专题06 一元二次方程计算题分类训练（6种类型96道） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 按解法系统分类，覆盖6种类型96道题，构建从基础到综合的计算训练体系，强化运算能力与方法选择推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|16道|含平方形式方程|从直接求解到变形应用| |配方法|16道|二次项系数为1或可化为1的方程|体现转化思想，为公式法铺垫| |公式法|16道|一般形式方程|基于配方法推导，普适性解法| |因式分解法|16道|可分解为乘积形式方程|利用因式分解降次，体现转化| |适当的方法|16道|多种解法适用的方程|培养方法优化意识| |指定的方法|16道|限定解法的方程|巩固单一解法规范性|

专题06 一元二次方程计算题分类训练 （6种类型96道） 专题目录 【类型1 直接开平方法】 1 【类型2 配方法】 6 【类型3公式法】 12 【类型4 因式分解法】 17 【类型5 适当的方法】 23 【类型6 指定的方法】 28 【类型1 直接开平方法】 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，； （2）解：， ， 或， 解得，． 2．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开方法求出的值即可； （2）先化简，再利用直接开方法求出的值即可． 【详解】（1）解：直接开平方，得， 解得，． （2）解：方程可化为， 则， 直接开平方，得， 解得，． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可； （2）先表示出，再根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 开平方，得， ∴，或， 解得，或； （2）解：∵， 移项，得， 两边都除以25，得， 开平方，得， ∴，或， 解得，或． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 5．求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法，即可求解； （2）利用直接开平方法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） 或． 6．求下列各式中的x值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）移项后，利用平方根的性质求解即可； （2）利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴． 7．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根定义解方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）利用平方根定义解方程即可； （2）利用平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：由得 ∴； （2）解：由得 即或 ∴或． 8．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）原方程化为，再由平方根的定义解方程； （2）直接利用再由平方根的定义解方程． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解： ， 解得：或． 【类型2 配方法】 9．用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 10．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 11．用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 12．用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 13．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 14．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 15．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法解二次方程的核心步骤：将二次项系数化为→移项→配方→开平方求解，解题关键在于正确找到配方项的系数，并注意运算符号的处理． （1）先移项得，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可； （2）先将方程变形为，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得， 即， ， 故答案为：． （2）解：方程变形为， 两边同除以，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ． 16．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 【类型3公式法】 17．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 19．用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 20．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 21．用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 22．用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1） ∵，，；     ∴， ∴， （2） 方程整理得：． ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是公式法解一元二次方程时要化成一般形式． 23．用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 24．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． （2）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． 【类型4 因式分解法】 25．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 26．运算能力：用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再利用平方差公式进行因式分解，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：， ， ，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 27．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． （1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解． 【详解】（1）解：， ； ， ∴或， ∴，； （2）解：． ， ∴或， 解得，． 28．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解是解题的关键． （1）将方程右边的单项式移到方程的左边，然后对方程左边的多项式进行因式分解，即可求解． （2）将方程右边的多项式移到方程的左边，然后对方程左边的多项式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： 解得． （2） 解得． 29．用因式分解法解方程 (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解； （2）利用因式分解的方法求解方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， 或， ，． 30．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】解：（1）因式分解，得， 或， 解得，． （2）移项，得． 因式分解，得， 或， 解得，． 31．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程左边用十字相乘法因式分解，然后解方程即可． （2）先把二次项系数化为，再用十字相乘法因式分解，解方程即可． 【详解】（1）解：. 等号左边因式分解得：， 或， 解得． （2）解： 整理得：． 等号左边因式分解得：， 或， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，关键是熟练掌握十字相乘法． 32．用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 【类型5 适当的方法】 33．用适当方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先展开整理为一元二次方程，再利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得． 34．用适当方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 35．用适当方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）十字相乘法解方程； （2）因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 解得：． 36．用适当方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 37．用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：去括号得 方程整理成一般形式，得， ∴，，， ∵， ∴， 即，． 38．选择适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键在于掌握解一元二次方程的各种方法，并且根据方程选择合适的方法尤为重要． （1）根据方程情况提公因式，分别令或，即可求解； （2）根据方程情况选用公式法，分别找到二次项系数，一次项系数，常数项，然后验证的情况，看有没有实数根，然后根据公式，即可求解． 【详解】（1）解：， 提公因式得， 或， 故，． （2）解：， ，，， ， ， 故，． 39．用适当方法解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）先把方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）整理后，提取公因式得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， 因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：∵， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴． 40．用适当方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解： （1）先移项，再用因式分解即可； （2）方程化为一般式，用公式法求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得：， （2）解： ； ∵，， ∵ ∴ ∴， 【类型6 指定的方法】 41．按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得答案； （2）利用公式法求解可得答案． 【详解】（1）解： ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 42．按指定方法解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用指定解法是解答本题的关键． （1）将方程的常数项移项后，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方解方程即可； （2）将方程整理为一般形式后，代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即 所以 解得：； （2）解：， 整理为， 这里， ∴， 解得． 43．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）两边开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得：； （2）解：原方程整理得， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． 44．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）根据指定的直接开平方法解方程即可； （2）根据指定的配方法解方程即可． 【详解】（1）解：开方，得 即或 ∴，； （2）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 45．按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 46．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 47．用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键． （1）根据公式法的步骤求解即可； （2）根据配方法的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 48．用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程计算题分类训练 （6种类型96道） 专题目录 【类型1 直接开平方法】 1 【类型2 配方法】 2 【类型3公式法】 3 【类型4 因式分解法】 4 【类型5 适当的方法】 5 【类型6 指定的方法】 5 【类型1 直接开平方法】 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．解下列方程： (1)． (2)． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．求下列各式中x的值 (1) (2) 6．求下列各式中的x值． (1) (2) 7．求下列各式中的值． (1)； (2)． 8．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【类型2 配方法】 9．用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 10．用配方法解方程： (1)． (2)． 11．用配方法解下列方程 (1) (2) 12．用配方法解方程： (1)； (2)． 13．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 14．用配方法解方程： (1)． (2)． 15．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 16．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【类型3公式法】 17．用公式法解方程： (1)； (2)． 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 19．用公式法解下列方程． (1)； (2)． 20．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 21．用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 22．用公式法解方程： (1)． (2) 23．用公式法解方程： (1)． (2) 24．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【类型4 因式分解法】 25．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 26．运算能力：用因式分解法解方程： (1)； (2)． 27．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 28．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 29．用因式分解法解方程 (1) (2)． 30．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 31．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 32．用因式分解法解方程： (1) (2) 【类型5 适当的方法】 33．用适当方法解下列方程： (1)； (2) 34．用适当方法解下列方程． (1)； (2)． 35．用适当方法解方程 (1)； (2)． 36．用适当方法解下列方程 (1) (2) 37．用适当方法解下列方程 (1)； (2) 38．选择适当方法解方程． (1)； (2)． 39．用适当方法解下列方程． (1)； (2) 40．用适当方法解下列方程． (1) (2) 【类型6 指定的方法】 41．按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 42．按指定方法解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 43．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 44．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 45．按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 46．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 47．用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 48．用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $