26.2 二次函数的图象和性质 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦二次函数的图象和性质，分层设计从基础概念到综合应用再到探究拓展，梯度合理，有效巩固知识并发展抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（表达式、顶点坐标等）|选择、填空为主，如已知点求解析式，夯实抽象能力| |中档|性质综合应用（对称性、增减性等）|结合图象分析，如表格判断抛物线性质，培养推理意识| |提升|探究拓展（存在性、最值等）|解答题为主，如面积最大值探究，发展应用意识|

人教版（2024）九年级上册 26.2 二次函数的图象和性质 同步练习 一、选择题 1．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为(　　) A． B． C． D． 2．已知抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为(-1，2 025)，则该抛物线对应的函数表达式为 A．y=-2(x-1)2+2 025 B．y=2(x-1)2+2 025 C．y=2(x+1)2+2 025 D．y=-2(x+1)2+2 025 3．已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a的值为（　　） A．±2 B．±2 C．2 D．-2 4．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的图像可能是 A． B． C． D． 5．如图，若抛物线y=ax2-2x+a2-1经过原点，则抛物线的解析式为 A．y=-x2-2x B．y=x2-2x C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2-2x或y=x2-2x 6．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 小聪观察上表，得出下面结论： ①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x＝； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 其中正确有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如果抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，-2），B（-1，1）两点，那么此抛物线经过（　　） A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 8．下列说法正确的是 （      ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 9．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，点P为抛物线y=x2-4x+4上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．若点P的横坐标为4时，则Q点的坐标为（　　） A．（-2，3） B．（-2，2） C．（-2，2） D．（1+，2） 11．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（ ） A．2 B． C．2或 D．0或4 12．抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．抛物线的顶点坐标为  __________ ． 14．二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为__________． 15．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为__________ . 16．已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为__________． 17．如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为__________． 三、解答题 18．如图：已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-5）． (1) 试确定此二次函数的解析式； (2) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PB+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．已知函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(0，3). (1)求该函数的表达式； (2)在所给的方格纸中，画出该函数的图象； (3)该函数图象上到x轴的距离等于3的点，共有　　　　个. 20．如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1) 求抛物线的函数解析式； (2) 是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3) 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 21．求满足下列条件的对应的函数的关系式． (1) 已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（1，-4）． (2) 抛物线经过（4，0），（0，-4），和（-2，3）三点． 22．已知抛物线（）经过点，对称轴为直线． (1) 求的值； (2) 若点在抛物线上，将此抛物线向上平移个单位长度，得到新的抛物线．当时，新抛物线对应的二次函数的最小值为，当时，新抛物线对应的二次函数的最大值为，若，求的值； (3) 在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线相交于，两点，且，求证：． 人教版（2024）九年级上册 26.2 二次函数的图象和性质 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 2．已知抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为(-1，2 025)，则该抛物线对应的函数表达式为 A．y=-2(x-1)2+2 025 B．y=2(x-1)2+2 025 C．y=2(x+1)2+2 025 D．y=-2(x+1)2+2 025 【答案】D 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(-1，2 025)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2 025， ∵抛物线y=a(x+1)2+2 025与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a=-2， ∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2+2 025. 3．已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a的值为（　　） A．±2 B．±2 C．2 D．-2 【答案】C 【解析】解：把点（2，8）代入y=ax2，得4a=8，∴a=2． 4．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的图像可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一次函数y=ax+a可变形为y=a(x+1)，则一次函数的图像与x轴交于点(-1，0)，排除选项A和选项B；选项C中，由二次函数y=ax2的图像开口向下，可知a<0，当a<0时，一次函数y随x的增大而减小，图像应过第二、三、四象限，排除选项C；选项D中，由二次函数y=ax2的图像开口向上，可知a>0，当a>0时，一次函数y随x的增大而增大，图像应过第一、二、三象限，故选项D正确. 5．如图，若抛物线y=ax2-2x+a2-1经过原点，则抛物线的解析式为 A．y=-x2-2x B．y=x2-2x C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2-2x或y=x2-2x 【答案】A 【解析】把(0，0)代入y=ax2-2x+a2-1，得0=a2-1， ∴a=±1， ∵抛物线开口向下， ∴a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x. 6．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 小聪观察上表，得出下面结论： ①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x＝； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 其中正确有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】根据图表，当x=-2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（-2，0）和（3，0）； ∴抛物线的对称轴是直线x==， 根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0或1对应的函数值6， 并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大． 所以①③④正确，②错． 7．如果抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，-2），B（-1，1）两点，那么此抛物线经过（　　） A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【解析】解：∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，-2），B（-1，1）两点， ∴，解得； ∴该抛物线的解析式是y=-x2-4x-2=-（x+2）2-2， ∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（-2，2），与y轴的交点是（0，-2）， ∴该抛物线经过第二、三、四象限． 8．下列说法正确的是 （      ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A正确；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D错误. 9．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、正比例函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图象，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 10．如图，点P为抛物线y=x2-4x+4上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．若点P的横坐标为4时，则Q点的坐标为（　　） A．（-2，3） B．（-2，2） C．（-2，2） D．（1+，2） 【答案】C 【解析】解：∵y=x2-4x+4=（x-2）2，∴顶点为G（2，0）， 把x=4代入，得y=（4-2）2=4，即P点横坐标为4，纵坐标为4， ∴P点横纵坐标与顶点G差值为2、4， ∴Q点坐标为（-2，2）． 11．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（ ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【答案】D 【解析】解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 12．抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在二次函数中，令，得， 二次函数与轴交于， 该抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ，，． 该抛物线经过点和． 不妨设该抛物线的函数表达式为． 代入，得， 解得， 当时， 故选：C． 二、填空题 13．抛物线的顶点坐标为  __________ ． 【答案】 【解析】解：抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 14．二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为__________． 【答案】k＞-1 【解析】如题图，抛物线的开口方向向上，则k+1＞0，解得k＞-1． 15．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为__________ . 【答案】y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(0，2)，∴函数表达式为y＝ax2＋bx＋2.∵点C在直线x＝2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，可得对称轴为x＝1或x＝3，∴可以建立以下两个方程组： ①② 由方程组①解得a＝b＝－；由方程组②解得a＝－b＝.故抛物线的表达式为y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2. 16．已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为__________． 【答案】y=x2 【解析】解：∵正方形的边长为2，∴对角线AC=2，∴C点坐标为（，）， 设此抛物线的解析式为y=ax2，则=2a，a=，抛物线的解析式为y=x2． 17．如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为__________． 【答案】 【解析】解：设直线AB的解析式为：， 将A（0，4），B（3，0）代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵点P在线段AB上， ∴设P点坐标为，其中， ∵PM⊥y轴，PN⊥x轴， ∴，， ∴根据两点间距离公式得：， 整理得：， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为， 即：此时，有最小值， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．如图：已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-5）． (1) 试确定此二次函数的解析式； (2) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PB+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】解： (1) 根据题意设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 代入C（0，-5）得-5=-3a，解得a=． 故二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-x-5； (2) 作抛物线的对称轴l，交BC于P， ∵抛物线的对称轴x=-=1，∴P点的横坐标为1． 设直线BC的函数表达式为y=kx+t（k≠0）． ∵由B（3，0），C（0，-5），∴，解得． ∴直线BC的函数表达式为y=x-5． 将x=1代入得y=-． ∴P点的坐标为（1，-）． 19．已知函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(0，3). (1)求该函数的表达式； (2)在所给的方格纸中，画出该函数的图象； (3)该函数图象上到x轴的距离等于3的点，共有　　　　个. 【答案】解　(1)由题意，将A(－1，0)，B(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴该函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)由题意，抛物线为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，4). 该函数图象如图所示. (3)由题意，结合(2)可得当y＝3或y＝－3时，对应函数图象上的点符合题意， ∴满足题意的点有4个. 20．如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1) 求抛物线的函数解析式； (2) 是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3) 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 解：抛物线经过坐标轴上三点， 将代入得， 解得， 抛物线的函数解析式为； (2) 解：设直线的函数解析式为， 将代入得， 解得， 直线的函数解析式为，过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， 由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时. (3) 解：存在点，使得四边形是平行四边形． ， 抛物线的对称轴为直线， 由题知，， 设， 当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线， 则， 解得， ． 21．求满足下列条件的对应的函数的关系式． (1) 已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（1，-4）． (2) 抛物线经过（4，0），（0，-4），和（-2，3）三点． 【答案】解： (1) 设抛物线解析式为y=a（x-1）2-4， 将（0，-3）代入得：-3=a-4，即a=1， 则抛物线解析式为y=（x-1）2-4=x2-2x-3． (2) 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c, 将（4，0），（0，-4），（-2，3）代入得： ，解得：， 则抛物线解析式为y=x2-2x-4； 22．已知抛物线（）经过点，对称轴为直线． (1) 求的值； (2) 若点在抛物线上，将此抛物线向上平移个单位长度，得到新的抛物线．当时，新抛物线对应的二次函数的最小值为，当时，新抛物线对应的二次函数的最大值为，若，求的值； (3) 在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线相交于，两点，且，求证：． 【答案】(1) 解：当时，，， 则对称轴为直线； (2) 解：由（1）知， 将，代入抛物线得， 解得， ， 设平移后的新抛物线为， 对称轴为直线， 当时，随增大而减小，时，， 当时，时取最大值，， ， 解得； (3) 证明：由（2）知新抛物线表达式为：， 由题意知：，，， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $