第一章勾股定理单元练习卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元复习，融合生活情境（如台风预警、超市门铃）与几何变换（折叠、翻折），通过基础计算到综合应用的梯度设计，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/32分|勾股定理计算（第1题）、实际应用（第2、5题）、折叠问题（第4、6题）|结合矩形折叠（第6题）考查方程思想，网格图（第8题）渗透空间观念| |填空题|5题/20分|正方形面积（第9题）、三角板放置（第11题）、动点折叠（第12题）|利用翻折性质（第12题）构建动态几何模型，体现创新意识| |解答题|5题/48分|证明与计算（第14题）、折叠综合（第16、17题）、台风影响（第18题）|以台风路径（第18题）为情境，考查数学建模与应用意识，符合中考命题趋势|

第一章 勾股定理 单元练习卷 一、单选题 1．如图，的周长为，，且，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 2．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 3．已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 6．如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 8．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为______． 10．如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为______． 11．把一副三角板按如图所示的位置放置，其中，，，斜边，，与相交于点O，若，连接，则的长为______． 12．如图，在矩形中， ，M 是线段上一动点，连接，沿 翻折 点C 的对应点为点 N，连接，当的长度最小时，的长是_________． 13．如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 三、解答题 14．如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 16．如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． (1)求证是一个直角三角形； (2)求的长． 17．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处．已知，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元练习卷》参考答案 1．A 【分析】本题考查勾股定理，根据，设，根据勾股定理求出的长，再根据三角形的周长列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 解得：， ∴； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 3．C 【分析】由已知等式展开并整理，结合勾股定理逆定理判断三角形的形状即可． 本题考查了平方差公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故一定是直角三角形， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 7．B 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故B选项符合题意； ∵， ∴， 故C选项不符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9． 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 那么， 所以正方形的边长为． 故答案为：． 10．/120度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．10 【分析】先证明，再由等腰直角三角形的性质得， ，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 12．3 【分析】该题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是确定当点共线时，最小，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠可得，得出当点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中， ， ∴， 根据折叠可得， ∵， 故当点共线时，最小，此时， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：3． 13．/105度 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 【详解】解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14．(1) 证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 15．10 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中根据勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴． 在中， ． 在中， ． 16．(1) 证明：∵， ∴， ∴是一个直角三角形； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，翻折的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质和定理． （1）利用勾股定理的逆定理即可判定直角三角形； （2）根据翻折的性质得，，假设，然后根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据翻折的性质得，，假设，则， 由勾股定理得，， 即 解得， ∴的长为． 17．(1)， (2) 【分析】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，，在中，由勾股定理求出，进而求出；设，则，在中，利用勾股定理求解即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由折叠的性质得，，，， 在中，， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）解：阴影部分面积为． 18．(1) 海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $