4.2 整式的加法与减法 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“整式的加法与减法”，通过港珠澳大桥行程问题导入，衔接上节整式概念，以“字母能否相加减”等问题为支架，引导学生逐步掌握同类项、合并同类项及去括号法则。 以“三把钥匙”为线索结构化学习，结合水库水位、商店进货等实际问题培养应用意识，“错因放大镜”和分层检测助力运算能力提升，概念地图与自评表促进知识体系构建，发展抽象能力与推理意识。

人教版数学七年级上册 · 第四章 整式的加减 · 4.2 整式的加法与减法（导学案） 第四章 整式的加减 4.2 整式的加法与减法 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 七年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第四章 整式的加减 · 第 2 节 · 3 课时 · 教材 P95—P102 一、【启程单】本节导航 · 学习目标 第四章开篇的港珠澳大桥问题，到这里还没算完。汽车从香港口岸出发，先走一段口岸到东人工岛的路，再钻进海底隧道，才能到西人工岛。上一节我们把路程、面积、体积这些量写成了 92t、6、π、ab 这样的式子，认清了整式家族；这一节要让它们动起来——像数一样去加、去减。 汽车通过海底隧道需要 a h，这段路程就是 72a km；从口岸到东人工岛需要 1.25a h，路程是 120a km。要知道全程有多长，就得算 72a + 120a。字母能相加减吗？什么样的项才能合到一起？括号又该怎么去掉？这三件事，就是本节要拿到的三把钥匙。 如图4.2-1，汽车从香港口岸到西人工岛，要先后经过口岸到东人工岛、海底隧道两段路程。 图4.2-1 港珠澳大桥的两段路程（120a km 与 72a km） 这一节分 3 课时走。每弄懂一类运算，就在课时表的勾选框里打一个勾；三把钥匙都拿到手，本节就算走完了。 （一）三课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　合并同类项 P95—P98 什么是同类项；合并同类项的法则；先化简再求值；课本 P98 练习 ○ 第 2 课时　去括号 P99—P100 去括号法则（括号前是"+"或"-"）；系数要乘到每一项；课本 P100 练习 ○ 第 3 课时　整式的加减 P101—P102 几个整式相加减的步骤；化简求值；大、小纸盒的用料；课本 P101—P102 练习 ○ （二）学习目标 1. 知道所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项；知道几个常数项也是同类项。 2. 掌握合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 掌握去括号法则：括号前是"+"，去括号后各项符号不变；括号前是"-"，去括号后各项都变号；括号前有数字因数时，要用这个数与括号内每一项相乘。 4. 会进行整式的加减运算：有括号先去括号，再合并同类项；结果常按某个字母降幂（或升幂）排列。 5. 会先化简再代入求值，体会化简给计算带来的简便；能说明一个代数式的值与某个字母的取值无关。 6. 会用整式的加减表示并解决简单的实际问题，比如周长与面积、商店的进货与售货、行程问题。 （三）学习重点与难点 项目 内容 学习重点 同类项的概念与合并同类项法则；去括号法则；整式加减的一般步骤 学习难点 判断同类项时"与系数无关、与字母顺序无关"；括号前是"-"时各项全变号；括号前有系数时逐项相乘；先化简再代入求值 （四）起跑热身 1. 3 与 -5 所含字母都是 a，且 a 的指数都是 2，它们是同类项吗？2ab 与 7ab 呢？ 与 a 呢？____________ 2. 5 与 -7 是同类项吗？____________ 3. 合并：3x + 2x = ____________；5 - 2 = ____________。 4. 去括号：+ (a + b) = ____________；- (a - b) = ____________。 5. 用含字母的式子表示：一本笔记本 x 元，买 3 本要 ____________ 元，再买 2 本要 ____________ 元，两次合起来共 ____________ 元。 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1、2 题在给同类项划标准：字母要一样，相同字母的指数也要一样，跟前面的数字无关，跟字母的先后顺序也无关。第 4 题那两个式子，正是本节第二把钥匙要打开的门。 二、【第一把钥匙】合并同类项 先把 72a + 120a 这个式子看清楚：72a 表示 72 与 a 的积，120a 表示 120 与 a 的积，两个式子所含的字母都是 a，而且 a 的指数都是 1。这样的两个项可以合到一起：72a + 120a = (72 + 120)a = 192a。也就是说，全程是 192a km。 能这样合，靠的是乘法分配律。反过来看，凡是字母部分一模一样的项，都可以把数字因数提出来相加——这就是本节第一把钥匙。 （一）同类项 如图4.2-2，把 3 与 -5 放到一起，它们的字母部分都是 ；把 2ab 与 7ab 放到一起，字母部分都是 ab。 图4.2-2 同类项配对（字母部分相同的放到一起） 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。要特别记住一点：几个常数项也是同类项，比如 5 与 -7 是同类项。 同类项两看：一看字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同。与系数无关，与字母的先后顺序无关。 判断下面的项是不是同类项，把理由写在横线上： 　　① 3y 与 -2y；② 2ab 与 3abc；③ 5 与 -7；④ 与 。 我的判断: 【小贴士】① 里的 y 与 x 只是换了先后顺序，字母相同、相同字母的指数也相同，是同类项；② 字母的个数不同，不是；③ 常数项都是同类项，是；④ 字母虽然相同，但指数不同，不是。 （二）合并同类项法则 如图4.2-3，3x 是 3 个 x，2x 是 2 个 x，合起来就是 5 个 x，所以 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x。 图4.2-3 合并的依据：分配律 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。 合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。 如图4.2-4，合并同类项可以按"找、移、合"三步走。 图4.2-4 合并同类项的三步（找 → 移 → 合） （三）例1（教材 P97）　合并下列各式的同类项 (1) x - x； (2) -3y + 2y + 3x - 2x； (3) 4 + 3 + 2ab - 4 - 4。 我的解答（第 (1)(2)(3) 小题）: 【做法提醒】找同类项时习惯在它下面画同样的记号，记号要连着前面的符号一起画；移到一起要用加法交换律、结合律，符号跟着项走；合并时只把系数相加，字母和指数原样照抄。 （四）例2（教材 P97）　先化简，再求值 (1) 求多项式 2 - 5x + + 4x - 3 - 2 的值，其中 x = ； (2) 求多项式 3a + abc - - 3a + 的值，其中 a = -，b = 2，c = -3。 如图4.2-5，求值有两条路：一条是直接把字母的值代进去算，另一条是先把同类项合并、再代入。 图4.2-5 化简求值的两条路 我的解答（先把化简过程写清楚）: 【方法小结】第 (1) 小题先合并，式子里只剩两项，代入时算得又快又稳；第 (2) 小题更妙：合并后只剩下 abc 一项，代入 a、b、c 就得到 1。先化简再代入，省的不只是步骤。 （五）例3（教材 P97）　用合并同类项解决实际问题 (1) 水库水位第一天连续下降了 a h，平均每小时下降 2 cm；第二天连续上升了 a h，平均每小时上升 0.5 cm。这两天水位总的变化量是多少？把下降的水位变化量记为负，上升的记为正。 如图4.2-6，两天的水位变化量都可以用含 a 的式子表示出来。 图4.2-6 水库水位的两天变化（下降 2 、上升 0.5 ） (2) 某商店原有 5 袋大米，每袋大米 x kg。上午售出 3 袋，下午又购进同样包装的大米 4 袋。进货后这个商店有大米多少千克？把购进的数量记为正，售出的数量记为负。 如图4.2-7，三天的进出可以用三个含 x 的式子表示出来。 图4.2-7 商店大米的进出（原有 5 袋、售出 3 袋、购进 4 袋） 我的解答（第 (1)(2) 小题）: 【易错提醒】这类题的老规矩是：先定正负，再列式，最后合并。两个小题的结果分别是 -1.5a cm 与 6x kg，负号表示水位总的来说是下降的，6x 表示进货后的大米质量。结果里还留着字母，说明答案与 a（或 x）的具体取值无关。 （六）练一练 1. 课本 P98 的练习请照课本逐题作答，题号照课本写。 2. 补充同型练习（自己算，把同类项找出来再合并）： 　　(1) 判断：4y 与 -3y 是同类项吗？-2ab 与 5abc 呢？ 　　(2) 合并同类项：6x - 2x；-5ab + 3ab；2y - 4y + y。 　　(3) 合并同类项：3a + 5b - 2a - 4b。 我的练习答案: 【易错提醒】合并同类项只有一句话要记牢：系数相加，字母和字母的指数不变。最容易错的是只加系数却把指数也加上了，比如把 2 + 3 写成 5——字母和指数是原样照抄的，不参与运算。 三、【第二把钥匙】去括号 第一把钥匙让我们能把同类项合到一起。可很多时候，式子里还带着括号——括号不去掉，就看不清楚谁跟谁是同类项。第二把钥匙，就是把括号去掉。 去括号的依据是乘法分配律：括号前的数要乘遍括号内的每一项。比如 3(x - 0.5) 可以看成 3 乘 (x - 0.5)，把这个积算开就是 3x - 1.5。举一个完整的例子：某文具店笔记本每本 x 元，铅笔每支比笔记本便宜 0.5 元，也就是 (x - 0.5) 元。买 4 本笔记本和 3 支铅笔，一共要 4x + 3(x - 0.5) 元；要把这笔账算下去，就得先去掉 3(x - 0.5) 的括号。 （一）去括号的两条规则 如图4.2-8，括号前是"+"还是"-"，决定了去括号后括号内各项要不要变号。 图4.2-8 去括号的两条规则 括号前是"+"，去括号后原来各项的符号不变；括号前是"-"，去括号后原来各项都变号。也可以这样理解：+(a + b) 就是 1 乘 (a + b)，所以是 a + b；-(a - b) 就是 -1 乘 (a - b)，所以是 -a + b。 括号前是"+"：去括号后各项符号不变；括号前是"-"：去括号后各项都变号。 回到刚才那笔账：4x + 3(x - 0.5) = 4x + 3x - 1.5 = 7x - 1.5。换个角度列式，只算 4 本笔记本与 3 支铅笔的差价 4x - 3(x - 0.5)，去括号后就变成 4x - 3x + 1.5 = x + 1.5。同一对括号，前面是"+"还是"-"，去掉以后完全两样。 （二）系数要乘到括号里的每一项 如图4.2-9，-3(1 - 2y) 里的 -3 是括号前的系数，它要跟括号内的 1 和 -2y 分别相乘。 图4.2-9 系数要乘到括号里的每一项 【易错提醒】括号前有数字因数时，最常见的错误是只乘第一项。检查自己有没有算对，可以数一数：括号内原来有几项，去完括号还应该有那几项，一项都不能少；而且每一项都要把系数乘全，符号也要乘进去。 （三）例4（教材 P99）　化简 (1) 8a + 2b + (5a - b)； (2) (4y - 5) - 3(1 - 2y)。 我的解答（第 (1)(2) 小题）: 【做法提醒】第 (1) 小题括号前是"+"，去掉后照抄原样；第 (2) 小题括号前是 -1 和 -3，去掉时括号内每一项都要变号，-3 还要分别乘到 1 和 -2y 上。去完括号别急着收笔，一定要回头看看能不能再合并同类项。 （四）例5（教材 P99）　两船航行 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是 50 km/h，水流速度是 a km/h。 (1) 2 h 后两船相距多远？(2) 2 h 后甲船比乙船多航行多少千米？ 如图4.2-10，顺水航速 = 船速 + 水速，逆水航速 = 船速 - 水速。 图4.2-10 两船反向航行（顺水 50 + a、逆水 50 - a） 我的解答（先分别列出两船的路程）: 【方法小结】两船各自航行的路程要先分别用含 a 的式子写出来，再相加、相减。相加时 a 与 -a 合成 0，相减时 2a 与 2a 合成 4a——这就是第 (1) 问的结果与水流速度无关、第 (2) 问的结果只与水流速度有关的道理。 （五）练一练（课本 P100 练习） 1. 下列去括号的过程是否正确？如果错误，请改正。 　　(1) - (2a - b + c) = - 2a - b + c； 　　(2) -(x - y) + (xy - 1) = -x - y + xy - 1。 2. 去括号：(1) a + (b - c)；(2) a - (-b + c)；(3) (a - b) + (c + d)；(4) -(a + b) - (-c + d)。 3. 化简：(1) 12(x - 0.5)；(2) -5(1 - x)；(3) -5a + (3a - 2) - (3a - 7)；(4) (9y - 3) + 2(y + 1)。 4. 某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过 15 ，每立方米 a 元；超过部分每立方米 (a + 2) 元。若该地区某家庭上月用水量为 20 ，则应缴水费多少元？ 我的练习答案: 【易错提醒】第 1 题要一项一项地看：括号前是"-"，括号内每一项都得变号，漏掉哪一项都是错的。第 4 题先把 20 拆成"不超过的 15 "和"超过的 5 "两部分，再分别乘上各自的单价相加。 四、【第三把钥匙】整式的加减 第一把钥匙会合并同类项，第二把钥匙会去括号，第三把钥匙把这两件事串起来用。几个整式相加减，通常先用括号把每个整式括起来，再用加号、减号连接，然后按"先去括号，再合并同类项"的顺序算下去。 如图4.2-11，整式加减就是三步：去括号、找同类项、合并同类项。 图4.2-11 整式加减的三步（去括号 → 找同类项 → 合并同类项） 整式加减 = 去括号 + 合并同类项。有括号先去括号；结果常按某个字母的降幂（或升幂）排列。 （一）例6（教材 P101）　计算 (1) (2x - 3y) + (5x + 4y)； (2) (8a - 7b) - (4a - 5b)。 我的解答（第 (1)(2) 小题）: 【做法提醒】第 (1) 小题两个括号前都是"+"，直接去括号就能合并；第 (2) 小题第二个括号前是"-"，去掉后里面每一项都要变号。去完括号，把同类项找出来合并，就得到结果。 （二）例（教材 P101）　大、小两个长方体纸盒的用料 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如图4.2-12（单位：cm）：小纸盒的长、宽、高分别是 a、b、c；大纸盒的长、宽、高分别是 1.5a、2b、2c。 图4.2-12 大、小两个长方体纸盒（小 a、b、c；大 1.5a、2b、2c） (1) 做这两个纸盒共用料多少平方厘米？(2) 做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 我的解答（先把两个纸盒的表面积分别算出来）: 【方法小结】"用料"就是纸盒的表面积，长方体的表面积 = 2(长 × 宽 + 宽 × 高 + 长 × 高)。先把两个表面积各算出来，再相加、相减；算的时候系数与系数相乘，字母照抄。做完记得按字母排一排，写成整齐的样子。 （三）练一练 1. 课本 P101—P102 的练习请照课本逐题作答，题号照课本写。 2. 补充同型练习（自己算）： 　　(1) 计算：(3m + 2n) + (4m - 5n)；(7x - 4y) - (2x - 6y)。 　　(2) 计算：(2 - 3a + 1) + ( + 4a - 5)。 　　(3) 求多项式 5 - 2x + 3 与 -3 + x - 7 的差。 我的练习答案: 五、【钥匙环】三类运算的通用路线 三把钥匙其实串在同一个环上：拿到一个式子，先看你有没有括号，有就去括号；去完括号再看有没有同类项，有就合并；合并完再看看结果能不能排个顺序。下面几组练习，就是把钥匙环转起来。 （一）整体思想：把括号看成一个整体 1. 把 (a + b) 看作一个整体，化简：4(a + b) - 5(a + b) + (a + b)。 【小贴士】把 (a + b) 当成一个字母来看，它就是 4 个、减 5 个、再加 1 个，4 - 5 + 1 = 0，所以结果是 0。这正是合并同类项的思想。 （二）说法辨析：判断下面的说法是否正确，对的画"○"，错的画"×"并改正 1. 3y 与 -2y 不是同类项，因为字母的先后顺序不同。 2. 2 + 3 合并后是 5。 3. -(a - b) = -a - b。 4. -3(1 - 2y) = -3 - 6y。 5. 几个整式相加减，可以不去括号直接合并同类项。 我的更正: 【辨析小结】这五句专挑最容易含糊的地方：同类项与字母顺序无关；合并时字母和字母的指数不变，指数不会跟着相加；括号前是"-"，里面每一项都要变号；括号前有系数，要乘到每一项；整式加减要先算乘法（去括号），再算加减。 （三）综合练习 1. 化简：3 - [7x - (4x - 3) - 2]。 2. 先化简，再求值：2(- + 1 + 4x) - (5x - 3 - 2)，其中 x = -3。 我的解答: 六、【错因放大镜】常见错误会诊 下面几位同学的解法里都藏着问题。请把错在哪里、正确的写法是什么，写在横线上。 ① 小明合并 4y 与 -5x，写成 -y。他错在哪里？ 　　 ② 小红算 -3(1 - 2y)，写成 -3 - 2y。她错在哪里？ 　　 ③ 小刚算 -(a - b)，写成 -a - b。他错在哪里？ 　　 ④ 小丽算 2 + 3，写成 5。她错在哪里？ 　　 ⑤ 小亮化简 3a + 2b - 5a - b，不先化简就直接代入 a = -2、b = 1，把项的符号弄混，算出了 -7。他错在哪里？怎样改最省事？ 　　 我的会诊记录（错在哪一步 + 正确写法）: 易错快查表 易错点 正确做法 把不是同类项的强行合并 字母不同或相同字母的指数不同就不是同类项： 与 x、4y 与 -5x 都不能合并 合并时把指数也相加 只把系数相加，字母和字母的指数不变：2 + 3 = (2 + 3) = 5 括号前是"-"只变第一项 括号内每一项都要变号：-(a - b) = -a + b 括号前有系数只乘第一项 系数要乘到括号内每一项：-3(1 - 2y) = -3 + 6y 去括号后忘了合并 去完括号必须回头找同类项，结果里不能再有同类项 化简求值不先化简 先合并同类项、再去括号，代入时项少、算得准 结果不按字母排序 结果常按某个字母降幂（或升幂）排列，写成整齐的样子 【复盘提醒】这七条里有五条都指向同一件事：只能算"同类"的那一部分，不是同类的一个字都不能动。剩下的两条，一条管括号，一条管顺序——先去括号，再合并。 七、【当堂验收】分层检测 下面 A、B、C 三组题由易到难。先独立完成，再对照后面的参考答案；做错的题，把错在哪一步写清楚。 A 组　基础过关（每题 2 分） 1. 下列各组中，是同类项的是（　　） 　　A. 3x 与 3y　　B. -2b 与 5b　　C. 与 　　D. 2ab 与 2abc 2. 合并同类项：(1) 7a - 3a = ____________；(2) -4y + y = ____________。 3. 去括号：(1) + (m + n) = ____________；(2) - (m - n) = ____________。 4. 化简：6a + 2b - (3a - b)。 5. 判断：-(x - 2) = -x - 2。　（　　） B 组　能力提升（每题 3 分） 6. 化简：(1) 3( - 2x) - ( - 5x)；(2) 5(m - n) - 2(n - m)。 7. 先化简，再求值：4 + 3b - 2 + 2b，其中 a = -1，b = 2。 8. 一个长方形相邻两条边的长分别是 2a + b 和 a - b，求这个长方形的周长。 C 组　拓展思考（每题 4 分） 9. 若 3 与 -5 的和仍是单项式，求 m + n 的值。 10. 一块地分为两部分，第一部分的面积是 2 + 3ab - ，第二部分比第一部分少 - ab + 2。求这块地的总面积。 找错活动：下面四句话错在哪里？ ① 小方说：5 - 2 = 3，因为 5 减 2 得 3。 　　 ② 小圆说：2(x - 3) = 2x - 3，因为 2 只需要乘第一项。 　　 ③ 小丁说：-(2a + b) = -2a + b，因为只有 a 这一项要变号。 　　 ④ 小安说：整式加减可以不去括号，直接把同类项合到一起。 　　 我的验收答案（含找错活动的改正）: 【拓广提示】C 组第 9 题的关键词是"和仍是单项式"——两个单项式的和还是单项式，说明它们能合并，也就是同类项，那么相同字母的指数必须对应相等。 八、【行囊整理】概念地图 · 自评 · 作业 （一）概念地图（自己再补两笔） 名称 是什么 要做的事 要留神的地方 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 判断同类项；几个常数项也是同类项 与系数无关，与字母的先后顺序无关 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项 系数相加，字母和字母的指数不变 字母和指数照抄，不参与运算 去括号 利用分配律把括号去掉 括号前是"+"不变号，是"-"全变号；有系数就逐项乘 括号内原来有几项，去完还是几项 整式的加减 几个整式相加减 先去括号，再找同类项，最后合并 结果按某个字母降幂（或升幂）排列 （二）我的收获与错题栏 今天最得意的一处 今天最没把握的一处 我要盯住的一个坑 这一节里我出错最多的是：____________；错的原因是：____________。 我写给自己的话: （三）学习自评 评价项目 很好 还行 要加油 能准确判断两个项是不是同类项 ○ ○ ○ 能熟练地合并同类项 ○ ○ ○ 能正确去括号（含括号前有系数的情形） ○ ○ ○ 能按步骤进行整式的加减 ○ ○ ○ 会先化简再代入求值 ○ ○ ○ 能用整式的加减解决简单的实际问题 ○ ○ ○ （四）课后作业　《习题4.2》全题还原（教材 P102） 课本《习题4.2》共 11 题（教材 P102），分"复习巩固""综合运用""拓广探索"三个栏目，下面按课本顺序抄录题面。请直接在下面动笔；写不开时另附一张纸，把题号标清楚。 1.（复习巩固）合并同类项：(1) 2x - 10.3x；(2) 3x - x - 5x；(3) -b + 0.6b - 3.6b；(4) m - - 6m + 2。 2.（复习巩固）化简：(1) 2(4x - 0.5)；(2) -3(1 - x)；(3) -x + 2(2x - 2) - (3x + 5)；(4) 3 + - (2 - 2a) + (3a - )。 3.（复习巩固）计算：(1) (5a + 4c + 7b) + (5c - 3b - 6a)；(2) (8xy - + ) - ( - + 8xy)；(3) - 4；(4) 3 - [7x - (4x - 3) - 2]。 4.（复习巩固）先化简，再求值：4(3b - a) - 2(3a - b) - 14b，其中 a = 1，b = -。 5.（复习巩固）甲地的海拔是 h m，乙地比甲地高 20 m，丙地比甲地低 30 m。列式表示乙、丙两地的海拔，并计算乙地与丙地的海拔差。 6.（综合运用）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：选择 a 的一个值，求 5 - ( - 3a + 3) + ( - a - 2) - 2a + 2035 的值。甲说："当 a = 0 时，原式 = 2035。"乙说："当 a = 1 时，原式 = 2035。"丙说："当 a 为任何一个有理数时，原式 = 2035。"这三位同学的说法是否正确？请说明理由。 7.（综合运用）已知三角形的第一条边的长为 3a + 2b（a > 0，b > 0），第二条边比第一条边短 2a，第三条边比第二条边的长的 2 倍还长 a - b。(1) 求第二条边和第三条边的长；(2) 求这个三角形的周长。 8.（综合运用）窗户的形状如图4.2-13 所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形。已知下部小正方形的边长是 a cm，计算：(1) 窗户的面积；(2) 窗户的外框的总长。 图4.2-13 窗户的形状（上部半圆形，下部四个边长 a 的小正方形） 9.（拓广探索）一种商品每件进价为 a 元，商家原来在进价的基础上增加 20% 定为售价。后来商店搞促销，按售价的九折出售。每件商品的售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 10.（拓广探索）本题题面与图在课本 P102"拓广探索"第 10 题，请照课本原图作答：用含 n 的式子表示 S，并求 n = 5、n = 7、n = 11 时 S 的值。 11.（拓广探索）本题题面与图在课本 P102"拓广探索"第 11 题，请照课本原图作答：用含 a 的式子表示这个图形的表面积。 我的解答（第 1—11 题）: （五）作业自查登记表 题号 所在页码 完成 我的疑问 第 1 题 教材 P102 ○ 第 2 题 教材 P102 ○ 第 3 题 教材 P102 ○ 第 4 题 教材 P102 ○ 第 5 题 教材 P102 ○ 第 6 题 教材 P102 ○ 第 7 题 教材 P102 ○ 第 8 题 教材 P102 ○ 第 9 题 教材 P102 ○ 第 10 题 教材 P102 ○ 第 11 题 教材 P102 ○ 【作业提醒】作业里凡是"先化简再求值"的题，都走同一条路：先合并同类项、再去括号，然后才代入；凡是"用整式表示数量关系"的题，先找等量关系，再列式、化简，最后写清单位。 九、【参考答案】 以下答案按前面板块的顺序排列。请先独立完成，再逐条对照；对不上的地方，要在题目旁边把错因写清楚——找出错在哪一步，比只改一个得数有用得多。 【对照提醒】对照答案时留意三类地方：一类是"系数加对了、字母指数却也跟着加了"；一类是"去括号时只变了第一项、或者系数只乘了第一项"；还有一类是"没化简就代入"。凡是题目要求"化简求值"的，答案里都要有化简这一步。 （一）启程单　起跑热身 题号 参考答案 热身1 3 与 -5 是同类项（字母都是 a，相同字母的指数都是 2）；2ab 与 7ab 是同类项； 与 a 不是同类项，相同字母的指数不同。 热身2 5 与 -7 是同类项，几个常数项也是同类项。 热身3 3x + 2x = 5x；5 - 2 = 3。 热身4 + (a + b) = a + b；- (a - b) = -a + b。 热身5 买 3 本要 3x 元，再买 2 本要 2x 元，两次合起来共 5x 元。 （二）第一把钥匙　合并同类项 题号 参考答案 同类项判断 ① 是（字母相同、相同字母的指数也相同，与字母的先后顺序无关）；② 不是（字母的个数不同）；③ 是（常数项都是同类项）；④ 不是（指数不同）。 例1 (1) x = x。 例1 (2) (-3 + 2)y + (3 - 2)x = -y + x。 例1 (3) (4 - 4) + (3 - 4) + 2ab = 2ab - 。 例2 (1) 原式 = (2 + 1 - 3) + (-5 + 4)x - 2 = -x - 2；当 x = 时，原式 = - - 2 = -。 例2 (2) 原式 = (3 - 3)a + abc + = abc；当 a = -，b = 2，c = -3 时，原式 = × 2 × (-3) = 1。 例3 (1) -2a + 0.5a = (-2 + 0.5)a = -1.5a；这两天水位总的变化量是下降了 1.5a cm。 例3 (2) 5x - 3x + 4x = (5 - 3 + 4)x = 6x；进货后这个商店有大米 6x kg。 练一练 课本 P98 练习请照课本逐题核对。补充练习：(1) 4y 与 -3y 是同类项，-2ab 与 5abc 不是同类项；(2) 6x - 2x = 4x，-5ab + 3ab = -2ab，2y - 4y + y = -y；(3) 3a + 5b - 2a - 4b = a + b。 （三）第二把钥匙　去括号 题号 参考答案 例4 (1) 8a + 2b + 5a - b = 13a + b。 例4 (2) (4y - 5) - 3(1 - 2y) = 4y - 5 - 3 + 6y = 10y - 8。 例5 (1) 顺水航速 (50 + a) km/h，逆水航速 (50 - a) km/h；2(50 + a) + 2(50 - a) = 100 + 2a + 100 - 2a = 200，即 2 h 后两船相距 200 km。 例5 (2) 2(50 + a) - 2(50 - a) = 100 + 2a - 100 + 2a = 4a，即 2 h 后甲船比乙船多航行 4a km。 练一练 1 (1) 错误，正确的是 - (2a - b + c) = - 2a + b - c；(2) 错误，正确的是 -(x - y) + (xy - 1) = -x + y + xy - 1。 练一练 2 (1) a + b - c；(2) a + b - c；(3) a - b + c + d；(4) -a - b + c - d。 练一练 3 (1) 12x - 6；(2) -5 + x；(3) -5a + 5；(4) 11y - 1。 练一练 4 用水量 20 分成两部分：不超过的 15 每立方米 a 元，超过的 5 每立方米 (a + 2) 元。应缴水费 = 15a + 5(a + 2) = 15a + 5a + 10 = 20a + 10（元）。 （四）第三把钥匙　整式的加减 题号 参考答案 例6 (1) (2x - 3y) + (5x + 4y) = 2x - 3y + 5x + 4y = 7x + y。 例6 (2) (8a - 7b) - (4a - 5b) = 8a - 7b - 4a + 5b = 4a - 2b。 纸盒 (1) 小纸盒表面积 = 2(ab + bc + ca)；大纸盒表面积 = 2(1.5a × 2b + 2b × 2c + 1.5a × 2c) = 2(3ab + 4bc + 3ca) = 6ab + 8bc + 6ca。共用料 = 2(ab + bc + ca) + (6ab + 8bc + 6ca) = 8ab + 10bc + 8ca（）。 纸盒 (2) 大减小 = (6ab + 8bc + 6ca) - 2(ab + bc + ca) = 4ab + 6bc + 4ca（）。 练一练 (1) (3m + 2n) + (4m - 5n) = 7m - 3n；(7x - 4y) - (2x - 6y) = 5x + 2y。 练一练 (2) (2 - 3a + 1) + ( + 4a - 5) = 3 + a - 4。 练一练 (3) (5 - 2x + 3) - (-3 + x - 7) = 5 - 2x + 3 + 3 - x + 7 = 8 - 3x + 10。 （五）钥匙环 题号 参考答案 整体思想 把 (a + b) 看成一个整体：4(a + b) - 5(a + b) + (a + b) = (4 - 5 + 1)(a + b) = 0。 说法 1 错。是同类项，同类项与字母的先后顺序无关。 说法 2 错。合并时字母和字母的指数不变：2 + 3 = (2 + 3) = 5。 说法 3 错。括号前是"-"，括号内每一项都变号：-(a - b) = -a + b。 说法 4 错。系数要乘到每一项，(-3) × (-2y) = 6y，所以 -3(1 - 2y) = -3 + 6y。 说法 5 错。有括号要先算乘法（去括号），再合并同类项。 综合 1 3 - [7x - (4x - 3) - 2] = 3 - (7x - 4x + 3 - 2) = 3 - 7x + 4x - 3 + 2 = 5 - 3x - 3。 综合 2 原式 = -2 + 2 + 8x - 5x + 3 + 2 = 3x + 5；当 x = -3 时，原式 = -9 + 5 = -4。 （六）错因放大镜 题号 参考答案 ① 4y 与 -5x 不是同类项：x 的指数一个是 2、一个是 1，y 的指数一个是 1、一个是 2。不是同类项就不能合并，只能原样保留。 ② 括号前有系数，要乘到括号内每一项，符号也要一起乘：(-3) × 1 = -3，(-3) × (-2y) = 6y，所以 -3(1 - 2y) = -3 + 6y。 ③ 括号前是"-"，括号内每一项都要变号：-(a - b) = -a + b。 ④ 合并同类项时字母和字母的指数不变：2 + 3 = (2 + 3) = 5，不是 5。 ⑤ 应该先化简再代入：3a + 2b - 5a - b = (3 - 5)a + (2 - 1)b = -2a + b；当 a = -2、b = 1 时，原式 = (-2) × (-2) + 1 = 4 + 1 = 5。 （七）当堂验收 题号 参考答案 A 1 B。同类项要"两相同"：3x 与 3y 字母不同； 与 相同字母的指数不同；2ab 与 2abc 字母的个数不同；-2b 与 5b 字母相同、指数相同，是同类项。 A 2 (1) 7a - 3a = 4a；(2) -4y + y = -3y。 A 3 (1) + (m + n) = m + n；(2) - (m - n) = -m + n。 A 4 6a + 2b - (3a - b) = 6a + 2b - 3a + b = 3a + 3b。 A 5 错。-(x - 2) = -x + 2，括号内每一项都要变号。 B 6 (1) 3( - 2x) - ( - 5x) = 3 - 6x - + 5x = 2 - x；(2) 5(m - n) - 2(n - m) = 5m - 5n - 2n + 2m = 7m - 7n。 B 7 原式 = (4 - 2) + (3 + 2)b = 2 + 5b；当 a = -1、b = 2 时，原式 = 2 × + 5 × 2 = 2 + 10 = 12。 B 8 周长 = 2[(2a + b) + (a - b)] = 2 × 3a = 6a。 C 9 两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，相同字母的指数必须相同：m = 3，n = 2，所以 m + n = 5。 C 10 第二部分的面积 = (2 + 3ab - ) - ( - ab + 2) = + 4ab - 3；总面积 = (2 + 3ab - ) + ( + 4ab - 3) = 3 + 7ab - 4。 找错 ① 错在只写了系数：5 - 2 = 3，字母和字母的指数要原样保留。 找错 ② 错在只乘第一项：2(x - 3) = 2x - 6，系数要乘到括号内每一项。 找错 ③ 错在只变第一项：-(2a + b) = -2a - b，括号内两项都要变号。 找错 ④ 不行。有括号要先算乘法（去括号），再合并同类项。 （八）行囊整理　《习题4.2》 题号 参考答案 1 (1) -8.3x；(2) -3x；(3) -4b；(4) -5m + 。 2 (1) 8x - 1；(2) -3 + 3x；(3) 原式 = -x + 4x - 4 - 3x - 5 = -9；(4) 3 + - 2 + 2a + 3a - = + 5a。 3 (1) -a + 4b + 9c；(2) 8xy - + - + - 8xy = -2 + 2；(3) 原式 = - 1 + 3x - 4x + 4 - 2 = - x - 3；(4) 3 - [7x - 4x + 3 - 2] = 3 - 3x - 3 + 2 = 5 - 3x - 3。 4 原式 = 12b - 4a - 6a + 2b - 14b = -10a；当 a = 1、b = - 时，原式 = -10 × 1 × = -。 5 乙地海拔 (h + 20) m，丙地海拔 (h - 30) m；乙地与丙地的海拔差 = (h + 20) - (h - 30) = 50（m）。 6 原式 = 5 - + 3a - 3 + - a - 2 - 2a + 2035 = (5 - 3 - 2) + (-1 + 1) + (3 - 1 - 2)a + 2035 = 2035。化简后不含 a，所以无论 a 取哪个有理数，原式都等于 2035，三位同学的说法都正确。 7 (1) 第二条边 = (3a + 2b) - 2a = a + 2b；第三条边 = 2(a + 2b) + (a - b) = 3a + 3b。(2) 周长 = (3a + 2b) + (a + 2b) + (3a + 3b) = 7a + 7b。 8 (1) 下部四个小正方形拼成边长 2a 的正方形，面积是 4；上部半圆的半径是 a，面积是 π。窗户的面积 = 4 + π（）。(2) 外框由半圆的长和三条边组成：半圆的长是 πa，下部三条边一共是 6a，所以外框的总长 = (6 + π)a（cm）。 9 原售价 = a + 20%a = 1.2a（元）；九折后现售价 = 1.2a × 0.9 = 1.08a（元）；每件还能盈利 = 1.08a - a = 0.08a（元）。 10 S = 3n - 3。当 n = 5 时，S = 12；当 n = 7 时，S = 18；当 n = 11 时，S = 30。（本题的题面与图在课本 P102"拓广探索"第 10 题，请照课本原图核对） 11 用含 a 的式子表示表面积：先按上、下、前、后、左、右六个方向，分别数出从每个方向能看到的面积为 的小正方形面有几个，再把这六个数相加，表面积就是（面的总个数）× 。（本题的题面与图在课本 P102"拓广探索"第 11 题，请照课本原图数一数再核对） — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $