2.4 单摆（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理单摆核心知识点，系统梳理单摆的组成与理想化条件，深入分析回复力来源及简谐运动条件，推导周期公式并探讨摆长、重力加速度对周期的影响，构建“概念理解-规律推导-应用拓展”的学习支架。 资料以生活情景（秋千、钟摆）导入激发兴趣，通过思考问题（如回复力是否为合外力）培养科学思维，结合沙摆实验等渗透科学探究，例题及5类变式训练覆盖重点题型，课中辅助教师引导学生建模推理，课后作业助力学生巩固知识、查漏补缺。

2.4单摆 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（2个知识归纳+5个题型）+课后作业】 情景导入 日常生活中的秋千、钟摆在竖直平面内的运动是周期性地在最低点附近的往复运动。 那么，这种运动是简谐运动吗？ 　　 知识归纳 【知识点1 单摆的回复力】 1. 单摆：由__________和__________组成。 条件：①细线的__________与小球相比可以忽略。②小球的__________与线的长度相比可以忽略。 单摆是____________________。 2. 单摆的回复力： 思考①：单摆的回复力是摆球所受的合外力吗？ 思考②：单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ （1）单摆的回复力 ①摆球受力：如图所示，摆球受__________和__________作用。 ②向心力来源：细线对摆球的__________和摆球重力____________________的合力。 ③回复力来源：摆球重力沿__________方向的分力____________________提供了使摆球振动的回复力。 ④回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__________，方向总指向__________，即__________。从回复力特点可以判断单摆做__________运动。 （2）单摆做简谐运动的推证：在偏角很__________时，__________，又回复力__________，所以单摆的回复力为__________（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合__________，单摆做简谐运动。 3. 单摆的振动图像： （1）利用沙摆： （2）利用简谐运动的特点： 结论：单摆振动的x-t图象是一条__________函数图像。 综上，在__________的情况下，单摆做简谐振动。 【例1】如图所示为一单摆装置，点是摆球的平衡位置，、两点为摆球摆动过程中的最高点（摆角小于5°）。不计空气阻力，在摆球由点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．摆球在点时的回复力最大 B．摆球在点时的回复力最小 C．摆球在点时的加速度方向水平向右 D．摆球在点时的加速度为0 【变式1-1】关于简谐运动的单摆，在摆球通过最低点时，下列说法正确的是（　　） A．回复力为零，合外力也为零 B．回复力不为零，但合外力为零 C．回复力不为零，合外力指向悬点 D．回复力为零，合外力提供向心力 【变式1-2】如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【变式1-3】荡秋千是深受大家喜爱的活动。若将小孩和秋千视为一个单摆，其摆动可近似看作简谐运动。关于该振动过程，下列说法正确的是（　　） A．秋千摆动到最高点时，速度为零，处于平衡状态 B．秋千除受重力、弹力外还受回复力 C．秋千摆动的过程中不存在合力为零的位置 D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，回复力逐渐增大 【例2】两个小球P、Q构成的单摆振动的图像如下表所示（位移x随时间t变化的部分数据）。下列说法正确的是（　　） 时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 P位移x/cm 5.0 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 Q位移x/cm 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 2.5 A．t=0.6s时，P和Q的速度都为0 B．t=1.0s时，P和Q的速度方向相同 C．t=1.0s时，P和Q的加速度方向相同 D．根据图像无法比较P和Q的摆长 【变式2-1】单摆在做简谐运动时，下列物理量与摆球速率变化趋势相一致的是（　　） A．重力势能 B．回复力大小 C．机械能 D．动能 【变式2-2】兴趣小组用频闪照相法对单摆进行研究，他们所得照片中，小球图像最容易模糊的位置在（　　） A．小球位于最低点 B．小球位于最高点 C．小球位移为振幅的一半时 D．小球位移为振幅的四分之三时 【变式2-3】图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在点和点处，速度为零，回复力也为零 C．摆球在点处，速度最大，细线拉力也最大 D．摆球在点处，速度最大，回复力也最大 【知识点2 单摆的周期】 1. 周期公式是荷兰物理学家__________首先提出的。 2. 单摆振动的周期与摆球质量__________，在振幅较小时与振幅__________，但与摆长__________，摆长越长，周期越__________。 3. 公式：__________，即周期T与摆长l的二次方根成__________，与重力加速度g的二次方根成__________，而与振幅、摆球质量__________。 思考：①单摆的摆长l等于悬线的长度吗？ ②将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ 4. 对周期公式的理解： ①单摆的周期公式在单摆偏角__________时成立（偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%）。 ②公式中l是摆长，即悬点到__________的距离，__________。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ④周期T只与__________和__________有关，与__________及__________无关，所以单摆的周期也叫__________。 【例3】一单摆的周期为T，摆球质量为m，摆长为L。若将摆长变为原来的4倍，摆球质量减半，则单摆的周期变为（　　） A．2T B．T C． D．4T 【变式3-1】一单摆的摆长为40cm，摆球在时刻正从平衡位置向右运动，若g取，则在1s时（　　） A．摆球正向左做减速运动，回复力正在增大 B．摆球正向左做加速运动，回复力正在减小 C．摆球正向右做减速运动，回复力正在增大 D．摆球正向右做加速运动，回复力正在减小 【变式3-2】一般而言，由赤道向两极点重力加速度变大，摆钟的摆球运动类似于单摆，摆球摆动得快，指针转得快。将在常州走时准确的摆钟搬到北京，关于快慢和调整说法正确的是（　　） A．此摆钟走慢了，要调长摆长 B．此摆钟走慢了，要调短摆长 C．此摆钟走快了，要调长摆长 D．此摆钟走快了，要调短摆长 【变式3-3】如图所示，细长轻线下端拴一小球构成单摆，悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子O，现将摆球向左侧拉开一个小角度到A点，然后无初速度释放，摆球经最低点B到右侧最高点C，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．右侧最高点C低于左侧释放点A B．摆球经B点时回复力为零，合力为零 C．摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间 D．摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变 【例4】甲、乙两个单摆在同一地点的振动图像如图所示，则（　　） A．甲、乙的振幅之比是4∶1 B．甲、乙的摆长之比是1∶4 C．甲、乙的最大速度大小相等 D．甲、乙的最大加速度相等 【变式4-1】位于淄博和广州的两位同学，分别探究了单摆周期和摆长的关系，然后通过网络交流实验数据，并用计算机绘制了图像、，如图甲所示。另外，淄博的同学还利用计算机绘制了、两个单摆的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．甲图中淄博的同学所测得的实验结果对应的是图线A B．甲图中图线A对应的所在位置的重力加速度大小为 C．由乙图可知，两单摆频率之比为 D．由乙图可知，时球振动方向沿轴正方向 【变式4-2】一位宇航员在地球表面进行单摆实验，记录下摆球的振动图像如图所示，若能将该单摆装置带到火星表面（已知火星表面的重力加速度约为地球表面的倍），并让摆球从相同的最大摆角处开始摆动，下列关于火星上单摆振动图像的描述，最接近实际情况的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin100πt(cm) C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【例5】将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为的斜面上，其摆角为，如图。下列说法正确的是（　　） A．摆球做简谐运动的回复力为 B．摆球做简谐运动的回复力为 C．摆球做简谐运动的周期为 D．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力 【变式5-1】如图，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为，弧长远小于半径，现将可视为质点的两个小球分别从、点同时由静止释放，大于，则（　　） A．两球在点相遇 B．两球在点右侧相遇 C．两球在点左侧相遇 D．两球相遇时速度大小相等 【变式5-2】如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4（其中（3）图两小球均带负电荷，（4）图中振动系统处于匀加速下降的电梯内），关于周期大小关系的判断，正确的是（　　） A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 【变式5-3】如图甲所示，一根轻杆和一根轻质细线组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，轻杆与悬挂轴垂直，摆线与轻杆的夹角θ=30°。其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，倾斜平面与水平面的夹角也为θ=30°，该杆线摆做简谐运动的位移—时间图像如图所示。，取重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．P点时小球向远离平衡位置运动 B．该杆线摆的细线长约为 C．若小球带正电，加上竖直向下的匀强电场后系统周期变大 D．一个周期内小球的动量方向变化一次 一、单选题（共12道） 1．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小 B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大 D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大 2．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可用作工地的拆除工作。大铁球摆动时可视为单摆，对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是 B．如果再知道单摆的摆长，可粗略算出当地的重力加速度 C．大铁球摆动的角度增大，则振动周期增大，能量也增大 D．当时，大铁球的动能最小，回复力最大 3．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是1:2 B．甲与乙的频率之比是1:2 C．在A、B两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从t=0时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 4．如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。（　　） A．甲球先到达槽最低点O B．乙球先到达槽最低点O C．丙球先到达槽最低点O D．甲乙丙球同时到达槽最低点O 5．等效法是物理学常用的科学思想方法，可以建构等效物理过程以便于解决问题。不可伸长的轻质、绝缘细线一端固定在天花板上，一端与带电小球相连，组成如图所示的单摆，其摆动周期为。仅在空间中加水平向右的匀强电场时，其摆动周期为。仅在空间中加垂直纸面向里的匀强磁场时，其摆动周期为。若不计空气阻力，摆角均小于，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（　　） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3 C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零 7．如图所示，在北京某中学的实验室中有一单摆，在它的正下方放置一个方位刻度盘。开始时，单摆沿方位刻度盘的方向摆动，经过数小时后，单摆的摆动为（　　） A．沿的刻度方向摆动 B．沿刻度盘顺时针转过的某一刻度方向摆动 C．沿刻度盘逆时针转过的某一刻度方向摆动 D．无法确定 8．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 9．图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为1s B．细线的长度为 C．小球经过最低点时速度大小为 D． 10．某同学设计了如图所示的单摆实验，将摆长为l的单摆上端固定在天花板上O点处，下端连接一小球，在O点正下方的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，取向右为正方向。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，可视为质点的滑雪运动员从一段圆弧滑道由静止无助力下滑，圆弧半径远大于弧长。初始时，运动员和圆心的连线与竖直方向的夹角，忽略一切阻力。运动员沿圆弧轨道下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．沿滑道方向的加速度和速度都在增大 B．运动员重力的功率逐渐变大 C．若初始夹角改为，下滑时间变短 D．若初始夹角改为，重力冲量不变 12．如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线图中的虚线，已知P，Q分别是木板上的两点，忽略沙漏重心的变化，则（　　） A．两次实验沙漏振动周期不同 B．木板移动的速度v1与木板的速度v2之比为3∶2 C．位置P处的沙层比Q处的沙层浅一些 D．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在P点开始计时 二、多选题（共4道） 13．振动是自然界中普遍存在的运动形式，简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动，甲、乙图对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点 C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 14．图中是甲、乙两名游客体验“悬崖秋千”的情境，甲、乙游客的质量和摆幅均不相等，忽略空气阻力作用，两游客均可视作质点且摆幅较小，下列说法正确的有（　　） A．甲游客在B点机械能大于A点 B．甲游客在A点受到的回复力大于B点 C．甲、乙游客在B点的速度大小相等 D．甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同 15．小吴和小智组成的小组用如图所示实验装置研究沙摆小角度振动的规律。漏斗静止时下端接近水平薄木板，摆动的竖直面与木板交线为，木板中线垂直于。当沿O'O匀速拉动薄木板时，漏斗中漏出的沙在板上形成特定形状的曲线。可改变单摆的最大摆角、摆长、拉木板的速度进行多次实验。实验中，沙漏重心位置的变化可以忽略。当拉木板的速度为v时，在木板上长度为s的阴影区留下图所示的实线a。同一木板另一次实验得到的结果为如图所示的实线b。在木板平面以O'O为横轴，垂直O'O建立纵轴，可以对图线进行研究。下列说法正确的是（　　） A．图横轴可以代表时间轴，其中的实线a对应的阴影区表示的时长为 B．若图中实线a为正弦曲线，则对应的沙摆的运动可近似看作简谐运动 C．可判断出图中实线b对应的沙摆最大摆角比实线a的小 D．可判断出图中实线b对应的沙摆摆长比实线a的短 16．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C两点之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长，A、B之间的最大摆角（取，）。下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．摆球的重力为 C．摆球在A点时回复力的大小为 D．摆球在B点的动能为 三、解答题（共4道） 17．如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 (1)求单摆的振动周期和摆长。 (2)求摆球的质量和摆球运动过程中的最大速度。 18．在我国南方，很多山间村落，群山环绕，山清水秀，风景如画，夏天在岸边大槐树上荡秋千、跳水戏玩几乎成了村里男孩们消暑的生活常态。如图甲所示，小明同学抓住大槐树上挂牢的绳子荡秋千，随后松手跳入河中。现把小明视为质点，忽略一切阻力。简化模型如图乙所示，绳的悬点为O，悬点正下方水面为，最大摆角。图丙为小明在荡秋千时的振动图像。已知小明的质量，，，，试求： (1)绳子OA的长度L=？ (2)在图丙中a点时小明的回复力大小F及在b点时小明的加速度a=？ (3)小明在悬点正下方松手时，若离水面高h=5m，求小明从松手到落水过程的水平位移x=？ (4)小明落水时重力的功率P=？ 19．如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，t＝0时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此后摆球又向右摆动一个很小角度（不超过5°），设向左为正方向，摆球的振动图像如图乙所示（图线与两轴的交点已在图中标出，x1、x2分别为最低点到两侧最高点的位移），不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度g＝π2m/s2，求： (1)单摆的振动周期； (2)钉子的位置P点到悬点O的距离； (3)摆球摆到两侧最高点的位置是否等高？请论证； (4)图像中x1与x2的比值。 20．长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 (2)如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期，并与（1）b中小球运动的周期比较大小。 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4单摆 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（2个知识归纳+5个题型）+课后作业】 情景导入 日常生活中的秋千、钟摆在竖直平面内的运动是周期性地在最低点附近的往复运动。 那么，这种运动是简谐运动吗？ 　　 知识归纳 【知识点1 单摆的回复力】 1. 单摆：由细线和小球组成。 条件：①细线的质量与小球相比可以忽略。②小球的直径与线的长度相比可以忽略。 单摆是理想化物理模型。 2. 单摆的回复力： 思考①：单摆的回复力是摆球所受的合外力吗？ 单摆的回复力不是摆球所受的合外力。单摆的运动可看成变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力。其中，重力沿悬线方向的分力与细线拉力的合力充当摆球做圆周运动的向心力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力。 思考②：单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。 （1）单摆的回复力 ①摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。 ②向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。 ③回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供了使摆球振动的回复力。 ④回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 （2）单摆做简谐运动的推证：在偏角很小时，，又回复力，所以单摆的回复力为（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合，单摆做简谐运动。 3. 单摆的振动图像： （1）利用沙摆： （2）利用简谐运动的特点： 结论：单摆振动的x-t图象是一条正弦（余弦）函数图像。 综上，在摆角很小的情况下，单摆做简谐振动。 【例1】如图所示为一单摆装置，点是摆球的平衡位置，、两点为摆球摆动过程中的最高点（摆角小于5°）。不计空气阻力，在摆球由点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．摆球在点时的回复力最大 B．摆球在点时的回复力最小 C．摆球在点时的加速度方向水平向右 D．摆球在点时的加速度为0 【答案】B 【详解】AB．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力。在平衡位置点，重力沿切线方向的分力为，因此回复力最小，等于；在最高点、回复力最大，故A错误，B正确； CD．摆球经过点时，做圆周运动，速度不为零，需要指向圆心（沿绳竖直向上）的向心力，因此合外力方向竖直向上，加速度不为零，方向竖直向上，故CD错误。 故选B。 【变式1-1】关于简谐运动的单摆，在摆球通过最低点时，下列说法正确的是（　　） A．回复力为零，合外力也为零 B．回复力不为零，但合外力为零 C．回复力不为零，合外力指向悬点 D．回复力为零，合外力提供向心力 【答案】D 【详解】单摆的回复力是重力沿运动轨迹切线方向的分力；摆球做圆周运动，需要指向圆心（悬点）的向心力。摆球在最低点时，重力的切线分力为零，因此回复力为零；但摆球速度不为零，合外力提供向心力。 故选D。 【变式1-2】如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【答案】C 【详解】A．摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误； B．单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误； C．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确； D．摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 故选C。 【变式1-3】荡秋千是深受大家喜爱的活动。若将小孩和秋千视为一个单摆，其摆动可近似看作简谐运动。关于该振动过程，下列说法正确的是（　　） A．秋千摆动到最高点时，速度为零，处于平衡状态 B．秋千除受重力、弹力外还受回复力 C．秋千摆动的过程中不存在合力为零的位置 D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，回复力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．平衡状态的条件是合力为零。秋千摆到最高点时，速度虽然为零，但重力沿切线的分力不为零，总合力不为零，不是平衡状态，故A错误； B．回复力是效果力，由重力沿摆动切线方向的分力提供，不是物体额外受到的力，秋千实际只受重力、绳子的弹力，故B错误； C．最低点处切线方向的回复力为零，但径向的合力需要提供圆周运动的向心力，总合力不为零；其他位置合力也不为零，因此整个摆动过程不存在合力为零的位置，故C正确； D．简谐运动的回复力满足，回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比。秋千从最高点向最低点运动时，偏离平衡位置的位移逐渐减小，因此回复力逐渐减小，故D错误。 故选C。 【例2】两个小球P、Q构成的单摆振动的图像如下表所示（位移x随时间t变化的部分数据）。下列说法正确的是（　　） 时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 P位移x/cm 5.0 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 Q位移x/cm 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 2.5 A．t=0.6s时，P和Q的速度都为0 B．t=1.0s时，P和Q的速度方向相同 C．t=1.0s时，P和Q的加速度方向相同 D．根据图像无法比较P和Q的摆长 【答案】C 【详解】A．时，P的位移为，是最大位移，速度为； Q的位移为，不是最大位移，速度不为，故A错误； B．时，P的位移为，逐渐增大到，说明P向正方向运动； Q在位移为最大值，速度为0，没有方向，二者速度方向不可能相同，故B错误； C．时，二者位移均为正，加速度均沿负方向，P和Q的加速度方向相同，C正确； D．从表格数据可得，P从（位移）到回到原位移，Q从（位移 ）到也回到原位移，二者周期均为。 根据单摆周期公式，同一地点重力加速度相同，周期相同则摆长相等，可以比较摆长，因此D错误。 故选 C。 【变式2-1】单摆在做简谐运动时，下列物理量与摆球速率变化趋势相一致的是（　　） A．重力势能 B．回复力大小 C．机械能 D．动能 【答案】D 【详解】单摆做简谐运动时，从最高点向平衡位置运动过程速率增大，从平衡位置向最高点运动过程速率减小 A．重力势能公式为，速率增大时摆球高度降低，重力势能减小，二者变化趋势相反，A错误； B．单摆回复力大小满足（为相对平衡位置的位移），速率增大时位移减小，回复力减小，二者变化趋势相反，B错误； C．单摆运动过程只有重力做功，机械能守恒，大小始终不变，与速率的变化趋势不同，C错误； D．动能公式为，动能随速率增大而增大，随速率减小而减小，二者变化趋势一致，D正确。 故选D。 【变式2-2】兴趣小组用频闪照相法对单摆进行研究，他们所得照片中，小球图像最容易模糊的位置在（　　） A．小球位于最低点 B．小球位于最高点 C．小球位移为振幅的一半时 D．小球位移为振幅的四分之三时 【答案】A 【详解】频闪照相的曝光时间固定，曝光时间内小球的运动位移，速度越大，越大，成像拖影越长、越模糊，小球位于最低点速度最大，曝光时间内位移最大，图像最容易模糊。 故选A。 【变式2-3】图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在点和点处，速度为零，回复力也为零 C．摆球在点处，速度最大，细线拉力也最大 D．摆球在点处，速度最大，回复力也最大 【答案】C 【详解】A．摆球在运动过程中只受到重力和细线的拉力两个实际力的作用，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，属于效果力，不是物体实际受到的力，故A错误； B．摆球在A点和C点处，速度为零，但此时摆角最大，重力沿切线方向的分力（即回复力） 此时回复力最大，不为零，故B错误； C．摆球在B点处，重力势能最小，动能最大，速度最大。根据牛顿第二定律则有 解得 由于速度v最大，故细线拉力T也最大，故C正确； D．摆球在B点处，速度最大，但此时重力与拉力在同一直线上，切向合力（回复力）为零，故D错误。 故选C。 【知识点2 单摆的周期】 1. 周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 2. 单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 3. 公式：，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 思考：①单摆的摆长l等于悬线的长度吗？ 不等于。单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和。 ②将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ 可能会。单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同。 4. 对周期公式的理解： ①单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立（偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%）。 ②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ④周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。 【例3】一单摆的周期为T，摆球质量为m，摆长为L。若将摆长变为原来的4倍，摆球质量减半，则单摆的周期变为（　　） A．2T B．T C． D．4T 【答案】A 【详解】单摆的周期公式为，由公式可知，单摆周期仅与摆长、当地重力加速度有关，与摆球质量无关，因此摆球质量减半为干扰条件，不影响周期。 当摆长变为原来的4倍即时，新的周期： 故选A。 【变式3-1】一单摆的摆长为40cm，摆球在时刻正从平衡位置向右运动，若g取，则在1s时（　　） A．摆球正向左做减速运动，回复力正在增大 B．摆球正向左做加速运动，回复力正在减小 C．摆球正向右做减速运动，回复力正在增大 D．摆球正向右做加速运动，回复力正在减小 【答案】D 【详解】AB．由，代入数据得，则1s时，摆球正处于第四个内，由左侧最大位移处向平衡位置运动，故摆球正在向右运动，故AB错误； CD．摆球从最大位移处向平衡位置运动，回复力正在减小，速度正在增加，故C错误，D正确。 故选D。 【变式3-2】一般而言，由赤道向两极点重力加速度变大，摆钟的摆球运动类似于单摆，摆球摆动得快，指针转得快。将在常州走时准确的摆钟搬到北京，关于快慢和调整说法正确的是（　　） A．此摆钟走慢了，要调长摆长 B．此摆钟走慢了，要调短摆长 C．此摆钟走快了，要调长摆长 D．此摆钟走快了，要调短摆长 【答案】C 【详解】单摆的周期公式为，摆钟走时速度由摆动频率决定，相同时间内摆动次数越多，走时越快。从常州到北京，纬度升高，重力加速度变大，代入公式得单摆周期变小，摆动频率变大，因此摆钟走快了。 要让摆钟走时恢复准确，需要将周期调回原标准值，根据，变大的情况下，只有增大摆长，才能让回到原值，因此需要调长摆长。 故选C。 【变式3-3】如图所示，细长轻线下端拴一小球构成单摆，悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子O，现将摆球向左侧拉开一个小角度到A点，然后无初速度释放，摆球经最低点B到右侧最高点C，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．右侧最高点C低于左侧释放点A B．摆球经B点时回复力为零，合力为零 C．摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间 D．摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变 【答案】C 【详解】A．摆球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，因此摆球在右侧上升的高度与左侧开始下落的高度相同，故A错误； B．摆球经过最低点B时虽然回复力（沿摆动方向的分力）为零，但此时小球具有向心加速度，需要向心力，合力不为零，故B错误； C．结合题意可知，摆球从A点到B点时间和从B点到C点时间都是对应周期的，根据单摆得出周期公式可知，摆球从A点到B点的周期大于从B点到C点的周期，因此摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间，故C正确； D．摆球经过最低点时，摆线与钉子接触前后的瞬时速度相等，根据牛顿第二定律，则有 接触钉子后，摆线长（圆周运动的半径）变小，绳子的拉力变大，故D错误。 故选C。 【例4】甲、乙两个单摆在同一地点的振动图像如图所示，则（　　） A．甲、乙的振幅之比是4∶1 B．甲、乙的摆长之比是1∶4 C．甲、乙的最大速度大小相等 D．甲、乙的最大加速度相等 【答案】B 【详解】A．甲振幅，乙振幅，振幅比，故A错误； B．甲的周期，乙的周期 周期比 同一地点重力加速度相同，单摆周期公式为 变形得 因此摆长与周期平方成正比，故B正确； C．图像的切线斜率表示速度，单摆最大速度在平衡位置，在时，甲的切线斜率更大，最大速度不相等，故C错误； D．单摆最大位移处，最大加速度满足 代入数据得，最大加速度不相等，故D错误。 故选B。 【变式4-1】位于淄博和广州的两位同学，分别探究了单摆周期和摆长的关系，然后通过网络交流实验数据，并用计算机绘制了图像、，如图甲所示。另外，淄博的同学还利用计算机绘制了、两个单摆的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．甲图中淄博的同学所测得的实验结果对应的是图线A B．甲图中图线A对应的所在位置的重力加速度大小为 C．由乙图可知，两单摆频率之比为 D．由乙图可知，时球振动方向沿轴正方向 【答案】C 【详解】A．根据单摆的周期公式可得 变形得 图线的斜率为 纬度越高重力加速度越大，淄博比广州纬度高，其重力加速度大，对应的斜率小，图线B的斜率小，则甲图中淄博的同学所测得的实验结果对应的是图线B，故A错误； B．甲图中图线A对应的斜率为 解得，故B错误； C．周期为完成一次全振动的时间，则 解得 则频率之比为，故C正确； D．由乙图可知，t=1s时b球振动方向沿y轴负方向，故D错误。 故选C。 【变式4-2】一位宇航员在地球表面进行单摆实验，记录下摆球的振动图像如图所示，若能将该单摆装置带到火星表面（已知火星表面的重力加速度约为地球表面的倍），并让摆球从相同的最大摆角处开始摆动，下列关于火星上单摆振动图像的描述，最接近实际情况的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，单摆在地球表面上摆动的周期为，振幅为，根据单摆周期公式有 该单摆装置带到火星表面，已知火星表面的重力加速度约为地球表面的倍，可得 解得单摆在火星表面上摆动的周期 摆球从相同的最大摆角处开始摆动，故单摆的振幅 则火星上单摆振动图像的描述，最接近实际情况的是B。 故选B。 【变式4-3】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin100πt(cm) C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】A 【详解】A．由题图乙可知，单摆的周期为2s，振幅为8cm，由单摆的周期公式 代入数据解得，故A正确； B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为，故B错误； C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，故C错误； D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，故D错误。 故选A。 【例5】将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为的斜面上，其摆角为，如图。下列说法正确的是（　　） A．摆球做简谐运动的回复力为 B．摆球做简谐运动的回复力为 C．摆球做简谐运动的周期为 D．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力 【答案】D 【详解】AB．回复力由重力沿斜面向下的分力的切向分力提供，重力沿斜面向下的分力为，下滑分力的切线分力为，即摆球做简谐运动的回复力为，故AB错误； C．等效重力加速度为，摆球做简谐运动的周期为，故C错误； D．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力和重力的下滑分力的合力提供向心力，故 故，故D正确。 故选D。 【变式5-1】如图，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为，弧长远小于半径，现将可视为质点的两个小球分别从、点同时由静止释放，大于，则（　　） A．两球在点相遇 B．两球在点右侧相遇 C．两球在点左侧相遇 D．两球相遇时速度大小相等 【答案】A 【详解】ABC．题干说明弧长远小于圆弧半径R，两个小球的运动可等效为摆长为R的单摆简谐运动；根据单摆周期公式可得 两球摆长相同，因此周期相等；两球从释放点到最低点P的运动时间均为，因此两球同时到达P点，在P点相遇，故A正确，BC错误； D．根据机械能守恒可得 由于大于，说明A球初始位置更高，下落高度更大，因此A球到达P点的速度更大，故D错误。 故选A。 【变式5-2】如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4（其中（3）图两小球均带负电荷，（4）图中振动系统处于匀加速下降的电梯内），关于周期大小关系的判断，正确的是（　　） A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 【答案】C 【详解】对于（1）图中的常规单摆，根据单摆周期公式有 对于（2）图中的双线摆，小球只能在垂直于纸面方向做简谐运动，等效摆长为，根据单摆周期公式有 对于（3）图中的单摆，由于悬点处与小球均带有负电荷，两者相互排斥，库仑力始终沿着绳子方向，不改变单摆垂直于绳子方向的切向回复力，系统等效重力加速度不变，根据单摆周期公式有 对于（4）图中的单摆，振动系统处于匀加速下降的电梯内，小球处于部分失重状态，系统等效重力加速度为，根据单摆周期公式有 联立上述公式比较解得 故选C。 【变式5-3】如图甲所示，一根轻杆和一根轻质细线组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，轻杆与悬挂轴垂直，摆线与轻杆的夹角θ=30°。其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，倾斜平面与水平面的夹角也为θ=30°，该杆线摆做简谐运动的位移—时间图像如图所示。，取重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．P点时小球向远离平衡位置运动 B．该杆线摆的细线长约为 C．若小球带正电，加上竖直向下的匀强电场后系统周期变大 D．一个周期内小球的动量方向变化一次 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，P点处在峰值向平衡位置的回落阶段，小球的位移减小，所以此时小球正向平衡位置靠近，不是远离。故A错误； B．由题图乙可知，该杆线摆的周期为 设该杆线摆的细线长为，则根据单摆的周期公式有 联立解得，故B正确； C．未加竖直向下的匀强电场时，摆球在倾角为的斜面上静止时，沿斜面方向的平衡方程为 所以小球摆动时的等效重力加速度为 同理可知，加竖直向下的匀强电场后，小球摆动时的等效重力加速度为 则由可知，由于加上竖直向下的匀强电场后变大，所以系统的周期变小，故C错误； D．由于小球每次经过最大位移处时的动量方向都会发生改变，所以一个周期内小球的动量方向变化两次，故D错误。 故选B。 一、单选题（共12道） 1．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小 B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大 D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】D 【详解】AC．由题图可知，在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，悬线的拉力最小，故AC错误； BD．在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线的拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。 故选D。 2．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可用作工地的拆除工作。大铁球摆动时可视为单摆，对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是 B．如果再知道单摆的摆长，可粗略算出当地的重力加速度 C．大铁球摆动的角度增大，则振动周期增大，能量也增大 D．当时，大铁球的动能最小，回复力最大 【答案】B 【详解】A.由图乙可知，相邻位移最大点间隔4s，故单摆的周期为，故A错误； B.根据单摆周期公式可知，如果再知道单摆的摆长，可算出当地的重力加速度，故B正确； C.由单摆周期公式可知，振动周期与摆动的角度大小无关，根据机械能守恒，角度增大导致重力势能增加，总能量增加，故C错误； D.在时大铁球处在平衡位置，动能最大，回复力最小，故D错误。 故选B。 3．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是1:2 B．甲与乙的频率之比是1:2 C．在A、B两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从t=0时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 【答案】D 【详解】A．由振动图像可知，甲、乙两个单摆的周期分别为、 根据单摆周期公式有 因此摆长之比为 故甲、乙的摆长之比为1:4，故A错误； B．根据频率与周期的关系有 解得 故甲、乙的频率之比为2:1，故B错误； C．甲摆球在、两点对应时刻的位移大小相等，根据简谐运动规律有 因此两时刻的速度大小相等，但点处图像斜率为正，摆球向右运动，点处图像斜率为负，摆球向左运动，两时刻的速度方向相反，故C错误； D．从时刻起，乙摆球第一次到达左侧最大位移处的时刻为，该时间恰好等于甲摆球的一个周期，因此甲摆球回到平衡位置，故D正确。 故选D。 4．如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。（　　） A．甲球先到达槽最低点O B．乙球先到达槽最低点O C．丙球先到达槽最低点O D．甲乙丙球同时到达槽最低点O 【答案】C 【详解】对于丙球，根据自由落体运动规律有 解得 对于甲乙两球，做简谐运动，其运动周期为 甲乙两球第一次到达点O时运动周期，则 所以丙球先到，然后甲、乙球同时到。 故选C。 5．等效法是物理学常用的科学思想方法，可以建构等效物理过程以便于解决问题。不可伸长的轻质、绝缘细线一端固定在天花板上，一端与带电小球相连，组成如图所示的单摆，其摆动周期为。仅在空间中加水平向右的匀强电场时，其摆动周期为。仅在空间中加垂直纸面向里的匀强磁场时，其摆动周期为。若不计空气阻力，摆角均小于，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原单摆：根据单摆的周期公式可得 加水平匀强电场：重力和电场力的合力大小为 等效重力加速度，代入周期公式得 加垂直纸面的匀强磁场：洛伦兹力始终沿细线（摆的半径方向），和速度方向垂直，不改变切线方向的回复力，等效重力加速度为，因此 综上可得大小关系 故选B。 【点睛】 6．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（　　） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3 C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零 【答案】D 【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2：1，根据单摆的周期公式可知，甲、乙单摆摆长之比为4：1，故A错误； B．根据周期与频率的关系所以振动频率之比为1：2，故B错误； C．根据振动图像可知，在时刻，甲、乙两单摆均沿轴正向振动，故C错误； D．在时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，故D正确。 故选D。 7．如图所示，在北京某中学的实验室中有一单摆，在它的正下方放置一个方位刻度盘。开始时，单摆沿方位刻度盘的方向摆动，经过数小时后，单摆的摆动为（　　） A．沿的刻度方向摆动 B．沿刻度盘顺时针转过的某一刻度方向摆动 C．沿刻度盘逆时针转过的某一刻度方向摆动 D．无法确定 【答案】B 【详解】单摆在摆动时考虑科里奥利力的影响，位于北半球的单摆，沿运动方向观察，科氏力的方向指向右方，故单摆的摆动面会沿顺时针方向（俯视）变动，故ACD错误，B正确。 故选B。 8．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 【答案】A 【详解】AC．让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期为，故A正确，C错误； BD．让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 所以周期为，故BD错误。 故选A。 9．图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为1s B．细线的长度为 C．小球经过最低点时速度大小为 D． 【答案】D 【详解】AB．小球每经过最低点时动能最大，细线拉力最大，由图乙可知，两次经过最低点的时间间隔是，则单摆的周期是，根据单摆的周期公式 解得摆长 小球的直径 则细线的长度，故AB错误； CD．设单摆最大摆角为，在最低点速度大小为，则在最低点有 从最高点运动至最低点，由动能定理有 最高点小球速度为零，有 联立解得、，故C错误，D正确。 故选D。 10．某同学设计了如图所示的单摆实验，将摆长为l的单摆上端固定在天花板上O点处，下端连接一小球，在O点正下方的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，取向右为正方向。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】摆长为时单摆的周期 最大回复力（为摆角） 摆长为时单摆的周期 故最大回复力（为摆角）。 根据机械能守恒定律得 利用， 解得 可得，故。 综上有，，故ACD错误，B正确。 故选B。 11．如图所示，可视为质点的滑雪运动员从一段圆弧滑道由静止无助力下滑，圆弧半径远大于弧长。初始时，运动员和圆心的连线与竖直方向的夹角，忽略一切阻力。运动员沿圆弧轨道下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．沿滑道方向的加速度和速度都在增大 B．运动员重力的功率逐渐变大 C．若初始夹角改为，下滑时间变短 D．若初始夹角改为，重力冲量不变 【答案】D 【详解】A．沿滑道方向的加速度即切向加速度，由重力的切向分力产生 下滑过程中逐渐减小，随之减小，因此切向加速度减小。 因此速度从零开始增大，但加速度在减小，故A错误； B．重力的瞬时功率，其中是重力与速度方向的夹角。 初始时，；最低点时速度最大，但重力与速度垂直，， 中间某位置功率为正，因此功率从零先增大后减小，并非一直增大，故B错误； C．初始摆角很小，满足单摆做简谐运动的条件。运动员从最高点，即最大位移处，由静止释放，沿圆弧滑向最低点，即平衡位置。 单摆简谐运动的周期，与振幅（初始角度）无关。从最大位移处到平衡位置的时间为 初始角度改为，仍在很小范围内，周期不变，因此下滑时间不变，故C错误； D．重力的冲量，方向竖直向下。 下滑时间不变，重力恒定，因此重力冲量不变，故D正确。 故选D。 12．如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线图中的虚线，已知P，Q分别是木板上的两点，忽略沙漏重心的变化，则（　　） A．两次实验沙漏振动周期不同 B．木板移动的速度v1与木板的速度v2之比为3∶2 C．位置P处的沙层比Q处的沙层浅一些 D．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在P点开始计时 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式可知，两次实验沙漏振动周期相同，故A错误； B．木板做匀速运动，设振动周期为T，则 解得，故B正确； C．沙漏摆动时在最大位移处速度为零，在平衡位置处速度最大，所以P处堆积的细沙比Q处多，故C错误； D．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在单摆运动到最低点开始计时，即Q点开始计时，故D错误。 故选B。 二、多选题（共4道） 13．振动是自然界中普遍存在的运动形式，简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动，甲、乙图对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点 C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 【答案】BD 【详解】A．题图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，故A项错误； B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变速直线运动，故B项正确； C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C项错误； D．图乙中O点为单摆的平衡位置，在该位置单摆的回复力最小为零，且该点处速度最大，故D项正确。 故选BD。 14．图中是甲、乙两名游客体验“悬崖秋千”的情境，甲、乙游客的质量和摆幅均不相等，忽略空气阻力作用，两游客均可视作质点且摆幅较小，下列说法正确的有（　　） A．甲游客在B点机械能大于A点 B．甲游客在A点受到的回复力大于B点 C．甲、乙游客在B点的速度大小相等 D．甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同 【答案】BD 【详解】A．甲游客在B点机械能等于A点，故A错误； B．甲游客在A点的回复力等于重力沿运动轨迹切线方向的分力，在B点的回复力为0，故B正确； C．甲、乙游客的摆幅不相等，在B点的速度大小不相等，故C错误； D．两个单摆周期近似相等，甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同，故D正确。 故选BD。 15．小吴和小智组成的小组用如图所示实验装置研究沙摆小角度振动的规律。漏斗静止时下端接近水平薄木板，摆动的竖直面与木板交线为，木板中线垂直于。当沿O'O匀速拉动薄木板时，漏斗中漏出的沙在板上形成特定形状的曲线。可改变单摆的最大摆角、摆长、拉木板的速度进行多次实验。实验中，沙漏重心位置的变化可以忽略。当拉木板的速度为v时，在木板上长度为s的阴影区留下图所示的实线a。同一木板另一次实验得到的结果为如图所示的实线b。在木板平面以O'O为横轴，垂直O'O建立纵轴，可以对图线进行研究。下列说法正确的是（　　） A．图横轴可以代表时间轴，其中的实线a对应的阴影区表示的时长为 B．若图中实线a为正弦曲线，则对应的沙摆的运动可近似看作简谐运动 C．可判断出图中实线b对应的沙摆最大摆角比实线a的小 D．可判断出图中实线b对应的沙摆摆长比实线a的短 【答案】AB 【详解】A．由已知，水平方向匀速拉动薄木板，则横轴可以代表时间轴，则时长 A正确； B．若图中实线a为正弦曲线，在忽略空气阻力情况下，沙摆在之间做周期性运动，可近似看作简谐运动，B正确； C．由图判断出图中实线b对应振幅比实线a的振幅小，但两次实验不知摆长关系，则无法确定最大摆角的大小关系，C错误； D．由图可知，实线b对应波长比实线a的波长小，由波长公式 薄木板水平匀速运动，由于两次拉动木板的速度即波速大小关系未知，无法判断出周期关系，则无法确定摆长关系，故D错误。 故选AB。 16．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C两点之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长，A、B之间的最大摆角（取，）。下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．摆球的重力为 C．摆球在A点时回复力的大小为 D．摆球在B点的动能为 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知，单摆周期为 单摆周期公式为 解得，故A错误； B．摆球在A点，拉力最小且与重力沿摆线的分力等大反向，有 由图乙可知 解得，故B正确； C．摆球在A点时回复力的大小为，故C错误； D．从A点到B点能量守恒，有 计算出摆球在B点的动能，故D正确。 故选BD。 三、解答题（共4道） 17．如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 (1)求单摆的振动周期和摆长。 (2)求摆球的质量和摆球运动过程中的最大速度。 【答案】(1)，0.4m (2)0.05kg， 【详解】（1）单摆的周期为 由单摆的周期 得 （2）设AO与竖直面的夹角为θ，由图可知 在A点时 在B点 由A到B，机械能守恒 由以上三式解得， 18．在我国南方，很多山间村落，群山环绕，山清水秀，风景如画，夏天在岸边大槐树上荡秋千、跳水戏玩几乎成了村里男孩们消暑的生活常态。如图甲所示，小明同学抓住大槐树上挂牢的绳子荡秋千，随后松手跳入河中。现把小明视为质点，忽略一切阻力。简化模型如图乙所示，绳的悬点为O，悬点正下方水面为，最大摆角。图丙为小明在荡秋千时的振动图像。已知小明的质量，，，，试求： (1)绳子OA的长度L=？ (2)在图丙中a点时小明的回复力大小F及在b点时小明的加速度a=？ (3)小明在悬点正下方松手时，若离水面高h=5m，求小明从松手到落水过程的水平位移x=？ (4)小明落水时重力的功率P=？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）将小明荡秋千的过程看成是单摆运动，由图丙可知，该单摆的周期为 则由单摆的周期公式可得绳子OA的长度为 （2）a点位置为小明在最大振幅处时的位置，如图乙中的A点，其回复力由重力沿切线方向的分力提供，所以此时的回复力为 b点为摆动过程的最低点，则对小明从a点运动到b点的过程列动能定理方程有 解得b点时小明的速度为 又因为小明做的是圆周运动，则在b点根据牛顿第二定律方程有 代入数据解得在b点时小明的加速度大小为 （3）小明在最低点松手后做平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则有 解得小明从松手到落水过程的运动时间为 由于水平方向做的是匀速直线运动，则有 代入数据解得小明从松手到落水过程的水平位移为 （4）小明落水时竖直方向的速度为 所以小明落水时重力的功率为 19．如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，t＝0时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此后摆球又向右摆动一个很小角度（不超过5°），设向左为正方向，摆球的振动图像如图乙所示（图线与两轴的交点已在图中标出，x1、x2分别为最低点到两侧最高点的位移），不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度g＝π2m/s2，求： (1)单摆的振动周期； (2)钉子的位置P点到悬点O的距离； (3)摆球摆到两侧最高点的位置是否等高？请论证； (4)图像中x1与x2的比值。 【答案】(1)T＝1.8s (2)L＝0.36m (3)等高；见解析 (4)x1：x2 【详解】（1）由图像可知单摆的振动周期为T＝1.8s （2）设摆线长度为L1，摆线碰到钉子后长度为L2，则， 钉子的位置P点到悬点O的距离为L＝L1﹣L2 联立解得L＝0.36m （3）不计摆线和钉子相碰时的能量损失，所以整个过程机械能守恒，由机械能守恒定律可知mgh1＝mgh2 所以摆球摆到两侧最高点的位置是等高。 （4）单摆在OP左侧最大偏角为θ，因摆角θ较小，则向左的最大位移近似等于弦长，则由数学知识得 同理，单摆在OP右侧最大偏角为α，由数学知识得 由机械能守恒定律得mgL1（1﹣cosθ）＝mgL2（1﹣cosα） 其中 带入解得 联立解得 20．长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 (2)如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期，并与（1）b中小球运动的周期比较大小。 【答案】(1)a．；b． (2)，小于（1）b中小球运动的周期 【详解】（1）a．小球从静止释放到最低点的过程中，根据机械能守恒可得 解得 在最低点，由牛顿第二定律可得 解得 b．若较小，释放后小球做简谐运动；根据单摆周期公式可得 根据动量定理可得 联立解得一个周期内绳对小球拉力的冲量大小为 （2）使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律可得 其中 解得小球运动的周期为 而（1）b中小球运动的周期为 由于，可得 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $