2.4 单摆 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦单摆的回复力与周期两大核心知识点，从单摆理想化模型条件切入，系统分析回复力来源及简谐运动条件，进而推导周期公式、阐释等时性及应用，涵盖等效摆长等拓展内容，构建完整知识支架。 资料通过模型建构（单摆理想化条件）和科学推理（回复力与周期公式推导）培养科学思维，例题从基础填空到综合计算层次分明，课中辅助教师教学实施，课后帮助学生查漏补缺，提升物理观念与科学探究能力。

单摆 知识点一：单摆的回复力 1．单摆 单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，如果悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 单摆做简谐运动的条件： 小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动． 2．单摆做简谐运动的回复力 单摆做简谐运动的回复力是由重力沿圆弧切线的分力提供（不要误认为是摆球所受的合外力）．当很小时，圆弧可以近似地看成直线，．切线的分力可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明． 可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动． 3.运动特点： （1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力。 （2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。 4.单摆的受力特征： （1）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，。 (2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。(如图所示) （3）两个特殊位置： ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 知识点二:单摆的周期 荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即 式中为悬点到摆球球心间的距离，为当地的重力加速度． （1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性． （2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式 ， 对于单摆 ， 所以 ． 周期为的单摆，叫做秒摆，由周期公式 得秒摆的摆长 ． 4．单摆的应用 （1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢． （2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度。 5．圆锥摆 如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动． 设运动过程中细线与竖直方向夹角为，线长为，则小球做圆周运动的半径 ， 向心力 ． 由 ， 得圆锥摆的周期 ． 显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动． 6.等效摆长和等效重力加速度 ①等效摆长:对于各种不同的单摆系统，周期公式中的摆长L的意义是不同的.摆长L是指摆球摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度. ②等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质量的比值，即g等=。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出g等就可以求出对应的周期。 例题： 1.单摆的回复力 单摆的组成：由细线和________组成。 理想化模型 （1）细线的质量与小球相比可以忽略。 （2）小球的________与线的长度相比可以忽略。 （3）细线的____________与细线长度相比可以忽略。 （4）空气阻力与小球的______________及细线的____________相比可以忽略。 单摆的回复力 （1）回复力的来源：摆球的重力沿________________方向的分力，即F＝________。 （2）回复力的特点：在摆角很________时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________________，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 2．如图，拉开摆球使它偏离平衡位置O一个小角度（θ<5°），然后放开，摆球沿以O为中点的圆弧AA′做往复运动（单摆振动）。请回答下列问题： (1)摆球在任意点P（非平衡位置）时，受几个力作用？分别是什么力？ (2)悬线拉力与重力沿悬线方向的分力有什么关系？这个方向的合力有什么作用？ (3)若摆球质量为m，悬线与竖直方向夹角为θ，请推导重力沿圆弧切线方向的分力大小，并说明这个分力的方向特点。 (4)单摆的回复力是哪个力（或哪个力的分力）？为什么这个力能让摆球回到平衡位置？ (5)当摆球运动到平衡位置O时，重力沿切线方向的分力大小是多少？此时回复力为零吗？ (6)若摆角θ增大（比如θ=15°），重力沿切线的分力还能近似作为回复力吗？为什么？ 3．如图所示，质量均为的两小球、用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．、两小球都是所受合外力充当向心力 B．小球的周期为 C．小球受到的绳子拉力为 D．小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 4．在同一地点做简谐运动的甲、乙两个单摆，其摆长相同，甲单摆的质量是乙单摆质量的，甲摆球经过平衡位置的速度是乙摆球经过平衡位置的速度的，则以下说法正确的是（　　） A．甲、乙做简谐运动的周期之比为3：2 B．甲、乙做简谐运动的周期之比为1：1 C．甲、乙做简谐运动的振幅之比为1：1 D．甲、乙做简谐运动的振幅之比为3：2 5．如图所示，带异种电荷的小球甲、乙分别用绝缘细线1、2悬挂在水平天花板上，两小球静止时处于同一水平线上，细线1、2与竖直方向的夹角分别为、，且。某时刻同时导走小球甲、乙上的电荷，不计空气阻力，两小球均可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．小球甲的运动周期等于小球乙的运动周期 B．小球甲的运动周期大于小球乙的运动周期 C．小球甲经过最低点时的速度小于小球乙经过最低点时的速度 D．小球甲经过最低点时处于平衡状态，加速度为0 6．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面上，O为圆弧的圆心，C为轨道的最低点，A、B两点关于C点对称，A、B、C三点在同一竖直面内，且圆弧所对应的圆心角θ小于，半径为r的小球由A点静止释放，此后小球在间往复运动，已知。则下列说法正确的是（　　） A．小球在A点受到的合力为零 B．小球在C点受到的合力为零 C．小球由A点到C点的过程中，受轨道弹力逐渐增大 D．小球由A点到B点的时间为 7．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，该运动可看成简谐运动。从某次摆球到达平衡位置处开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，取重力加速度大小，，求： (1)单摆的振幅和周期； (2)单摆的摆长。 8．同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，结合图像可知（    ） A．两摆球的质量相等 B．两单摆的摆长相等 C．在0~8s内，两摆球通过的路程相等 D．若单摆甲的振幅变小，则单摆甲周期变小 9．如图1所示，一单摆悬挂在O点，在O点正下方P点有一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A点后静止释放，小球在竖直平面内做简谐运动，摆球的振动图像如图2所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重力加速度g取10m/s2，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为 B．时小球动能最大 C． D． 10．如图甲，O为单摆的悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，为摆球从A点开始运动的时刻，取。下列说法正确的有（　　） A．时小球第一次摆到C点 B．单摆的周期为 C．小球质量为 D．单摆的摆长为 11．图1中，用一轻质细线将一可视为质点的小球悬挂在天花板上，其摆动周期为T1；图2中，用一轻质细线将该小球挂在光滑固定的斜面上，使其紧贴斜面摆动，摆动周期为T2；图3中，用两根等长的轻质细线将该小球悬挂在水平天花板上，使其沿垂直纸面方向摆动，摆动周期为T3。若所有摆动均视为单摆运动，且所有细线长度相同，重力加速度均为g，则（　　） A．T2>T1>T3 B．T1>T3>T2 C．T1>T2>T3 D．T2>T1=T3 12．如图，小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间来回运动。若，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．在A点时小球受到的合力为零 B．在最低点时小球受到的合力为零 C．小球从A点运动到最低点所用时间为 D．小球运动过程中动能变化的周期 试卷第6页，共6页 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 3 4 5 6 8 9 10 11 12 答案 B B B C B D AD A C 1．小球 直径 形变量 重力 拉力 圆弧切线 mgsin θ 小 正比 平衡位置 2．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 (6)见解析 【详解】（1）摆球在任意点P（非平衡位置）时，受两个力作用，分别是悬线拉力、重力。 （2）悬线拉力与重力沿悬线方向的分力的合力方向沿半径指向圆心，提供摆球的向心力，若摆球质量为m，悬线与竖直方向夹角为θ，悬线拉力为F，摆线长度为l，摆球速度为v 则 这个方向的合力提供向心力，产生向心加速度，改变速度的方向。 （3）重力沿圆弧切线方向的分力大小为，当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可以认为F指向平衡位置O，与位移x反向，圆弧的长度可认为与摆球的位移x大小相等，即 因此单摆的回复力可表示为 可见，单摆在摆角很小（小于）的情况下做简谐运动。式中负号表示回复力与位移的方向相反。即这个分力方向始终指向平衡位置。 （4）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力来充当的，正是这个力迫使摆球回到平衡位置O。 （5）当摆球运动到平衡位置O时，重力沿切线方向的分力大小是零，此时回复力为零。 （6）由上述分析可知，若摆角θ增大（比如θ=15°），角度近似关系不再成立（），故重力沿切线方向的分力不与位移成正比，不能近似作为回复力。 3．B 【详解】A．只有匀速圆周运动的合外力才全部充当向心力。小球a做竖直面内的变速摆动，合外力可分解为切向分量改变速度大小和法向分量提供向心力，不是合外力整体充当向心力，故A错误； B．对做匀速圆锥摆运动的，设绳子长为，受力分析： 竖直方向受力平衡 水平方向合力提供向心力 联立两式整理得，周期，故B正确； C．由上述对的受力分析，竖直方向，得受到绳子拉力，故C错误； D．小球运动到最高点时速度为，向心力为，沿绳子方向合力为，拉力等于重力沿绳子方向的分力：，故D错误。 故选B。 4．B 【详解】AB．根据单摆的周期公式，由题干可知，甲、乙两单摆的摆长相同，且在同一地点相同，因此周期相同，故周期之比为，故A错误，B正确； CD．简谐振动的能量为，其中 则根据能量关系得 可得 给出甲摆球在平衡位置的速度是乙的，即 所以振幅之比，故CD错误。 故选B。 5．B 【详解】AB．同时导走小球甲、乙上的电荷后，小球甲与细线1、小球乙与细线2组成的系统均可视为单摆，由题意可知细线1比细线2长，根据单摆周期公式，可知小球甲的运动周期大于小球乙的运动周期，故A错误，B正确； C．小球甲从最大位移处运动到最低点下落的高度较大，根据动能定理可得 可得 可知小球甲经过最低点时的速度大于小球乙经过最低点时的速度，故C错误； D．小球甲摆动过程做圆周运动，经过最低点时，有向心加速度，故D错误。 故选B。 6．C 【详解】A．小球在A点受竖直向下的重力和沿半径方向的支持力，合外力不为零，A错误； B．小球在C点由牛顿第二定律有 支持力大于重力，合外力不为零，B错误； C．对小球受力分析，由牛顿第二定律有 小球从A点向C点运动的过程中，绳子与竖直方向的夹角减小，增大，小球的增大，故受轨道弹力逐渐增大，C正确； D．小球做单摆的周期为 则小球从A点运动到B点的时间为 D错误。 故选C。 7．(1)， (2) 【详解】（1）由图乙可得振幅 周期 （2）由单摆周期公式 可得 8．B 【详解】A．从图像上可得出振幅，单摆周期，与质量无关，所以无法得到两球的质量关系，故A错误； B．从图上知，又由可得，两单摆的摆长相等，故B正确； C．由于，在0~8s时间内，两摆球通过的路程，故C错误； D．单摆的周期与振幅无关，所以若单摆甲的振幅变小，则单摆甲周期不变，故D错误。 故选B。 9．D 【详解】A．由图像可知，该单摆的周期为，故A错误； B．由图可知，t=0.2πs时小球到达最高点，此时速度为零，动能为零，故B错误； CD．根据单摆周期公式可得， 解得， 所以，故C错误，D正确。 故选D。 10．AD 【详解】A．单摆从A点（最高点）释放，t=0时拉力最小（），到最低点B时拉力最大，再到C点（另一最高点）时拉力再次最小。由图乙知，t=0.2πs时第一次摆到C点，A正确； B．由A分析，t=0.2πs为半个周期，故周期T=0.4πs，B错误； C．设最低点最大拉力为，此时小球处于圆周运动最低点，故绳子拉力大于重力。小球的质量应小于0.051kg，C错误： D．由单摆周期公式 代入T=0.4πs，g=10m/s2，解得L=0.4m，D正确。 故选AD。 11．A 【详解】设细线长度为L，图2斜面倾角为，图3中两线夹角为，则图1、图2、图3单摆周期分别为，， 综上可知。 故选A。 12．C 【详解】A．在A点，小球速度为零，但受到重力和球面支持力，二者不共线，故小球合力不为零，故A错误； B．在最低点，小球做圆周运动，需要向心力。合力为重力与支持力的差值，方向向上，不为零，故B错误； C．因为，故小球的运动可视为单摆运动，等效摆长为R，从A点到最低点的时间是四分之一周期，即，故C正确； D．小球在一个周期内，动能会两次达到最大值（在最低点）和两次达到最小值（在A、B点），因此动能变化的周期是运动周期的一半，即为，故D错误。 故选C。 $