4.4 一次函数的应用（第2课时 单个一次函数的应用）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦单个一次函数的应用，核心包括从图象获取信息、用待定系数法求解析式、理解一次函数与一元一次方程的联系。课堂导入通过复习一次函数图象关键信息，激活已有知识，搭建从性质到应用的学习支架。 以摩托车耗油、水库蓄水等生活情境为载体，引导学生经历“读图估读→求解析式→精确计算”过程，培养几何直观与模型意识。通过数形结合明确一次函数与方程的联系，发展运算能力与推理意识，助力学生理解实际问题，为教师提供清晰教学逻辑与分层练习思路。

4.4 一次函数的应用（第2课时 单个一次函数的应用） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维。 2.会利用一次函数的图象和关系式解决简单实际问题。 3.在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力。 教学重点 利用一次函数图象获取信息，用待定系数法求解析式解决简单实际问题； 理解一次函数与一元一次方程的联系。 教学难点 从实际问题中提取两个点的条件，建立一次函数模型；从数和形两个角度理解一次函数与一元一次方程的关系。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第四节《一次函数的应用》（第 2 课时 单个一次函数的应用），是在学生掌握待定系数法求一次函数表达式基础上的实际应用课，承担着利用一次函数模型解决简单实际问题的教学任务，帮助学生学会借助函数图象与表达式分析变量之间的变化关系。 依照课标要求，教材将内容划分为读懂实际情境、建立一次函数模型、利用函数求解并解释结果三个模块，从现实生活实例入手，引导学生结合函数图象提取信息，求解并解释结果的实际意义，符合八年级学生的认知发展逻辑。教材以 “分析变量关系 — 确定函数模型 — 读图求值 — 解释实际意义” 的逻辑线推进，打通解析式、图象与现实情境之间的联系。本节承接确定一次函数表达式的内容，也为后续两个一次函数综合应用打下基础。教材借助生活问题，渗透数学建模思想，落实数学建模、直观想象核心素养，让学生感受一次函数作为刻画变化规律工具的实用价值。 学情分析 学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及一次函数的概念、图象与性质，具备用函数观点分析简单实际问题的初步经验。但将实际情景中的图象信息转化为点的坐标，再通过解析式求方程的解，是学生第一次系统经历。读图时，学生能看出大致变化趋势，但容易忽略横、纵坐标的实际意义，难以准确找出所需点；求解析式时，先设再代入两点求解，操作难度不大，但学生对于“直线与轴交点的横坐标就是方程的解”这一数形结合的理解存在一定抽象障碍。因此，教学中应借助生活中熟悉的例子，引导学生先观察图象、读取关键点，再逐步建立函数与方程之间的联系，从而突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 师：同学们，我们已经学习了一次函数的图象和性质。观察一个一次函数图象，你能读出哪些信息？ 学生讨论后回答： 1.可以确定 和 的符号； 2.可以根据图象估计函数变化的趋势； 3.可以直接观察出 与 的对应值； 4.由直线与 轴的交点可以得出 值，只要能读出直线上另一个点，就可以用“待定系数法”求出函数表达式。 【引入新知】 师：这些信息正是我们解决实际问题的“钥匙”。今天我们就借助一次函数图象，学习如何从中获取信息并解决实际问题。 通过开放式问题激活学生已有知识，明确一次函数图象中的关键信息，自然过渡到“单个一次函数的应用”，同时点明待定系数法在本节课的重要地位。 探究点1：从图象获取信息——摩托车耗油问题 【问题引入】 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 （单位：L）与该摩托车行驶路程 （单位：km）之间的关系如图所示。你能根据图象回答下列问题吗？ （1）油箱最多可储油多少升？ （2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ （3）摩托车每行驶 km 消耗多少升汽油？ （4）油箱中的剩余油量小于 L 时，摩托车将自动报警。行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 【师生活动】 教师出示图象，引导学生明确横轴、纵轴分别表示的实际意义；学生独立观察、同桌交流，并逐一回答。 【详细过程】 （1）观察图象，当 时，。因此，油箱最多可储油 L。 （2）当 时，。因此，一箱汽油最多可供摩托车行驶 km。 （3）当 从 增加到 时， 从 减小到 ，减小了 。因此，摩托车每行驶 km 消耗 L 汽油。 （4）当 时，。因此，行驶 km 后，摩托车将自动报警。 师：我们还可以用待定系数法求出这个一次函数的关系式。 设 。由图象可知 ，图象又过点 ，则有 解得 所以 【归纳总结】 利用实际情景函数图象解答问题时：理解横、纵坐标分别表示的实际意义； 分析已知条件，通过作 轴或 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或纵坐标的值读出要求的值； 利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”。 以摩托车耗油这一生活情境为载体，引导学生从图象中读取信息解决实际问题；在直接读图的基础上追加求解析式，自然引出待定系数法，发展学生的读图能力和数感。 探究点2：利用待定系数法解决水库蓄水问题 【问题引入】 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量 （万 m³）与干旱持续时间 （天）的关系如图所示。 根据图象回答下列问题： （1）水库干旱前的蓄水量是多少？ （2）干旱持续 天，蓄水量是多少？干旱持续 天呢？ （3）蓄水量小于 万 m³ 时，将发出严重干旱警报。干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？ 【师生活动】 学生观察图象，直接读图回答问题；教师引导学生体会“图象上的点”与“实际问题中数量”的对应关系。 【详细过程】 （1）解：观察图象，当 时，。因此，干旱开始时水库的蓄水量为 万 m³。 （2）由图象直接观察： 当 时，。因此，干旱持续 天，水库的蓄水量为 万 m³。 当 时，。因此，干旱持续 天，水库的蓄水量约为 万 m³。 师：能否求出函数解析式，进行更精确的计算？ 设 。由图象可知 ，图象又过点 ，则有 解得 所以 当 时，； 当 时，。 因此，干旱持续 天，水库蓄水量为 万 m³；干旱持续 天，蓄水量约为 万 m³（由图象估读），精确计算为 万 m³。 （3）方法一：由图象观察，当 时，。 方法二：令 ，即 解得 因此，干旱持续约 天后将发出严重干旱警报。 【尝试思考】 按照上面呈现的规律，预计干旱持续多少天该水库将干涸？ 由已求得的一次函数解析式 当 时，有 解得 因此，预计干旱持续 天水库将干涸。 通过真实的水库干旱问题，让学生经历“观察图象估读→待定系数法求解析式→用解析式精确计算”的完整过程，既巩固读图能力，又提升待定系数法的运算能力，同时渗透数形结合思想。 探究点3：一次函数与一元一次方程的关系 【问题引入，思考交流】 结合上面的例子，想一想：一元一次方程与一次函数有什么联系？ 【师生活动】 学生分小组讨论，从“数”和“形”两个角度进行探究，并汇报交流。 【师生共同归纳】 （1）从“数”的方面看： 当一次函数 的函数值为 时，相应的自变量的值就是方程的解。 （2）从“形”的方面看： 函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程的解。 一般地，当一次函数 的函数值为 时，相应的自变量的值就是方程 的解。从图象上看，一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解。 即： 求一元一次方程 的解，等价于求一次函数 中 时 的值； 求一元一次方程 的解，等价于求直线 与 轴交点的横坐标。 【例题巩固】 一次函数 （ 为常数，且 ）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 的方程 的解为（ A ） A. B. C. D. 解：由函数图象经过点 ，可得 。 再将点 代入 ，得 解得 所以一次函数表达式为 求方程 的解，得故选 A。 【方法技巧】 利用一次函数与一元一次方程的关系解题，关键是正确运用待定系数法求出一次函数的关系式，再令 求对应自变量的值。 从具体例子出发，由特殊到一般地抽象出一次函数与一元一次方程的关系，帮助学生从“数”和“形”两个角度理解二者联系；通过例2巩固待定系数法，并体会“数形结合”在解题中的简洁力量。 课堂小结 板书设计 4.4.2 单个一次函数的应用（第2课时） 一、从图象中获取信息 理解横、纵坐标的实际意义 作x轴或y轴的垂线，找对应点 数形结合：由“形”定“数” 二、用待定系数法求一次函数解析式 设：y = kx + b（k≠0） 找：两个点的坐标 代：代入解析式得方程组 解：求出k、b 写：写出解析式 三、一次函数与一元一次方程的关系 数的角度：y = kx + b 中，当 y = 0 时，x 的值即方程 kx + b = 0 的解 形的角度：直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标即方程 kx + b = 0 的解 四、例题 例1：实际情景图象信息读取 例2：由图象求解析式并求方程的解 随堂练习 1.直线 y=3x＋9 与 x 轴的交点是（ B ） A.（0，-3） B.（-3，0） C.（0，3） D.（0，-3） 2.已知方程 kx + b = 0 的解是 x = 3，则函数y=kx+b的图象可能是( C ) 3.直线 y=3x＋6 与 x 轴的交点的横坐标的值是方程 2x+a=0 的解，求 a 的值. 解：由题意可得：当直线 y=3x + 6与x轴相交时，y=0. 则 3x + 6 = 0, 解得：x = -2。 当 x = -2 时，2 × (-2) + a =0， 解得：a = 4. 教学反思 本节课教学目标基本达成。学生能通过图象读取关键信息，如初始量、末态量、变化量，并能利用待定系数法求一次函数解析式。在一次函数与一元一次方程的联系上，多数学生能从“数”的角度理解，但“形”的角度（图象与x轴交点）仍需借助直观图强化。部分学生在将实际情境转化为函数模型时，对“两个点的条件”的提取还不够敏感，导致待定系数法应用不熟练。改进方向：增加小组合作读图和编题环节，给予更多时间让学生互相交流“从图中能读出什么”，并设计分层练习强化由图象求解析式、由解析式解决问题的过程，进一步提升数形结合能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $