第20章 二次根式（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的概念、性质、运算及应用，通过知识图谱将概念与性质（有意义条件、4条性质）、运算（化简、同类、加减乘除、分母有理化）等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“题型全解+针对训练”分层设计，如例02化简说理题培养推理意识，例11整体代入提升运算能力，帮助学生巩固知识，教师精准把握学情，提高复习针对性。

第20章 二次根式 复习课件 沪教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 理解概念性质 理解二次根式及其有意义的条件，掌握四条性质，辨认最简二次根式与同类二次根式。 掌握根式运算 会化简二次根式，进行加减、乘除运算与分母有理化，能完成简单的混合运算。 运用思想方法 通过与实数、整式运算类比理解运算法则，运用整体代入、乘法公式简化计算。 解决实际问题 会用二次根式计算长度、面积，并在化简求值、解方程和不等式时注意取值条件。 单元重点难点 重 点 难 点 1．掌握二次根式的有意义条件与四条性质。 2．会化简二次根式，辨认最简与同类二次根式。 3．掌握加减、乘除和分母有理化，进行混合运算。 4．用根式运算解决化简求值及长度、面积问题。 1．理解平方后开方与绝对值的关系，正确处理符号。 2．先化简再合并，区分加减与乘除的不同法则。 3．选择适当的有理化因式，化去分母中的根号。 4．运用整体代入，注意除式非零及不等号方向。 知识图谱 二次根式 二次根式及其性质 ① 概念、有意义条件、性质1与性质2 ② 性质3与性质4、化简、最简二次根式 非负条件与绝对值贯穿性质的运用 二次根式的运算 ① 同类二次根式与加减　② 乘除 ③ 分母有理化　　　　　④ 混合运算与应用 先化简、辨运算、选公式、查条件 知识串讲 01　二次根式概念与性质 ➤ 二次根式的概念、性质1与性质2 形如的代数式（其中为有理式），叫作二次根式． 有意义的条件是代数式的值不小于0，即． 性质1　（）． 性质2　． 理解与运用 ① 表示的算术平方根，其值是非负数。 ② 去掉时先判断的符号：时，。 ▲ 易错提醒 ① 根式在分母时，还要保证分母不为0。 ② 不能总写成；例如。 知识串讲 02　二次根式的化简 ➤ 性质3、性质4与化简二次根式 形如（为整式）的代数式称为完全平方式，如、． 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”． 性质3　 （，）． 性质4　 （，）． 理解与运用 ① 利用性质时，要同时注意被开方数的条件和分母非零。 ▲ 易错提醒 ① 完全平方式移出根号后，可能要保留绝对值。 ② 有意义，不代表、一定都非负；拆根号要检查条件。 知识串讲 02　二次根式的化简 ➤ 最简二次根式的判定与化简 （1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数． （） 理解与运用 ① 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式。 ▲ 易错提醒 ① 判定前先分解被开方数，不能只看原式的表面形式。 ② 分母移出根号时先开平方，例如。 知识串讲 03　同类二次根式与加减 ➤ 同类二次根式与二次根式的加减 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式．为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式． （） 理解与运用 ① ，，化简后被开方数相同。 ② 合并时只合并根号外的因式，根号及被开方数不变。 ▲ 易错提醒 ① 不能把不同被开方数相加后放入一个根号。 ② 先化简再判断同类；有括号时先按去括号法则处理符号。 知识串讲 04　二次根式的乘除 ➤ 二次根式的乘法与除法 应用二次根式的性质3从右向左进行转化，即得二次根式相乘的法则： 同样地，二次根式的性质4给出了二次根式相除的法则，即 理解与运用 ① 乘法中、；除法中、分母所对应的。 ② 带有根号外因式时，分别处理根号外因式和根式，再化简结果。 ▲ 易错提醒 ① 相乘时乘被开方数，不能把被开方数相加。 ② 除法中除式非零；运算结果仍需化成最简二次根式。 知识串讲 05　分母有理化 ➤ 分母有理化与有理化因式 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 理解与运用 ① 分子和分母同乘同一个适当的非零代数式，使分母不含根号。 ② 两项式分母可观察平方差公式，选择相应的有理化因式。 ▲ 易错提醒 ① 不能只乘分母；分子也要乘同一个有理化因式。 ② 同乘的式子不能为0，化简时要保留原式的取值条件。 知识串讲 06　混合运算与应用 ➤ 混合运算、整体代入与方程不等式 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用． （） 理解与运用 ▲ 易错提醒 ① 除以一个负数时，不等号的方向必须改变。 ② 代入前先检查原式有意义；不能在约分后遗漏原式的条件。 ① 混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内。 ② 化简求值可先观察整体代入；把重复出现的式子看作整体。 ③ 解方程、不等式时仍用移项、合并同类项与系数化为1的方法。 题型全解 题型01 二次根式的概念与性质 例01　选择题 使有意义的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 两个被开方数均须非负，且分母不为0，故、。 把两个条件合在一起，得。 题型全解 题型01 二次根式的概念与性质 例02　化简说理题 已知，化简， 并说明去掉绝对值时的符号依据。 【答案】。 【解析】 先用性质2，原式。 由已知范围得、。 所以原式。 考点串讲 题型01 二次根式的概念与性质 方法总结 方法1 有意义条件逐项检查 ① 先找出每个二次根式的被开方数，要求其值不小于0。 ② 遇到分式或根式作分母，再检查分母不为0。 ③ 把各个条件合在一起，写出字母的取值范围。 方法2 先写绝对值，再判断符号 ① 遇到平方后开方，先用 。 ② 根据已知范围，判断根号内平方底式的正负。 ③ 按绝对值的意义去掉绝对值符号，再合并同类项。 题型全解 题型02 二次根式的化简 例03　判断改错题 已知。小林化简，得到。 判断他的结果是否正确，并写出正确过程。 【答案】不正确，应为。 【解析】 。 因为，所以，原式。 完全平方式移出根号后，要根据范围处理绝对值。 题型全解 题型02 二次根式的化简 例04　化简题 已知，将化成最简二次根式。 说明怎样化去被开方数中的分母。 【答案】。 【解析】 根号内分子、分母同乘3，使分母成为完全平方数36。 。 化简后的被开方数不含分母，也没有可移出的完全平方因式。 考点串讲 题型02 二次根式的化简 方法总结 方法1 分解因式，移出完全平方 ① 先把被开方数作素因数分解或因式分解。 ② 把完全平方式用它的算术平方根代替后移到根号外。 ③ 根据字母的范围处理绝对值，检查根号内是否还能化简。 方法2 化去被开方数中的分母 ① 把根号内的分子、分母同乘适当的代数式。 ② 使分母变成完全平方式，再开平方移出根号。 ③ 检查被开方数不含分母、各因式指数为1，写成最简形式。 题型全解 题型03 同类二次根式与加减 例05　填空说理题 在、、、中， 与是同类二次根式的有________。说明理由。 【答案】、、。 【解析】 先化简：，。 ，而。 只有化简后被开方数为11的三个根式与同类。 题型全解 题型03 同类二次根式与加减 例06　计算题 计算：。 【答案】。 【解析】 先化简，原式。 去括号时注意负号，得。 合并同类二次根式，得。 考点串讲 题型03 同类二次根式与加减 方法总结 方法1 先化简，再辨认同类 ① 先把每个二次根式化成最简二次根式。 ② 比较化简后的被开方数，相同的才归为同一类。 ③ 判断同类时不看根号外的系数或因式是否相同。 方法2 只合并根号外的因式 ① 遇到括号先去括号，特别注意括号前的负号。 ② 把同类二次根式的根号外因式相加减。 ③ 保持根号及被开方数不变；不同类的二次根式分别保留。 题型全解 题型04 二次根式的乘除 例07　计算题 计算：。 【答案】。 【解析】 根号外因式保留，乘除按从左到右的顺序处理。 原式。 题型全解 题型04 二次根式的乘除 例08　应用题 一块长方形展板的面积为平方分米，长为分米。 求展板的宽和周长。 【答案】宽为分米，周长为分米。 【解析】 宽面积长，即（分米）。 周长（分米）。 考点串讲 题型04 二次根式的乘除 方法总结 方法1 根号内外分别相乘 ① 先检查各个二次根式都有意义，确定积的符号。 ② 根号外的因式相乘，被开方数也分别相乘。 ③ 把所得根式化简，移出完全平方因式，再整理根号外因式。 方法2 确定除式，算商再化简 ① 确认除式不为零；有括号时先算括号内的运算。 ② 分别求根号外因式和根式的商，必要时写成分式。 ③ 化去被开方数中的分母，检查结果是否为最简二次根式。 题型全解 题型05 分母有理化 例09　选择题 将分母有理化，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分子、分母同乘，利用平方差公式计算分母。 。 题型全解 题型05 分母有理化 例10　化简探究题 已知，将分母有理化。 化简结果是否随的取值变化？说明理由。 【答案】，结果不随变化。 【解析】 分子、分母同乘，得。 因为，所以。 约去非零因式，得，结果中已不含。 考点串讲 题型05 分母有理化 方法总结 方法1 单项根式分母先化简 ① 先把分母中的二次根式化简，找出需要化去的根号。 ② 分子和分母同乘分母根式的有理化因式。 ③ 利用根式平方的性质化去根号， 再约分、整理。 方法2 两项式分母用平方差 ① 把分母看成两部分的和或差，寻找与它相配的有理化因式。 ② 分子和分母同乘该式，利用平方差公式计算分母。 ③ 展开并化简分子，检查分母的符号及同乘因式非零的条件。 题型全解 题型06 混合运算与应用 例11　化简求值题 已知，求的值。 【答案】。 【解析】 观察到，把看成整体。 原式。 分母有理化，得。 题型全解 题型06 混合运算与应用 例12　解不等式 解不等式：。 【答案】。 【解析】 移项、合并，得。 因为，两边除以负数时，不等号方向改变。 。 考点串讲 题型06 混合运算与应用 方法总结 方法1 先化简，抓住已知整体 ① 按照运算顺序化简，适当使用乘法公式。 ② 观察已知数与式子的关系，优先考虑把相同部分整体代入。 ③ 完成根式运算和分母有理化，结果化为最简形式。 方法2 系数化为1先辨符号 ① 把含未知数的项移到一边，合并同类项。 ② 解不等式时，先判断未知数的系数是正数还是负数。 ③ 两边除以负数要改变不等号方向，再把根式结果化简。 针对训练 训练01　选择题 使二次根式有意义的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 被开方数须不小于0，所以。 解得；当时根式也有意义。 针对训练 训练02　填空题 化简：________。 【答案】。 【解析】 先用性质，原式为。 因为，所以，去绝对值得。 针对训练 训练03　判断改错与填空 （1）判断：对任意实数，都有。 （2）有意义时，的范围是________。 【答案】（1）错误，需；（2）且。 【解析】 （1）左边，等于须满足。 （2）被开方数非负、分母非零，即且。 针对训练 训练04　选择说理题 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，各因数指数都为1，且被开方数不含分母。 A含平方因数49；B含分母；D含完全平方因式。 针对训练 训练05　选择题 下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 先化简：，，被开方数相同。 其余三项化简后分别含、、，均不同类。 针对训练 训练06　判断说理题 小林认为：只要、，就有。 这个说法正确吗？请举例说明。 【答案】不正确。取、即可说明。 【解析】 左边，右边。 因为，所以该说法不成立。 根号内的和不能直接拆成两个根式的和。 针对训练 训练07　应用题 手工制作需三段丝带，长度分别为厘米、厘米和厘米。 不计损耗，共需多少厘米丝带？结果用最简形式表示。 【答案】厘米。 【解析】 三段分别为厘米、厘米和厘米。 总长（厘米）。 针对训练 训练08　辨错与计算 （1）小林说：只要，就有。应怎样改正？ （2）计算。 【答案】（1）条件改为；（2）。 【解析】 （1）除式须不为0，因此；此时商为。 （2）原式。 针对训练 训练09　计算题 计算： 。 【答案】4。 【解析】 先化简：，，。 原式。 再算乘除：原式。 针对训练 训练10　填空与计算 （1）写出的一个有理化因式：________。 （2）将分母有理化。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 两式之积为。 分子、分母同乘，得。 针对训练 训练11　化简题 化简： 。 【答案】。 【解析】 两个分母互为有理化因式，乘积为。 原式。 注意减号：原式。 针对训练 训练12　计算与解方程 （1）计算。 （2）解方程。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）用完全平方公式：原式。 （2）先化简，得。 移项后两边同除以，得。 针对训练 训练13　化简求值题 已知，。 求的值。 【答案】11。 【解析】 利用平方差公式：。 由，得。 所以。 针对训练 训练14　解不等式 解不等式： 。 【答案】。 【解析】 因为，所以。 两边同除以负数，不等号改变方向，得。 分母有理化：。 针对训练 训练15　应用题 · 展板镶边 一块长方形展板的面积是18平方分米，宽为分米。 （1）展板的长是多少分米？ （2）给展板四周镶边，需要多少分米的边条？（不计损耗） 【答案】（1）分米；（2）分米。 【解析】 （1）长=面积÷宽，得。 （2）周长=2×（长+宽），所需边条长为 　（分米）。 针对训练 训练16　应用题 · 花圃材料费用 长方形花圃长米，宽米。 四周围栏留出米宽的入口；围栏每米20元，草坪每平方米15元。 花圃内铺满草坪。求花圃面积及围栏、草坪的总费用。（不计损耗） 【答案】面积43平方米；总费用元。 【解析】 面积：（平方米）。 围栏长度要减去入口宽度：（米）。 围栏费用为（元），草坪费用为（元）。 单元总结/易错复盘 核心知识 ① 二次根式的概念与有意义条件。 ② 四条性质及最简二次根式。 ③ 同类二次根式，加减与乘除。 ④ 分母有理化、混合运算及应用。 易错复盘 ① 平方后开方， 　注意绝对值。 ② 同类二次根式应先化简后判断。 ③ 分母有理化时，分子 　和分母同乘适当的式子。 ④ 检查分母非零，负数除不等式要变号。 思想方法 ① 类比实数、整式，运用已有运算律。 ② 分解被开方数，移出完全平方因式。 ③ 观察整体，用乘法公式简化运算。 ④ 先化简再求值，保留原式有意义条件。 沪教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $