8.必修2 第八章 立体几何初步-高中数学·2026年高考真题分类

**基本信息** 以高考真题为载体，通过几何法与向量法结合，系统覆盖立体几何位置关系、体积计算及空间角等核心考点，构建概念-计算-应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|2（正方体位置关系、棱台体积）|几何法（平行四边形判定）与向量法（法向量）结合|从线面平行/垂直到几何体体积公式应用| |多选题|1（空间距离与二面角）|作图分析与二面角转化|空间距离与二面角的逻辑关联| |填空题|2（三棱锥底面积与体积、球内接三角形）|正弦定理求外心及体积公式|三角形性质到三棱锥体积再到球内接问题| |解答题|2（正四棱台线面角与体积）|辅助线构造线面角及体积分割|正棱台性质到线面角求解再到体积计算|

2026年高考真题-按章分类 必修 第二册 第八章 立体几何初步 2个选题 + 1个多选题 + 1个填空题 + 2个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2026高考·天津)正方体中，错误的是(  ) A. B.平面 C.平面平面 D.平面平面 2.(2026高考·全国二卷)已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为(  ) A. B. C. D. 二、多选题 3.(2026高考·全国一卷)在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1.若二面角为，则(  ) A. B. C.当时，平面 D.当平面时， 三、填空题 4.(2026高考·北京)如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________. 5.(2026高考·全国二卷)已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________. 四、解答题 6.(2026高考·上海)如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 必修 第二册 第八章 立体几何初步 ---- 参考答案及解析 ---- 一、单选题 1.D 解法一：由题意，在正方体中，A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确；B项，由几何知识得，，，，平面，平面，∴平面，故B正确；C项， ∵，平面，平面，∴平面，由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴平面平面，C正确；D项， 假设平面平面，则交线为，此时有，∴平面，∵平面，∴，连接，， 由几何知识得，，则，故在中，由几何知识得，，∴三角形为等边三角形，，矛盾，D错误。 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，可得，，，，对于A：因为，可得，A正确。对于B：根据正方体的性质可知平面，B正确。对于C：设平面的法向量为，则，设，可得，可得；设平面的法向量为，则，设，可得，可得；因为，所以平面平面，C正确。由题意可知：平面的一个法向量，因为，可知平面与平面不垂直，D错误。 2.D 由题意，得棱台的上底面面积为，下底面面积为，所以该棱台的体积为。 二、多选题 3.BC 不失一般性作图如下，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，，连接，则，因为二面角为，所以，由已知，所以，所以，故，，B正确。当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，此时趋向于，A错误；因为，，平面，所以平面，又平面，所以，若，不重合，结合，平面，可得平面，平面，所以，矛盾，所以重合，因为，，，平面，所以平面， 故平面，C正确；因为平面，若平面，则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，故与的夹角为，D错误， 三、填空题 4.； 法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，.在中，，故底面面积.由可知，点在底面上的投影为的外心.在中，由余弦定理得，且，故. 由正弦定理，的外接圆半径，则高，三棱锥的体积.综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得，且，故，.所以底面面积.由可知，点在底面上的投影为的外心.由正弦定理，的外接圆半径，则高，三棱锥的体积.综上，底面面积为，体积为。 5. 由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接，由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得(负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图)，所以，由三角形面积公式，。 四、解答题 6.【答案】(1) (2)连接、交于,连接、交于,如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且,所以四边形为平行四边形,所以，因为平面,平面，所以平面.体积为 【解析】(1)过作平面ABCD于,连接，过分别作于于,连接,如图为在平面上的投影,由于平面，所以，由于平面，所以平面.由于平面，所以.所以,同理,,四边形为正方形,所以，为在平面上的投影,又因平面平面,所以和平面所成角即，,故和平面所成角为。 (2)由正棱台性质,与上下底面均垂直,则，因为，平面，所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,即: 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题-按章分类 必修 第二册 第八章 立体几何初步 2个选题 + 1个多选题 + 1个填空题 + 2个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2026高考·天津)正方体中，错误的是(  ) A. B.平面 C.平面平面 D.平面平面 1.D 解法一：由题意，在正方体中，A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确；B项，由几何知识得，，，，平面，平面，∴平面，故B正确；C项， ∵，平面，平面，∴平面，由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴平面平面，C正确；D项， 假设平面平面，则交线为，此时有，∴平面，∵平面，∴，连接，， 由几何知识得，，则，故在中，由几何知识得，，∴三角形为等边三角形，，矛盾，D错误。 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，可得，，，，对于A：因为，可得，A正确。对于B：根据正方体的性质可知平面，B正确。对于C：设平面的法向量为，则，设，可得，可得；设平面的法向量为，则，设，可得，可得；因为，所以平面平面，C正确。由题意可知：平面的一个法向量，因为，可知平面与平面不垂直，D错误。 2.(2026高考·全国二卷)已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为(  ) A. B. C. D. 2.D 由题意，得棱台的上底面面积为，下底面面积为，所以该棱台的体积为。 二、多选题 3.(2026高考·全国一卷)在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1.若二面角为，则(  ) A. B. C.当时，平面 D.当平面时， 3.BC 不失一般性作图如下，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，，连接，则，因为二面角为，所以，由已知，所以，所以，故，，B正确。当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，此时趋向于，A错误；因为，，平面，所以平面，又平面，所以，若，不重合，结合，平面，可得平面，平面，所以，矛盾，所以重合，因为，，，平面，所以平面， 故平面，C正确；因为平面，若平面，则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，故与的夹角为，D错误， 三、填空题 4.(2026高考·北京)如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________. 4.； 法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，.在中，，故底面面积.由可知，点在底面上的投影为的外心.在中，由余弦定理得，且，故. 由正弦定理，的外接圆半径，则高，三棱锥的体积.综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得，且，故，.所以底面面积.由可知，点在底面上的投影为的外心.由正弦定理，的外接圆半径，则高，三棱锥的体积.综上，底面面积为，体积为。 5.(2026高考·全国二卷)已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________. 5. 由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接，由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得(负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图)，所以，由三角形面积公式，。 四、解答题 6.(2026高考·上海)如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 6.【答案】(1) (2)连接、交于,连接、交于,如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且,所以四边形为平行四边形,所以，因为平面,平面，所以平面.体积为 【解析】(1)过作平面ABCD于,连接，过分别作于于,连接,如图为在平面上的投影,由于平面，所以，由于平面，所以平面.由于平面，所以.所以,同理,,四边形为正方形,所以，为在平面上的投影,又因平面平面,所以和平面所成角即，,故和平面所成角为。 (2)由正棱台性质,与上下底面均垂直,则，因为，平面，所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,即: 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $