边 AC 上移动，那么点 E 在什么位置时能使△ADE 与△ABC 相似呢? A B C D 探究新知 A B C D 图中△ADE 与△ABC 的一组边 AD 和 AB 的长度的比值为 . 将点 E 由点 A 开始在 AC 上移动，可以发现当 AE = AC 时，△ADE 与△ABC 似乎相似. 此时 E 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. A B C D E 猜想： 证明：在边 AB 或它的延长线上截取 AD = A1B1，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，得△ADE∽△ABC . 下面我们来证明上述猜想. 已知：如图，在△ABC 和△A1B1C1中，∠A = ∠A1， 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. A B C A1 B1 C1 证一证 B1 A1 C1 D E B A C 证明：如图，在边 AB (或它的延长线)上截取 AD = A1B1，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，则 ∴ AE = A1C1 ， 又∵∠A =∠A1，AD = A1B1， ∴ △ADE≌△A1B1C1. ∴ △ABC∽△A1B1C1. △ADE∽△ABC， 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ，∠A =∠A1， ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳总结 A B C A1 B1 C1 例1 如图，已知 AE = 54，BE = 45，CE = 30，FE = 36. 求证：△EBC∽△FEC. 典例精析 证明：∵ 又∵ ∠AEB =∠FEC， ∴△EBC∽△FEC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). A B E F C 45 54 30 36 如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量. A B C D E F 不相似 探究归纳 归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 归纳总结  1. 如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE. ∴△ABC∽△ADE. 证明： 练一练 2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA， ∴ ， ∴ 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 【合作探究】 A B C C′ B′ A′ 2 ∴ DE =B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE ≌ △A′B′C′ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∴ ， . 又 ，AD = A′B′， ∴ ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， C′ B′ A′ B C A D E △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ 归纳总结 利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 知识要点 例2 在△ABC 和 △A'B'C' 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，A'B' = 18 cm，B'C' = 24 cm， A'C' = 30 cm. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明 ∵ ∴△ABC∽△A'B'C' (三边成比例的两个三角形相似). 典例精析 1.如图，已知 ，试说明∠BAD =∠CAE. 解：∵ ， ∴△ABC∽△ADE . ∴∠BAC =∠DAE . ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC， 即∠BAD =∠CAE . A D C E B 练一练 2. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 方法归纳 1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. ∠A = 120°，AB = 3 cm，AC = 6 cm，∠A′ = 120°，A′B′ = 6 cm，A′C′ = 12 cm. ∴A′B′ : AB = A′C′ : AC，∠A =∠A′， ∴△A′B′C′∽△ABC 解：∵A′B′ : AB = 2，A′C′ : AC = 2，∠A =∠A′ = 120°. 当堂练习 (2) AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，A′B′ = 12cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 21 cm 2. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC， CA 的中点， ∴ ∴ 相似三角形的判定定理3:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理: 相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理2:如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似. 注意:对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 当堂小结 $