第二十六章 二次函数 小结（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的定义、图象性质及与一元二次方程的联系，通过引导学生从特殊到一般梳理知识，自主绘制结构图，搭建从y=ax²到一般式的学习支架，串联前后内容。 以问题链驱动复习，用表格梳理参数与性质关系，例题从概念到综合应用层层递进。体现抽象能力、几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），如例5结合图象判断方程根的情况培养模型意识。帮助学生系统化知识，教师提升复习效率。

第二十六章 二次函数 小结 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 第二十六章　小结（第1课时） 教学目标 1．理解二次函数的定义，掌握二次函数的图象和性质． 2．理解二次函数和一元二次方程之间的内在联系，能利用函数性质解决综合问题． 教学内容 教学重点 二次函数的图象和性质． 教学难点 结合图象分析代数问题，利用代数运算解决几何问题． 教学过程 教学环节 主要师生活动 知识结构梳理 引导语：二次函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．在研究二次函数的图象和性质时，我们从简单到复杂、从特殊到一般：先讨论简单的二次函数y＝ax2的图象和性质；再通过配方，将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，通过平移，由抛物线y＝ax2得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，利用图象得到y＝a(x－h)2＋k的性质，进而得到y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．在这个过程中，配方、图象平移等起着重要作用．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点情况，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况联系密切．如果函数图象与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是对应方程的根．利用二次函数的图象研究二次函数的性质，和求对应一元二次方程的根的近似值，体现了数形结合思想，让我们领悟到几何直观的作用． 问题1：根据刚才的分析，结合本章所学的二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系等内容，尝试自己画一画这一部分内容的知识结构图． 师生活动：学生画知识结构图，在与教师给出的知识结构图对照比较．通过结构图建立知识之间的联系，完善二次函数的图象和性质知识体系． 设计意图：学生建构知识体系，学生体会知识之间的联系，加深对所学知识的理解． 回顾与思考 问题2：二次函数的概念是什么？ 师生活动：教师提问，引导学生回忆二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)、顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．师生共同梳理转化方法，将一般式配方可得顶点式，顶点式展开整理转化为一般式． 学生讨论后总结，一般式是通用的形式，顶点式直接体现顶点与对称轴．我们一般都是从图象和性质两个方面去研究函数． 追问：用配方法将y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式是什么？ 师生活动：师生共同回顾用配方法将y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k，得到，体会一般式和顶点式的转化过程． 设计意图：以表达式为切入点，搭建知识网络的核心框架，让学生理解不同形式的内在联系，为后续性质分析奠定基础． 问题3：二次函数的图象是什么？结合图象我们可以从哪些角度分析它的性质？ 师生活动：二次函数的图象是抛物线．教师引导学生从“开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最大值与最小值”五个角度理理抛物线的性质．小组合作梳理并完成表格，小组代表展示，教师总结． 参数或表达式 图象和性质 a 开口方向（a＞0向上，a＜0向下）， |a|越大，开口越小 y＝a(x－h)2＋k 对称轴x＝h，顶点(h，k) y＝ax2＋bx＋c 对称轴，顶点 师生活动：学生讨论后总结，开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧增大；开口向下时则相反．结合图象可以理解和掌握性质． 追问：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c的符号之间的关系是什么？ 师生活动：对a，b，c的符号进行讨论，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征相应的变化． 设计意图：将性质系统化，建立参数与性质的直接对应关系，强化“以数释形”的思维，落实直观想象与逻辑推理素养． 问题4：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的联系是什么？ 师生活动：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，反之亦然． 追问1：b2－4ac的取值对二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点个数的影响？ 师生活动：小组合作梳理并完成表格，师生共同核对补充完善． 追问2：如何用图象法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根？ 师生活动：师生共同总结用二次函数的图象求解一元二次方程的一般过程： ①画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ②观察图象，确定抛物线与x轴的公共点的横坐标； ③公共点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c=0的根． 设计意图：将知识横向对比学习，使得知识系统化，形成结构化的知识网络． 例题精讲 例1　已知关于x的函数是二次函数．求m的值．并指出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项？ 师生活动：二次函数的一般形式为：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．解析式中，最高次数项是二次项，并且二次项的系数不能为0．根据以上分析，可知解得m＝－1．则二次函数的解析式为：y＝－2x2＋4x－5，二次项系数、一次项系数和常数项分别为－2，4，－5． 设计意图：复习二次函数的概念．梳理二次函数和一次函数的对比和联系中，加深学生对函数概念的理解，掌握二次函数的一般形式，理解二次项系数、一次项系数和常数项等概念． 例2　画出二次函数y＝－2x2＋4x－5的图象． 师生活动：通过列表、描点、连线作出函数的图象．对于二次函数y＝－2x2＋4x－5，考虑到抛物线的对称性，先计算对称轴为，所以x的取值可以为－1，0，1，2，3，列表如下： x … －1 0 1 2 3 … y … －11 －5 －3 －5 －11 … 在平面直角坐标系中描点，连线，得到二次函数y＝－2x2＋4x－5的图象（图1）． 图1 设计意图：从函数解析式作函数的图象是研究函数性质的常用方式．抛物线是轴对称图形，所以在列表描点时，自变量的取值要考虑对称性，一般通过配方将一般式化为顶点式或者直接通过先计算对称轴，然后在对称轴两边对称取一些点． 例3　说出抛物线y＝－2x2＋4x－5的开口方向、对称轴和顶点．并说出随着x的变化，y的变化情况． 师生活动：二次项系数小于0，则抛物线的开口方向向下，对称轴为x＝1，顶点为(1，－3)．当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小． 追问：抛物线y＝－2x2＋4x－5由函数y＝－2x2的图象经过怎样的平移得到？ 师生活动：二次项系数决定了抛物线的开口大小和方向，也即确定了抛物线的形状．两个函数的二次项系数相同，则两个抛物线的形状也相同，其中一条抛物线可由另一条抛物线平移得到．抛物线C的解析式为y＝－2x2＋4x－5，可由函数y＝－2x2的图象平移得到．抛物线C的顶点为(1，－3)，抛物线y＝－2x2的顶点坐标为(0，0)，由(0，0)到(1，－3)，横坐标加1，纵坐标减3，则可知抛物线y＝－2x2向右平移1个单位，向下平移2个单位平移得到抛物线y＝－2x2＋4x－5．还可以将y＝－2x2＋4x－5化为顶点式为y＝－2(x－1)2－3，也可以得到． 设计意图：复习二次函数的图象和性质，通过研究二次函数的图象和性质，体现了数形结合思想，也体现了几何直观和代数推理的作用． 例4　求函数y＝－2x2＋4x－5的最大值或最小值． 师生活动：抛物线y＝－2x2＋4x－5的开口方向向下，有最大值，没有最小值．由顶点(1，－3)，可得到当x＝1，y的最大值为－3． 设计意图：二次函数的最值问题与图象是否有界相关．在整个抛物线上，一般在顶点处取得最大值或最小值．而当自变量的范围是一段范围，则在端点处或顶点处取到最大值或最小值．可以结合图象和抛物线上的点与对称轴的距离来考虑． 例5　结合图象，判断方程－2x2＋4x－5＝0的根的情况． 师生活动：教师引导学生发现抛物线y＝－2x2＋4x－5与x轴没有交点，进而得出方程－2x2＋4x－5＝0没有实数根． 追问：设t为常数，方程－2x2＋4x－5＝t没有实数根，求t的取值范围． 师生活动：函数y＝－2x2＋4x－5的最大值为－3，也就是说，－2x2＋4x－5≤－3，则当t＞－3时，方程－2x2＋4x－5＝t没有实数根．也可结合图象（图2），作水平的直线y＝t，若直线y＝t与抛物线y＝－2x2＋4x－5没有交点，方程－2x2＋4x－5＝t没有实数根． 图2 设计意图：复习二次函数和一元二次方程的联系．当y取特定的函数值时，就变成了一元二次方程．一元二次方程根的情况可由抛物线与水平直线的交点来确定，或是判别式的符号确定． 课堂总结 问题5：本节课我们复习了哪些内容？涉及了哪些思想方法？ 师生活动：本节课基于大单元整体教学，通过变式问题设计，以课本复习题为母题，设计了一系列层层递进的问题，囊括了二次函数的概念、图象和性质相关内容，体现了知识的自然生长过程和核心问题的价值．问题中联系和对比了二次函数与一次函数，二次函数与一元二次方程，横向和纵向表达知识间的关系，体现了结构化教学．本节课涉及了化归与转化、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法． 设计意图：通过对本节课的知识结构图和复习的例题进行总结，使学生对本章的知识内容、核心方法及数学思想有更深的认识． 课后任务 教科书复习题26第2，3，4，5，6题． 学科网（北京）股份有限公司 $