第二十六章 二次函数 章末复习 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学第二十六章章末复习资料采用大单元设计，系统整合二次函数图象性质、解析式求解、与方程关系及实际应用等核心内容，通过问题串引导回顾，分考点梳理知识脉络，构建完整的二次函数知识网络。 其亮点在于“问题驱动-考点突破-模型应用”的复习策略，如通过增减性例题渗透数形结合思想培养几何直观，实际应用问题强化模型意识，跟踪训练分层设计。助力学生巩固知识，教师精准教学，提升复习效率。

第二十六章章末复习 教学目标 1．梳理二次函数图象与基本性质，能结合图象分析增减性、顶点、对称性，利用数形结合完成计算与推理． 2．熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式，能根据条件灵活选择形式求解函数解析式． 3．能从实际情境中抽象出二次函数模型，运用二次函数性质求解几何面积、销售利润等最值问题；体会函数模型思想． 教学重点 　　二次函数图象性质、解析式求解；二次函数在实际问题中的最值应用． 教学难点 1．借助数形结合思想分析图象与系数、方程之间的联系； 2．在实际问题中考虑自变量取值范围，准确确定最值． 教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出函数解析式并画出图象． 2．结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点等，说明二次函数在什么情况下取得最大值或最小值． 3．结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的情况，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况． 4．在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题． 5．回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在描述现实世界运动变化中的作用． 【设计意图】以问题串创设情境，引导学生系统回顾全章知识。学生交流作答，教师适时点拨；在梳理知识的过程中感受**函数模型思想与数形结合思想**，夯实基础框架，提升灵活运用二次函数解决问题的能力． 要点复习 考点一　二次函数的增减性 【例1】若二次函数y＝(x－m)2－3，当x＞2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）． A．m＝2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2 【师生活动】学生独立完成作答，之后小组交流思路，教师展示解题过程并归纳总结． 【答案】D 【解析】∵二次函数y＝(x－m)2－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝m， ∴在对称轴右侧，即当x＞m时，y随x的增大而增大． 又∵当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴直线x＝2应在对称轴x＝m的右侧或与对称轴重合，∴m≤2． 【归纳】利用二次函数的增减性求解字母取值范围的通用步骤： 第1步：由解析式确定抛物线的开口方向和对称轴． 第2步：分清对称轴左右两侧函数的增减变化规律． 第3步：结合题意画出简图，借助数形结合确定字母的取值范围． 【设计意图】借助典型例题检验学生对二次函数增减性的掌握；归纳解题流程，渗透数形结合思想，帮助学生形成固定解题思路，规范答题逻辑． 考点二　二次函数的图象 【例2】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是（　　）． A． B． C． D． 【师生活动】学生作答后小组交流，然后教师做适当的补充说明． 【答案】C 【解析】抛物线y＝ax2－bx的对称轴为． 选项A，对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx来说，对称轴＞0，应在y轴的右侧，故错误； 选项B，对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx来说，对称轴＜0，应在y轴的左侧，故错误； 选项C，对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx来说，对称轴＞0，应在y轴的右侧，故正确； 选项D，对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx来说，图象应开口向上，故错误． 【归纳】假设验证法判断同一坐标系内两类函数图象的位置： 先假设其中一种函数图象正确，推出参数a，b的符号；再据此验证另一个函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，互相检验，排除矛盾选项． 【设计意图】借助一次函数与二次函数综合图象题，训练学生结合图象判断参数符号的能力；总结假设验证的通用解题方法，渗透数形结合思想，提升识图、推理能力． 考点三　二次函数图象与系数的关系 【例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b－c＝0；④若点B，C为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（　　）． A．②④ B．①④ C．①③ D．②③ 【师生活动】学生独立思考完成作答，小组交流推理思路，教师板书梳理推理过程并归纳总结． 【答案】B 【解析】∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac＞0，∴结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴＝－1，∴2a－b＝0，∴结论②错误； ∵图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(1，0)，∴a＋b＋c＝0，结论③错误； ∵点B，C为函数图象上的两点，对称轴为直线x＝－1，∴点B距对称轴较远，又∵抛物线开口向下，∴y1＜y2，∴结论④正确． 综上，①④正确，故选B． 【归纳】由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，判断与a，b，c相关代数式常用思路： （1）判断a，b，c的符号． ①开口方向定a：图象开口向上，则a＞0；开口向下，则a＜0． ②抛物线与y轴交点定c：抛物线与y轴交于原点时，c＝0；抛物线与y轴交于x轴上方时，c＞0；交于x轴下方时，c＜0．可简记为“上正下负”． ③对称轴x＝判定b符号：对称轴为y轴时，b＝0；对称轴在y轴左侧，a，b同号；对称轴在y轴右侧，a，b异号．可简记为“左同右异”． （2）判别式：通过抛物线与x轴交点个数判定b2－4ac符号．抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac＞0；抛物线与x轴有唯一的交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac＜0． （3）赋值法：如分别令x＝1，－1，2，－2，借助对应函数值的正负，判断形如“a＋b＋c”“a－b＋c”“4a＋2b＋c”“4a－2b＋c”等式子的正负． 【设计意图】借助经典图象结论判断题，训练学生识图推理能力；系统梳理a，b，c相关题型解题思路，强化数形结合思想，帮助学生规范推理逻辑． 考点四　二次函数图象的平移 【例4】若抛物线y＝＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线对应的函数解析式应变为（　　）． A． B． C． D． 【师生活动】学生独立思考完成作答，小组交流解题思路，教师重点讲解坐标系平移与图象平移的互逆关系，并归纳总结． 【答案】C 【解析】将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，就相当于把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． ∵， ∴原抛物线对应的函数解析式应变为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1． 【归纳】抛物线的平移口诀：左加右减针对自变量x，上加下减针对函数整体 设原抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． （1）上下平移： 向上平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k＋m； 向下平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k－m． （2）左右平移： 向左平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h＋n)2＋k； 向右平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h－n)2＋k． 【易错警示】 图象移动，坐标系不动，直接套用上面规则； 图象不动，坐标系移动，平移方向反向操作（本题题型）． 【设计意图】借助易混淆的坐标系平移题型，辨析平移规律；巩固“左加右减，上加下减”，帮助学生分清【图象移动】和【坐标系移动】两类题型，深化对平移本质的理解． 考点五　确定二次函数的解析式 【例5】已知抛物线经过(1，0)，(3，0)，(0，3)三点，求该二次函数的解析式． 【师生活动】学生独立思考、自主作答，小组交流不同解题思路；教师展示三种解法，对比优劣并归纳总结． 【答案】解：方法1：设二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c． 把三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得 故二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3． 方法2：设二次函数的解析式为交点式． 由题意，得x1＝1，x2＝3．故． ∵抛物线过点(0，3)，∴3＝a×(－1)×(－3)，解得a＝1． 故二次函数的解析式为y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3． 方法3：设二次函数的解析式为顶点式y＝a(x－h)2＋k． 由抛物线过点(1，0)，(3，0)，知抛物线的对称轴为直线x＝2，故h＝2． ∴y＝a(x－2)2＋k． 将点(1，0)，(0，3)代入上式，得解得 故二次函数的解析式为y＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3． 提问：本题选用哪种解析式计算最为简便？ 借此强化意识：做题先观察条件，不盲目一律设一般式． 【归纳】求解二次函数解析式的核心方法是待定系数法，根据条件灵活选则形式： （1）已知抛物线上任意三点，优先选用一般式(a≠0)． （2）已知抛物线的顶点、对称轴或最值，优先选用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． （3）已知抛物线与x轴交点横坐标，优先选用交点式(a≠0)． 【设计意图】通过一道例题展示三种解析式解法，对比不同形式适用场景，训练学生合理选择解析式简化运算；巩固待定系数法，培养灵活解题的思维． 考点六　二次函数与一元二次方程 【例6】下列对二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＞1)的图象与x轴交点的判断正确的是（　　）． A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧 C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧 【师生活动】学生独立思考完成作答，小组交流推理思路，教师梳理解题步骤并归纳总结． 【答案】D 【解析】令y＝0，得ax2－2ax＋1＝0，∴Δ＝(－2a)2－4a＝4a(a－1)． ∵a＞1，∴4a(a－1)＞0，∴抛物线与x轴有两个交点． 设两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2＞0，x1x2＝＞0． ∴x1＞0，x2＞0． ∴二次函数的图象与x轴有两个交点且均位于y轴右侧． 提问：两根之和大于 0、两根之积大于 0 代表什么？ 引导学生总结：两根同号且均为正数． 【归纳】 1．判断抛物线与x轴交点个数：计算判别式Δ＝b2－4ac的值，与0比较大小． 2．若抛物线与x轴存在两个交点，判断交点在y轴同侧或异侧：借助一元二次方程根与系数的关系，由两根之和、两根之积的符号，判断交点横坐标正负． 【设计意图】借助例题巩固二次函数图象与一元二次方程的内在联系；训练学生综合运用判别式、根与系数关系解题，渗透数形结合思想，规范推理逻辑． 考点七　二次函数的实际应用 【例7】如图，用总长为 40 m 的篱笆，一边依靠足够长的墙围成矩形花圃（中间设有一道垂直于墙的隔断），设垂直于墙的边长为x m，花圃面积为S m2． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围． （2）当x取何值时，花圃面积最大？最大面积是多少？ 【师生活动】学生独立思考完成作答，小组交流列式思路；教师强调实际问题自变量限制条件，归纳解题流程． 【答案】解：（1）垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(40－3x) m， 由题意知，S＝x(40－3x)＝－3x2＋40x． 提问：题目中篱笆总长 40 m，为什么平行于墙的边长写成40－3x？ 引导总结：有三段垂直于墙的篱笆，所以一共消耗3x长度． 自变量范围为，即 0＜x＜． （2）S＝－3x2＋40x＝－3． ∵−3＜0，且在取值范围 0＜x＜内， ∴ 当 x＝时，S 有最大值． 答：当x＝ 时，花圃面积最大，最大面积为 m2． 提问：求解实际最值，只看顶点坐标就一定正确吗？ 引导总结：必须检验顶点横坐标是否在自变量取值范围内． 【归纳】运用二次函数求解实际最值通用步骤： （1）分析数量关系，列出二次函数解析式． （2）将解析式整理为顶点式． （3）结合自变量实际取值范围确定最值： 若自变量的取值范围包含顶点横坐标，则在顶点处取得最值； 若自变量的取值范围不含顶点横坐标，则依靠函数增减性确定最值． 【设计意图】通过几何面积、销售利润两类典型实际问题，训练学生建立二次函数模型；着重强调实际情境下自变量取值范围对最值的约束，强化数形结合与模型思想，规避常见解题疏漏． 【跟踪训练】某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：kg）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80． （1）求y关于x的函数解析式． （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【师生活动】学生独立完成演算，同桌互相核对解题步骤；教师点评，对比面积最值、利润最值两类题型的共同解题思路． 【答案】解：（1）设y＝kx＋b． 将(50，100)，(80，40)分别代入y＝kx＋b，得解得 ∴y＝－2x＋200(50≤x≤80)． （2）设该电商每天获得的利润为w元， 则w＝(x－40)(－2x＋200) ＝－2x2＋280x－8 000 ＝－2(x－70)2＋1 800． 提问：本题顶点横坐标x＝70落在取值区间内；假如顶点横坐标不在50≤x≤80范围内，怎样求最大利润？ 引导总结：利用函数增减性，在区间端点计算函数值进行比较． ∵－2＜0，且50≤x≤80， ∴当x＝70时，w取得最大值，最大值为1 800． 答：该电商将售价定为每千克70元时，每天获得的利润最大，最大利润是1 800元． 课堂小结 板书设计 一、二次函数的增减性 二、二次函数的图象 三、二次函数图象与系数的关系 四、二次函数图象的平移 五、确定二次函数的解析式 六、二次函数与一元二次方程 七、二次函数的实际应用 课后任务 　　完成教材第61～62页复习题26第2，5，10，11题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $