专题：数列专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题型分层训练构建数列方法体系，通过数学思维串联概念、性质与创新应用，实现从基础到综合的逻辑进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2|等比中项定义、充要条件判断|从定义出发，结合性质推导关系| |性质应用|单选3-5、多选9-10|等差等比性质、前n项和公式|性质与公式联动，强化运算推理| |递推与求和|填空12-14、解答15-18|累加法、倒序相加、裂项相消|递推关系→通项→求和的转化链条| |创新拓展|单选6-8、解答19|新定义“分差数列”、数学文化|以数学语言表达复杂数列规律，发展创新意识|

专题：数列-2027届高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．，和的等比中项不可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 3．已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 5．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 6．“冰雹猜想”数列满足：，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 8．已知各项均不相同的数列满足，则（    ） A．2027 B．2028 C．2 D．1 二、多选题 9．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B．公差 C． D．若，则 10．记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 11．下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 12．已知数列满足，（），则__________． 13．若等比数列的前项和为，且，，则________． 14．已知定义在上的函数的图象的对称中心为．数列的前项和为，且满足，，则______． 四、解答题 15．已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．数列满足，，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设为的前项和，令，求数列的最大项． 17．已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 18．已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 19．若有限数列满足：对任意两项，（），总存在第三项（，），使得，，的某种排列为等差数列，则称为“分差数列”． (1)判断以下数列是否为“分差数列”，无需说明理由； ①1，2，3； ②1，2，3，4； ③0，2，3，4，6 (2)若“分差数列”，求的值； (3)若是各项各不相同的“分差数列”，求该数列项数的所有可能值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：数列-2027届高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B A D D A AD AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】设和的等比中项为，则， 故， 选项A：若，则，不存在等比中项，矛盾，故A不可能； 选项B：若，则，， 存在满足，可以是等比中项； 选项C：正好，满足； 选项D：若，则，，存在满足，可以是等比中项． 2．B 【分析】分别判断充分性、必要性是否成立，结合等比数列的定义与性质推导结论. 【详解】首先判断必要性：若数列1，，，，4为等比数列，设公比为，根据等比数列通项公式，第3项，由于，故，必要性成立； 再判断充分性： 若，取特殊值，此时数列是，相邻项的比值不恒定，不满足等比数列的定义，充分性不成立； 综上，是该数列成等比数列的必要不充分条件. 3．D 【详解】因为，所以，则公比， 则，得，因为，所以. 4．B 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 5．A 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 6．D 【详解】由，结合递推规则， 倒推： 先求， 若为偶数，则，得，是偶数，符合前提； 若为奇数，则，得，不满足该分支的前提，舍去. 故，再求， 若为偶数，则，得，是正偶数，符合条件； 若为奇数，则，得，与矛盾，舍去. 综上，. 7．D 【分析】根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解. 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以 ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 8．A 【分析】根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列的基本量运算化简，结合裂项求和法化简，代入所求式计算即得. 【详解】由可得数列为等差数列， 设公差为，则，， 于是， 又因，可得，则有， 故. 9．AD 【详解】对于A项，由等差数列性质：，得到，故A正确； 对于B项，，解得，故B错误； 对于C项，，故C错误； 对于D项，，故 ，故D正确； 10．AD 【分析】先利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公比，再逐项验证各选项即可 【详解】选项A：由等比数列通项得，即， 前3项和，整理得，解得或， 因为，所以，，A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项错误； 对于D，，， 所以，故D选项正确. 11．BCD 【分析】根据的符号判断数列的单调性即可. 【详解】对于A，， 由于时，，所以数列单调递增，A错误； 对于B，， 因为时，，即，所以数列单调递减，B正确； 对于C，由不等式得，可知数列单调递减，C正确； 对于D， 所以， ， 所以数列单调递减，D正确. 12．100 【详解】由可得， 两式相减得， 则对于奇数项数列，首项为，公差， 得， 令. 13． 【详解】设的公比为， 由得，解得 所以， 则. 14． 【分析】根据函数的对称性可知，再利用倒序相加法进行求和. 【详解】由条件得，即． 于是有，． 又， ， 两式相加，得 ， 故． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据通项公式列方程求解； （2）采用分组求和方法即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d． 由题意得，解得， 所以． 数列的通项公式为． （2）由题意可得： 所以数列的前n项和为. 16．(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出，的通项公式； （2）通过作差法判断的正负确定数列单调性，进而找到最大项. 【详解】（1）由，，得是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 由，，得是以为首项，为公比的等比数列， 所以． （2），    ， ，   所以当时，；当时，． 由此可得，数列的最大项为． 17．(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式； （2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则 【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. （2）（i）由题意，，即， 当时，， 当时，； （ii）当时，，共有个， 则 . 18．(1)， (2)证明：由（1）得，， 所以， 所以 ． 【分析】（1）先求出，再由题意得，根据的关系可得，最后求出等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法进行证明. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2的等差数列，则，； （2）略 19．(1)①是；②不是；③是； (2) (3)3和5 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）分别假设数列四项均不同，有三项相同，以及有两项相同和全部相同，分别用定义判断即可； （3）根据定义排除；根据第一问确定成立，不满足；时借助定义分析项数不满足进而排除. 【详解】（1）根据定义验证， ①数列1,2,3中任意两项都存在剩余的第三项，三者可排列为等差数列，符合定义； ②数列1,2,3,4中取两项1和4，剩余项只有2，3，不存在第三项使得1，4和2或3的某种排列为等差数列，不符合定义； ③数列0,2,3,4,6中任意两项都能找到剩余第三项满足三者可排列为等差数列，符合定义. （2）记该数列为，该数列共4项，先假设四项各不相同，将四项从小到大排序为， 取最小项0，和最大项M，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，故即， 此时数列中包括，设数列的第四项为t， 取数列中两项，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，或者成等差， 即或者，其中或者， 由此可知存在三种情况，而我们假设是四项各不相同，且为数列中最大项， 无论哪种情况均和假设不符，故该数列存在相同项； 当数列存在三项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在或者，使得这三项成等差，故该假设错误； 当数列存在两项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在另一项为0，使得这三项成等差，故该假设错误； 综上，若使0，，，为“分差数列”，只能是， 故. （3）项数小于等于2时，无法选出两项或者找到第三项，不满足定义； 项数为3时，显然满足定义，是可行的； 项数为4时，由第（2）问的推导可知，不存在各项互不相同的4项分差数列； 项数为5时，如第（1）问的0,2,3,4,6是符合要求的5项分差数列，可行； 项数时，假设存在6项及以上的各项互异分差数列，从小到大排序为， 取，根据分差数列定义，其等差中项也在该数列里， 取，根据分差数列定义，其等差中项也在该数列里， 同理取，根据分差数列定义，其等差中项也在该数列里， 这样不断地从两端取项，得到越来越多的不同的中项，数量远远大于项，与数列只有项矛盾，故不存在这样的数列； 因此项数的所有可能值为3和5. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $