2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 这份同步练习通过“例题精练”与“基础夯实”分层设计，以平行垂直判定为主线，从单一知识点到几何综合应用，培养数学思维与应用意识，适配新授课基础巩固与能力初步提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|平行垂直判定、参数问题、几何图形应用|4道例题从直接判定（两点求斜率）到参数计算（m值求解）、平行四边形性质（坐标与菱形判定），梯度进阶| |基础夯实|斜率计算、判定条件辨析、简单几何应用|单选（6）、多选（3）、填空（3）、解答（1），覆盖概念辨析（倾斜角与斜率关系）、计算（中线/高斜率）、简单综合（直角三角形个数），夯实基础|

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)既不平行也不垂直 (2)平行 (3)既不平行也不垂直 (4)垂直 【分析】根据点的坐标，先判断直线是否与坐标轴垂直，若垂直则易判断两直线位置关系；若不垂直，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合. 【详解】（1）两直线斜率都存在， 由，. 由，得与既不平行也不垂直． （2）与都与x轴垂直，且与不重合，所以与平行. （3），， 由，得与既不平行也不垂直． （4）与x轴垂直，与轴垂直，得与垂直． 【例2】当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【详解】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 【例3】已知在平行四边形中，，，. (1)求点的坐标； (2)试判断平行四边形是否为菱形. 【答案】(1) (2)平行四边形是菱形. 【详解】（1）设顶点的坐标为，， ，， 由题意可得，则， 解得：，所以点的坐标是. （2）由（1）知，， ， ，， 则在平行四边形中，所以平行四边形是菱形. 【例4】已知，，. (1)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直式斜率之间的关系，列式求解，即得答案； （2）由，可得，结合斜率公式即可求得答案. 【详解】（1）设，而，因为，故， 故，即， 即； （2）设，因为，故， 而，即得， 即，结合，故轴， 故直线的倾斜角为. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 2．直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 3．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 4．四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】分别求出四边形四条边所在直线的斜率，利用对边和邻边斜率之间的关系从而确定直线的位置的关系，最后确定四边形的形状即可. 【详解】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 5．已知两条不重合的直线，的斜率分别是，，且，是方程的两个根，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用不重合的两条直线平行的条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，而直线不重合，则； 反之，由，且直线的斜率分别为， 则，方程有两个相等的根， 可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 二、多选题 7．已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据斜率的计算公式计算出各条直线的斜率，根据斜率关系判断直线位置关系. 【详解】解：由斜率公式知，，，，，．所以ABC均正确，D错误． 故选：ABC. 8．若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 9．已知，若直线与直线平行，则m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，并分类讨论，即可求解. 【详解】当时，直线的方程为，满足直线与直线平行， 当时，，即，解得， 综上所述，m的值可能为0或1. 故选：AB. 三、填空题 10．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 11．若与的斜率，是关于的方程的两根，若，则______； 【答案】2 【分析】首先根据直线垂直得：，然后再根据韦达定理进行求解即可. 【详解】已知，可得：， 又，是关于的方程的两根，可得：， 解得：. 故答案为： 12．已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是______． 【答案】平行 【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】由题意可得， 则方程， 即， 它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故表示与平行的直线， 故答案为：平行 ． 四、解答题 13．已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 【例2】当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【例3】已知在平行四边形中，，，. (1)求点的坐标； (2)试判断平行四边形是否为菱形. 【例4】已知，，. (1)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 5．已知两条不重合的直线，的斜率分别是，，且，是方程的两个根，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 9．已知，若直线与直线平行，则m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 10．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 11．若与的斜率，是关于的方程的两根，若，则______； 12．已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是______． 四、解答题 13．已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $