精品解析：广东东莞市第十三高级中学、第八高级中学2026-2027学年高三上学期9月测试数学试题

2026-2027学年高三上学期9月数学测试 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 15 4. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 5. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 10. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角为________． 13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 14. 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 （1）根据小概率之值的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？ （2）用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：（其中）.临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 设（为正整数） （1）若为等差数列，且公差，是与的等比中项，若，求数列的通项公式. （2）若，求数列的前n项和. 18. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期9月数学测试 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，选A. 考点：集合的基本运算. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果. 【详解】因为， 所以． 因为是整数， 所以，故集合共有个子集． 故选：B 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 所以展开式中含有的项为： ， 所以的系数为. 4. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【详解】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 5. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质计算出，根据等比数列中项得，再利用等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以，得， 因为，，成等比数列，所以， 设等差数列的首项为，公差为， 则， 因为，解得，，， 所以. 故选：D. 6. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得. 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 7. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二、多选题 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可． 【详解】解：由复数z满足，得， 所以，故A正确； 复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为， 所以所得向量对应的复数应为，故C错误； 由是关于x的方程的一个根，得另一个根为， 所以，解得，所以，故D正确． 10. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件及古典概型的概率公式，利用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】由题可知，，，， ,; . ∴ . 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 【答案】45 【解析】 【详解】， ， ，又展开式的通项为， 当，解得， ，即展开式中的含项的系数为． 14. 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形构造得到恒成立，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数研究函数的最大值. 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为， 所以， 则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16. 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 （1）根据小概率之值的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？ （2）用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：（其中）.临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）购买手机款式与性别有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据表格计算卡方值，并依据小概率值进行独立性检验即可. （2）先求出购买款手机的概率，然后利用二项分布的概率求解分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 零假设：假设购买手机款式与性别无关.. 由. 根据小概率值的独立检验，我们推断不成立，即认为购买手机款式与性别有关. 【小问2详解】 由题设，从所有购买两款手机的人中，选出1人购买款手机的概率为， 所以，选出3人作为幸运顾客，其中购买款手机的人数， 故，， ，. 分布列如下： 0 1 2 3 所以. 17. 设（为正整数） （1）若为等差数列，且公差，是与的等比中项，若，求数列的通项公式. （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的等比中项性质罗列出，再利用前项和公式罗列出，两个式子联立求解出数列的首项和公差，根据等差数列公式求解出数列的通项公式. (2)先利用递推退项作差法求解，再根据的通项公式求解前n项和. 【小问1详解】 若是与的等比中项，则满足， 根据等差数列通项公式，得到式子，化简得到， ,， 两个式子联立代入得到，， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 原式： 两边同时除以： (1) 当时，把替换成： （2） （1）-（2）： ，由此可得. 当时，，,满足通项公式. 所以对于,. ，数列是以首项为2，公差为1的等差数列. . 18. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2  ； （3）， 由已知事件表示第二次抽到的人都有实习经验， 事件表示第二次抽到名无实习经验、名有实习经验的学生， 由（2），，， 第二次抽选仍从全部人中随机选人，，  若第一次选了个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以， ，  若第一次选了个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此​​， 所以 ​ 故. 【解析】 【分析】（1）先确定单次抽选中小张被选中的概率，利用二项分布概率公式计算即可； （2）先确定的所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列后再根据期望公式计算数学期望； （3）先以第一次抽选到有实习经验学生的人数为条件，分别计算在第一次不同抽选结果下和的条件概率，再利用全概率公式分别求出和，最后比较二者大小. 【小问1详解】 每次从人中选人，小张单次被抽中的概率为 ， 次抽选是独立重复试验， 设这批次实习中小张被抽选到的次数为，则， 因此恰有两次被抽选的概率；​ 【小问2详解】 因为表示第一次抽选的人中，有实习经验的人数， 所以的可能取值为， ，​， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 ； 【小问3详解】 略. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3） 证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求导得，代入计算得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）法一：对分和讨论即可；法二：分离参数得得．再设新函数，求导得到右边最小值即可； （3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可. 【小问1详解】 当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． 【小问2详解】 法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令，则． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立，则，解得，结合，得． 综上，a的取值范围为． 法二：．若在上单调递增，则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，即． 当时，，，，所以，即； 当时，，，，所以，即． 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $