立体几何初步专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2024-2025学年高三数学一轮复习8---立体几何初步专项训练 一、单选题 1．已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 2．已知正三棱锥纸模，的边长为，侧棱长为，沿，，将三棱锥剪开得到一个多边形，若小花想用一张圆形纸裁剪一个相同的多边形，并折叠成正三棱锥形礼盒，则圆形纸的半径至少为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．边长为1的正方形，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是（    ） A．2 B． C． D． 4．下列判断正确的是（    ） A．圆锥的侧面展开图可以是一个圆面 B．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C．一个西瓜切3刀最多可切成8块 D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个 5．已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在长方体中，，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，下列命题错误的是（    ） A．四棱锥的体积恒为定值 B．存在点，使得平面 C．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 D．对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面 二、多选题 7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．三棱锥的体积为1 C．二面角的大小为 D．与底面所成的角的正切值为 8．在梯形中，，将沿折起，使到的位置(与不重合)，，分别为线段，的中点，在直线上，那么在翻折的过程中（    ） A．与平面所成角的最大值为 B．在以为圆心的一个定圆上 C．若平面，则 D．若平面，四面体的体积取得最大值 三、填空题 9．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是 . 10．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 11．已知正方体的外接球表面积为，点，分别在线段，上，若为正方形的中心，且，则实数的取值范围为 . 12．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为 ． 四、解答题 13．已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的侧面积. 14． 已知三棱柱的底面是，，，，侧棱的长为20cm，且侧棱与底面所成的角为，求这个三棱柱的体积． 15．扇形铁皮的圆心角为，所在圆半径为12，欲用此材料做一无盖圆台形容器，如图所示，将扇形铁皮裁出个扇形和圆，分别做圆台的侧面和较大的底面，铁皮的厚度忽略不计． （1）求的长； （2）求容器的体积． 16．三角形ABC中，，，，绕AB边旋转一周形成一个几何体，. （1）求出这个几何体的表面积； （2）求出这个几何体的体积. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C A D ABD ACD 1．D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 2．C 【分析】在正三棱锥的平面展开图中，连接，，，设为外接圆的圆心，的长度即为所求，根据条件中的数据算出即可. 【详解】如图，在正三棱锥的平面展开图中，由题意可得 连接，，，易知为等边三角形 由题意知，圆形纸半径的最小值即外接圆的半径. 设为外接圆的圆心，连接，交于点，则易知即所求，且为线段的中点，为的中心， 所以，，在中，，则， 故选：C 3．C 【分析】根据直观图得出原图形的结构，然后计算面积． 【详解】由直观图知原图形是平行四边形，，，， 所以面积为． 故选：C． 4．C 【分析】由圆锥的母线一定比底面半径大可判断A；由正三棱锥的侧棱长相等可判断B；类比一个正方体被三个平面切割可判断C；取两个点为极点可判断D 【详解】选项A，由圆锥的母线一定比底面半径大，可得圆锥的侧面展开图是一个圆心角不超过的扇形，A错误； 选项B，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，故不一定是正三棱锥，B错误； 一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图的方法切割可得最多块数，故C正确；    当两个点为球的两个极点，则过两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：C 5．A 【分析】取线段的中点，连接、、、，分析出为等边三角形，四边形为正方形，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】取线段的中点H，连接、、、，如图所示： 由球的几何性质可知平面，平面 因为，，则是边长为2的等边三角形， 因为H为的中点，则，且， 同理可知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因为平面， 所以，同理 因为平面，所以，所以四边形为正方形， 故，所以球O的半径为， 因此，球O的表面积为. 故选：A 6．D 【分析】 由结合线面平行的定义，即可判断选项A，由线面垂直的判定定理即可判断选项B，由面面平行的性质和对称性，即可判断选项C，由特殊位置即可判断选项D. 【详解】 对A，，又，平面，平面，所以平面，同理平面，所以点E，F到平面的距离为定值，则四棱锥的体积为定值，故选项A正确； 对于B，因为，可得对角面为正方形，所以，由平面，平面，所以，若，则，平面，所以平面，由平面，所以，又平面，所以平面，故B正确； 对于C，由面面平行的性质定理可得，四边形为平行四边形，由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，即存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值，故选项C正确. 对于D，当点在处时，对于AD上任意的点G，直线CG与平面均相交，故选项D错误. 故选：D 7．ABD 【分析】对选项A，易证平面，即可判断A正确，对选项B，计算三棱锥的体积即可判断B正确，对选项C，根据题意得到是二面角的平面角，再求其大小即可判断C错误，对选项D，根据题意得到与底面所成的角即为，再求其正切值即可判断D正确. 【详解】对选项，取的中点，连接，如图所示： 因为侧面为边长为2的正三角形，且为的中点， 所以， 又底面是菱形，， 所以是边长为2的等边三角形， 所以，又，，平面， 所以平面，， 即异面直线与所成的角为，故正确； 对选项B，因为平面平面，， 所以平面. 因为，， 所以，故B正确； 对于选项，因为平面平面，，平面， 所以，. 是二面角的平面角，，则， 在中，，即， 故二面角的大小为，故错误. 对选项D，如图所示： 因为平面， 所以与底面所成的角即为， 因为， 所以，D正确. 故选：ABD 8．ACD 【分析】根据已知条件可得四边形是菱形， ，线面角的知识可判断A；根据圆锥的几何性质可判断B；求得，由此可判断C；由，，得，结合锥体体积求法可判断D. 【详解】如图，在梯形中，因为，， ，所以，又，所以四边形是菱形，所以，， 所以，即，，在将沿翻折至的过程中，与的大小保持不变，由线面角的定义可知，与平面所成角的最大值为，故A正确； 因为大小不变，所以在翻折的过程中，的轨迹在以为轴的一个圆锥的底面圆周上，而是的中位线，所以点的轨迹在一个截面圆锥的底面圆周上，的长度在变化，不变化，所以也在变化， 也在变化，所以圆的圆心不是点，故B不正确； 因为四边形是菱形， ，所以，当平面时，，因为，所以，所以，故C正确； 在翻折的过程中，的面积不变，显然当平面时，四面体的体积取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了线面角、线面垂直的性质，解题国家大事要熟练掌握有关知识并能熟练应用，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力. 9．10 【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可 【详解】因为正四棱柱底面边长为1，高为2， 所以它的表面积为， 故答案为：10 10． 【分析】立体图形中爬行距离最短问题可以转换到平面展开图中求两点距离最短，即为线段的长，解三角形求出线段的长度即可 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短. 即蚂蚁爬行的最短的路线为， 由，，， ， 从而最短距离为. 11． 【分析】根据条件可求出正方体的边长，然后要使得最小，则有，然后可得，过点作交于点，则有，然后可得答案. 【详解】 因为外接球表面积为，所以其半径为 因为正方体的外接球的直径为，所以， 因为为正方形的中心，所以为线段的中点 提取出平面图形： 要使得最小，则有， 过点作交于点，则有 因为，所以 所以 当三点共线时，最小，最小值为1 所以的最小值为，所以 故答案为： 12．/ 【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果. 【详解】 设，则， 平面，即为与底面所成角，即， ，， ，，； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，，即，又， 顶点的曲率为. 故答案为：. 13．（1）64；（2）. 【分析】（1）利用棱锥的体积公式直接计算； （2）先利用勾股定理求得各侧面上的斜高，再求各侧面面积之和即得棱锥的侧面积. 【详解】（1）几何体的体积为 . （2）正侧面及相对侧面底边上的高为： . 左、右侧面的底边上的高为： . 故几何体的侧面面积为： . 【点睛】本题考查棱锥的体积和侧面积的求法，求侧面积关键在于侧面上的斜高的计算，关键要掌握顶点在底面上的投影是底面中心的意义，知道高垂直于底面内的直线，高于底面内的边心距和侧面的斜高构成直角三角形. 14． 【分析】根据侧棱与底面所成的角为，可得棱柱的高，且底面为直角三角形，再结合棱柱的体积公式，即可得到结果. 【详解】因为三棱柱的底面是，，，， 所以底面为直角三角形， 又因为侧棱与底面所成的角为 所以三棱柱的高为， 所以体积． 15．（1）；（2）. 【分析】（1）设圆台上、下底面半径分别为、，母线长，则，根据题意列出方程组求解即可； （2）先求得上底面圆半径r，再求得圆台的高，最后套用圆台体积公式计算即可得解. 【详解】（1）设圆台上、下底面半径分别为、，母线长，则，由题意得 ，∴ ，即AD的长为； (2)∵，∴， 如图，圆台的高（cm）， ∴（）， 即容器的容积为. 【点睛】本题考查圆台的相关计算，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 16．（1）；（2）. 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式和底面积公式计算即可； （2）由圆锥的体积公式计算即可. 【详解】如图， ∵，，， ∴， 因此绕边旋转一周，形成的几何体是以BC为底面圆半径、AC为母线的圆锥， （1）因为圆锥侧面积，底面积， ∴该几何体的表面积； （2）该几何体的体积，体积等于. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$