4.1 函数（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“函数”核心知识点，涵盖概念、表示方法及自变量取值范围与函数值。通过星体位置变化、摩天轮情境导入，承接平面直角坐标系知识，为后续一次函数等学习搭建支架，引导学生从生活实例感知变量关系。 特色在于以生活实例（摩天轮、堆放物体等）抽象函数概念，通过正反例辨析（如y²=x非函数）强化“唯一对应”理解，落实数学思维中的推理意识。结合销售、温度等实际问题确定自变量范围，培养数学语言表达的模型意识。助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供清晰教学逻辑与丰富实例资源。

4.1 函数 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.掌握函数的概念以及表示方法。 2.根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，会求出另一个量的值。 3.掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题。 教学重点 函数概念的形成与理解，判断两个变量之间是否为函数关系。 教学难点 对“每一个值都有唯一确定的值与它对应”中“唯一”的理解；实际问题中自变量取值范围的确定。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第一节《函数》，是学生正式接触函数概念的起始课，是从常量数学迈向变量数学的转折点，对整个初中函数内容的学习有着奠基性的意义。 依照课标要求，教材将内容划分为变量与常量、函数概念、函数三种表示形式三个模块，通过生活实例情境引入，从摩天轮、弹簧、油箱加油等实例，引导学生感受两个变量之间的对应关系，逐步抽象出函数概念。教材遵循八年级学生认知规律，以 “变化的量 — 变量间对应关系 — 函数定义” 逻辑推进，明确一个自变量只能对应唯一因变量这一核心。本节承接前面平面直角坐标系知识，又为后续一次函数、反比例函数的学习做好铺垫，在教材体系中起到承上启下的作用。教材借助丰富实例，渗透模型思想，落实数学抽象核心素养，让学生体会函数是刻画现实世界变化规律的数学模型。 学情分析 学生此前学习过一元一次方程、二元一次方程组和整式等知识，具备一定的用字母表示数和列关系式的能力，但尚未系统接触“变量”与“函数”的概念。本节课从生活实例出发，学生容易归纳出“一个变量随另一个变量变化”的共同特征，因此函数概念的初步形成较为容易。但学生已有的认知中，往往习惯“一个量确定另一个量也确定”的直观经验，对“一对多”不属于函数关系容易产生混淆；同时，将实际问题转化为函数关系式，并考虑实际意义确定自变量的取值范围，对八年级学生而言有一定难度。教学中应通过正反例辨析，强化“唯一对应”的本质，并利用实际情景帮助学生突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 教师呈现星体位置随时间变化的图片，提问：星体位置在不断变化，其中涉及哪些量？ 学生回答：时间、位置。 教师再展示摩天轮情境，提问：坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 学生回答：由低变高，再由高变低。 教师追问：对于给定时间 ，离开地面的高度 是否确定？由此引出课题“函数”。 【明确本课学习目标】 掌握函数的概念以及表示方法： 1.能根据关系式，由给定的一个量求另一个量的值； 2.会确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题。 从生活情境出发，让学生感受“一个量随另一个量变化”的过程，激发学习兴趣，明确本节课的学习方向。 探究点1：函数的概念 【问题引入】 问题1（摩天轮）： 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. (1)根据左图填表： （2）对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？ 学生回答：确定。 问题2（堆放物体）： 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表： 问题3（热力学温度）： 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. （1）当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？ 解：当t=-43时，T=-43+273=230（K） .... 故相应的热力学温度T是230K、246K 、273K、291K。 （2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？ 解：能.因为t＞-273时，T＞0，满足条件且T是唯一确定。 【新知导出】 教师引导：上面的三个问题有什么共同特点？ 学生归纳：都有两个变量，给定其中一个变量的值，另一个变量的值就确定了。 【教师板书函数概念】 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 强调：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 思考：表示函数的方法一般有哪些？ 学生回答：列表法、关系式法、图象法。 【例题巩固】 例1.下列关系式中哪些是y关于x的函数，哪些不是? (1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ±. 解析：① 当x=1 时，y=1；当x=2时，y=2 ......对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；同理 ②。 ③当x=1时，y2 = 1，y=±1。对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。 ④当x=1时，y=±1。对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。 通过三个生活实例抽象出函数概念，再借助定义辨析函数关系，帮助学生突破“唯一对应”这一理解难点。 探究点2：函数的自变量的取值范围与函数值 【问题引入】 尝试思考：上述三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 学生分组讨论，教师引导归纳： ①摩天轮的时间 ：，且结合实际意义； ②堆放物体的层数 ： 取正整数； ③摄氏温度 ：由 ，得 。 【新知导出】 教师讲解函数值的概念： 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 ，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 时的函数值。 即：如果 是 的函数，当 时，，那么 叫做当 时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 【例题巩固】 小李家的猕猴桃喜获丰收.在销售过程中，猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）满足如下关系： （1）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________； （2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为__________； （3）当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是多少元？ 解：（1）猕猴桃的销售量，猕猴桃的销售额； （2）y=6x （3）将x=100代入y=6x，可得y=6×100=600 答：当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是600元。 通过销售实例，让学生明确自变量和因变量，掌握用关系式求函数值的方法，体会函数在实际生活中的应用 课堂小结 板书设计 4.1 函数 一、函数的概念 1.两个变量 2.对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应 3.y是x的函数，x是自变量 二、函数的表示方法 1.列表法 2.关系式法 3.图象法 三、自变量的取值范围 使函数有意义的取值范围 四、函数值 当x=a时，y=b，b叫做当x=a时的函数值 五、例题与练习 例1 判断函数关系 例2 销售额问题 随堂练习 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是( B ) 2. 若一支铅笔2元，小敏用11元钱买了x支铅笔，余款为y元，则y与x之间的关系式为( C ) A. y＝2x B. y＝2x＋11 C. y＝11－2x D. y＝11x－2 3.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值； （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？ 解：（1）当0＜x≤3时，y=8； 当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6. 当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4. （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应. 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生通过实例辨析，对函数概念中“唯一对应”这一核心要点理解较好，例题和变式训练有效巩固了函数判断方法；在求函数值和确定自变量取值范围时，多数学生能正确完成，但部分学生对实际问题中自变量取值范围的理解仍较模糊，如忽略实际意义（层数应为正整数、温度不低于-273℃等）。改进方向：增加小组合作列关系式、讨论实际情境中自变量限制的活动，强化建模意识；同时多设计“一对多”的反例，帮助学生进一步深化对函数概念本质的认识。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $