精品解析：江西省余干县私立蓝天中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

高三数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数，若，则（ ）． A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 设函数，则 D. 函数的图像必过定点 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 对任意的，的最大值与最小值之和为 D. 的解集为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. ___________． 13. 已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知=. （1）若=4，且a>0，求实数a的值； （2）求的值. 17. 已知函数，． （1）求和的函数解析式； （2）设，判断的奇偶性，并加以证明． 18. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 3. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可. 【详解】由题意得命题的否定是，. 4. 已知函数，若，则（ ）． A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据的值，即可求解. 【详解】，， 所以，则. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和作为中间量，比较的大小即可得解. 【详解】函数单调递增，又，所以，即； 函数单调递减，又，所以，即； 函数单调递增，又，所以，即，所以. 6. 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 7. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数是偶函数，所以，即函数图像关于对称，即， 当时，，所以， 因为，所以，即， 在区间中，的最小值为，解得. 8. 已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 设函数，则 D. 函数的图像必过定点 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由空集定义可判断选项正误；对于B，由必要不充分条件定义可判断选项正误；对于C，由分段函数解析式可判断选项正误；对于D，由可判断选项正误. 【详解】对于A，空集为不含有任何元素的集合，则不属于空集，故A错误； 对于B，或，则“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，令，则，故的图像必过定点，故D正确. 故选：CD 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 对任意的，的最大值与最小值之和为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；推导出函数的图象关于点对称，结合对称性可判断C选项；分析函数的单调性与对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为， ， 所以，A错； 对于B选项，对任意的，， 故函数的定义域为， ， 即，故函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，B对； 对于C选项，对任意的， ， 所以函数的图象关于点对称， 故函数图象的最高点和最低点关于点对称， 所以，C对； 对于D选项，易知函数的定义域为， 函数在上为减函数， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上也为减函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 由可得， 所以，解得， 故不等式的解集为，D对. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【详解】原式. 13. 已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 14. 已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 【答案】. 【解析】 【分析】方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可； （2）由交集与空集的概念求解. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为． 16. 已知=. （1）若=4，且a>0，求实数a的值； （2）求的值. 【答案】（1）或；（2）2； 【解析】 【分析】 （1）由分段函数的各区间解析式求a值，验证所得a值是否在区间内即可；（2）由分段函数在上可得，进而求值即可. 【详解】（1）由=4且a>0， ∴当，有； 当，有，（舍去）， 综上，有或； （2）由分段函数的解析式知： . 【点睛】本题考查了分段函数，综合考查了已知函数值求参数，利用分段函数求函数值，属于基础题. 17. 已知函数，． （1）求和的函数解析式； （2）设，判断的奇偶性，并加以证明． 【答案】（1） （2）是偶函数，证明如下： ， 的定义域为，， ，所以是偶函数． 【解析】 【小问1详解】 由于所以，所以． 【小问2详解】 略 18. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【小问1详解】 若p为真，在恒成立，即， 时，，故； 【小问2详解】 若q为真，方程有实根，，解得或， 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得； ②p假q真：，解得； 综上： 19. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 偶函数；略； 【小问2详解】 因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $