29.2.1《垂直于弦的直径》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，通过梯度化题型构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|圆的轴对称性、垂径定理及推论、勾股定理关系|以选择填空为主，如直接应用垂径定理求弦长（题4）、弦心距（题7），夯实基础概念| |进阶思维题|垂径定理与勾股定理综合、折叠问题、命题判断|设置解答题（题13求圆弧半径）、多解问题（题6两弦距离），提升推理与运算能力| |中考链接题|实际情境应用（拱桥、古钱币）、综合证明|选用中考真题（如贵州中考测工件半径），强化模型意识与跨学科应用能力|

人教版九年级上册 第29章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 本节知识点总结 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 垂径定理的基本图形：圆心O，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，则CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。 5. 垂径定理的应用：已知半径和弦长，求弦心距；已知半径和弦心距，求弦长；已知弦长和拱高，求半径。 6. 勾股定理关系：在Rt△OAD中，OA² = AD² + OD²。设半径为R，弦长为2a，拱高为h，则有 R² = a² + (R-h)²。 7. 知二推三：过圆心、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，五个条件中任意两个成立，其余三个必成立。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：圆的轴对称性与垂径定理的理解 【考查要点】圆的轴对称性、垂径定理的内容理解。 【解题方法】圆有无数条对称轴，任何直径所在直线都是对称轴；垂径定理关键是"垂直于弦的直径平分弦及所对弧"。 1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 2. 垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且平分弦所对的______弧。 3. 下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．弦的垂直平分线一定经过圆心 C．垂直于弦的直线平分弦 D．圆的对称轴是直径 题型二：垂径定理的直接应用（求弦长） 【考查要点】已知半径和弦心距，求弦长。 【解题方法】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理平分弦，结合勾股定理求弦长的一半，再乘2。 4. （25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 5. ⊙O的半径为13，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB的长为______。 6. （25-26九年级上·全国·单元测试）如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若CE=2，AB=8，则直径CD的长为（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 题型三：垂径定理的直接应用（求弦心距） 【考查要点】已知半径和弦长，求弦心距。 【解题方法】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理平分弦，结合勾股定理求弦心距。 7. ⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8. ⊙O的半径为10，弦AB=16，则圆心O到弦AB的距离为______。 9. （25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D。若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为（ ） A．4 B．3 C．5 D．6 题型四：垂径定理的推论应用 【考查要点】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。 【解题方法】已知弦的中点，连接圆心和中点，可得垂直关系。 10. 下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．平分弦的直径必经过圆心 C．弦的垂直平分线平分弦所对的弧 D．两条垂直的弦互相平分 题型五：已知弦长和拱高求半径（赵州桥问题） 【考查要点】已知弦长和拱高，利用勾股定理求半径。 【解题方法】设半径为R，弦长为2a，拱高为h，则 R² = a² + (R-h)²。 11. 赵州桥的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高为7.23 m，则赵州桥主桥拱的半径长约为（ ）（结果保留小数点后一位） A．27.3 m B．27.5 m C．28.0 m D．28.5 m 12. 一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB=16 m，半径OA=10 m，则中间柱CD的高度为______ m。 13. （25-26九年级上·山东临沂·期末）唐代李皋发明了桨轮船，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8 m，轮子的吃水深度为2 m，半径OC⊥弦AB于点D，则该桨轮船的轮子半径为______ m。 题型六：垂径定理与勾股定理的综合应用 【考查要点】垂径定理与勾股定理结合，求半径、弦长、弦心距。 【解题方法】构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 14. （25-26九年级上·浙江温州·期末）直径为10的圆形干果盘，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ） 15. 在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若AE=4，BE=16，则弦CD的长为（ ） A．10 B．16 C．20 D．24 16. 已知⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为______。 题型七：垂径定理的实际应用 【考查要点】利用垂径定理解决实际问题。 【解题方法】将实际问题转化为圆的几何问题，利用垂径定理和勾股定理求解。 17. （25-26九年级上·江苏无锡·期末）拱桥可以近似地看作直径为260 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为240 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为_____ m。 18. 某排水管的截面为圆形，直径为1 m，水面宽度AB=0.6 m，则水深为______ m。 19. 小明要测量一个圆形工件的半径，他在工件圆弧上任取两点A、B，测得AB=8 cm，弧AB的中点到弦AB的距离为2 cm，则这个圆形工件的半径为_____ cm。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. （25-26九年级上·辽宁营口·期中）下列命题正确的是（ ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．长度相等的弧是等弧 2. （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。若CD=8，OE=3，则⊙O的半径长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．8 3. 下列说法中，正确的有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②圆的对称轴是直径；③过圆心的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直径平分弦。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 在⊙O中，弦AB的垂直平分线交⊙O于C、D两点，交AB于E，则下列结论错误的是（ ） A．CD是⊙O的直径 B．CD平分弧AB C．OE=AB D．CD⊥AB 5. （25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为4，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为（ ） 6. 已知⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为（ ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 （二）填空题 7. 圆的对称轴是______，它有______条对称轴。 8. ⊙O的半径为13，弦AB=24，则圆心O到弦AB的距离为______。 9. （2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，且CE=DE，CD=8，BE=2，则⊙O的半径长为_____。 10. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1 m，水面宽AB=1.6 m，则此时排水管内水的最大深度是______ m。 11. 在⊙O中，直径AB=20，弦CD⊥AB于E，若OE=6，则弦CD的长为_____。 （三）解答题 12. 如图，在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB于C，若OA=5，AB=8，求OC的长。 13. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB=24 m，拱高CD=8 m，求这段圆弧所在圆的半径。 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心。AB=120 m，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20 m。求这段弯路的半径。 三、中考链接题 1. （2026·四·中考真题）1.（26-27同步）如图，为直径，弦于E，，则长为（        ） A.1 B. C.2 D.  2.（25-26·山东中考）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A. B. C. D.  3.（25·贵州中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（       ） A. B. C. D. 4.（2026·江苏模拟）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为________ ． 5.（25·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则点的坐标是_________________．   6.（22-23·辽宁中考）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点，若，，则 ． 7.（25·湖北中考）如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度，拱高（圆弧中点到弦的距离）为． （1）请你用尺规确定圆弧所在圆的圆心； （2）求拱桥所在圆的半径长．  8.（26-27·江西模拟）已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 9.（25·黑龙江中考）如图，内接于，高经过圆心．若，的半径为，求的面积． 10.（25·四川模拟） 如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为，求大圆的半径的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第29章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 本节知识点总结 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 垂径定理的基本图形：圆心O，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，则CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。 5. 垂径定理的应用：已知半径和弦长，求弦心距；已知半径和弦心距，求弦长；已知弦长和拱高，求半径。 6. 勾股定理关系：在Rt△OAD中，OA² = AD² + OD²。设半径为R，弦长为2a，拱高为h，则有 R² = a² + (R-h)²。 7. 知二推三：过圆心、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，五个条件中任意两个成立，其余三个必成立。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：圆的轴对称性与垂径定理的理解 【考查要点】圆的轴对称性、垂径定理的内容理解。 【解题方法】圆有无数条对称轴，任何直径所在直线都是对称轴；垂径定理关键是"垂直于弦的直径平分弦及所对弧"。 1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【解析】本题考查圆的轴对称性。 【解答】解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 故选D。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径__平分____弦，并且平分弦所对的___两条___弧。 【答案】平分；两条 【解析】本题考查垂径定理的内容。 【解答】解：垂径定理的内容是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．弦的垂直平分线一定经过圆心 C．垂直于弦的直线平分弦 D．圆的对称轴是直径 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理及其推论。 【解答】解：A选项，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，若弦是直径则不一定垂直，错误；B选项，弦的垂直平分线一定经过圆心，正确；C选项，垂直于弦的直径平分弦，不是垂直于弦的直线都平分弦，错误；D选项，圆的对称轴是直径所在直线，不是直径本身，错误。 故选B。 题型二：垂径定理的直接应用（求弦长） 【考查要点】已知半径和弦心距，求弦长。 【解题方法】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理平分弦，结合勾股定理求弦长的一半，再乘2。 4. （25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则AC=BC。在Rt△OAC中，OA=5，OC=3，由勾股定理得AC===4，所以AB=2×4=8。 故选B。 5. ⊙O的半径为13，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB的长为__24____。 【答案】24 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则AC=BC。在Rt△OAC中，OA=13，OC=5，AC===12，所以AB=2×12=24。 6. （25-26九年级上·全国·单元测试）如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若CE=2，AB=8，则直径CD的长为（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：连接OA，设半径为r，则OE=r-2， AE=AB×二分之一=4。在Rt△OAE中，OA²=AE²+OE²，即r²=4²+(r-2)²，解得r=5，所以CD=2r=10。 故选A。 题型三：垂径定理的直接应用（求弦心距） 【考查要点】已知半径和弦长，求弦心距。 【解题方法】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理平分弦，结合勾股定理求弦心距。 7. ⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则AC=AB×=4。在Rt△OAC中，OA=5， 故选B。 8. ⊙O的半径为10，弦AB=16，则圆心O到弦AB的距离为___6___。 【答案】6 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则AC=AB×=8。在Rt△OAC中，OA=10，AC=8，OC=。 9. （25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D。若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为（ ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：连接OA，设半径为r，则OD=r-2， AD=AB×=4。在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即r²=4²+(r-2)²，解得r=5。 故选C。 题型四：垂径定理的推论应用 【考查要点】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。 【解题方法】已知弦的中点，连接圆心和中点，可得垂直关系。 10. 下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．平分弦的直径必经过圆心 C．弦的垂直平分线平分弦所对的弧 D．两条垂直的弦互相平分 【答案】C 【解析】本题考查垂径定理的推论。 【解答】解：A选项，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，若弦是直径则不一定，错误；B选项，平分弦的直线不一定经过圆心，错误；C选项，弦的垂直平分线经过圆心，平分弦所对的弧，正确；D选项，两条垂直的弦不一定互相平分，错误。 故选C。 题型五：已知弦长和拱高求半径（赵州桥问题） 【考查要点】已知弦长和拱高，利用勾股定理求半径。 【解题方法】设半径为R，弦长为2a，拱高为h，则 R² = a² + (R-h)²。 11. 赵州桥的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高为7.23 m，则赵州桥主桥拱的半径长约为（ ）（结果保留小数点后一位） A．27.3 m B．27.5 m C．28.0 m D．28.5 m 【答案】A 【解析】本题考查垂径定理的实际应用，即赵州桥问题。 【解答】解：设半径为R m，弦AB=37 m，拱高CD=7.23 m，则AD=AB×二分之一=18.5 m，OD=R-7.23。在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即R²=18.5²+(R-7.23)²，解得R≈27.3 m。 故选A。 12. 一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB=16 m，半径OA=10 m，则中间柱CD的高度为__4____ m。 【答案】4 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C。则AD=AB×二分之一=8 m。在Rt△OAD中，OD=√(OA²-AD²)=√(10²-8²)=6 m。 所以CD=OC-OD=10-6=4 m。 13. （25-26九年级上·山东临沂·期末）唐代李皋发明了桨轮船，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8 m，轮子的吃水深度为2 m，半径OC⊥弦AB于点D，则该桨轮船的轮子半径为___5___ m。 【答案】5 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：连接OA，设半径为R，则AD=AB×=4 m，OD=R-2。 在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即R²=4²+(R-2)²，解得R=5 m。 题型六：垂径定理与勾股定理的综合应用 【考查要点】垂径定理与勾股定理结合，求半径、弦长、弦心距。 【解题方法】构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 14. （25-26九年级上·浙江温州·期末）直径为10的圆形干果盘，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ） 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理的实际应用。 【解答】解：过O作OK⊥隔板于K，连接半径。由题意，半径为5，隔板被三等分点分成三段，每段长度为x。利用垂径定理和勾股定理，求得隔板总长为2。 故选B。 15. 在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若AE=4，BE=16，则弦CD的长为（ ） A．10 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：直径AB=AE+BE=20，半径OC=10，OE=OA-AE=10-4=6。 在Rt△OCE中，。由垂径定理，CD=2×CE=16。 故选B。 16. 已知⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为__1或7____。 【答案】1或7 【解析】本题考查垂径定理的综合应用，注意分类讨论。 【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F。 ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD。 AE=AB×=3，CF=CD×=4。 在Rt△OAE中， OE==4； 在Rt△OCF中， OF==3。 当AB、CD在圆心同侧时，距离=4-3=1； 当AB、CD在圆心两侧时，距离=4+3=7。 题型七：垂径定理的实际应用 【考查要点】利用垂径定理解决实际问题。 【解题方法】将实际问题转化为圆的几何问题，利用垂径定理和勾股定理求解。 17. （25-26九年级上·江苏无锡·期末）拱桥可以近似地看作直径为260 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为240 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为__10____ m。 【答案】10 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：设圆弧圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交弧AB于D，连接OA。 半径OA=130 m，AC=AB×=120 m。 在Rt△OAC中，OC== 50 m。最长钢索CD=OD-OC=130-50=80 m。 18. 某排水管的截面为圆形，直径为1 m，水面宽度AB=0.6 m，则水深为__0.1或0.9____ m。 【答案】0.1或0.9 【解析】本题考查垂径定理的实际应用，注意分类讨论。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，交圆于D。半径OA=0.5 m，AC=AB×二分之一=0.3 m。在Rt△OAC中，OC2=0.5²-0.3²=0.16， 所以OC=0.4 m。 当水面在圆心下方时，水深=0.5-0.4=0.1 m； 当水面在圆心上方时，水深=0.5+0.4=0.9 m。 19. 小明要测量一个圆形工件的半径，他在工件圆弧上任取两点A、B，测得AB=8 cm，弧AB的中点到弦AB的距离为2 cm，则这个圆形工件的半径为___5___ cm。 【答案】5 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C。 则AD=AB×=4 cm，CD=2 cm。设半径为R， 则OD=R-2。在Rt△OAD中， OA²=AD²+OD²，即R²=4²+(R-2)²， 解得R=5 cm。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. （25-26九年级上·辽宁营口·期中）下列命题正确的是（ ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【解析】本题考查圆的基本概念和垂径定理。 【解答】解：A选项，直径是弦，但弦不一定是直径，错误；B选项，半圆是弧的一种，正确；C选项，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误；D选项，等弧需要能完全重合，不是仅长度相等，错误。 故选B。 2. （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。若CD=8，OE=3，则⊙O的半径长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：连接OC。 ∵AB⊥CD，∴CE=CD×=4。在Rt△OCE中，。 故选C。 3. 下列说法中，正确的有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②圆的对称轴是直径；③过圆心的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直径平分弦。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理和圆的轴对称性。 【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误； ②圆的对称轴是直径所在直线，不是直径，错误； ③过圆心的直线是圆的对称轴，正确； ④垂直于弦的直径平分弦，正确。共2个正确。 故选B。 4. 在⊙O中，弦AB的垂直平分线交⊙O于C、D两点，交AB于E，则下列结论错误的是（ ） A．CD是⊙O的直径 B．CD平分弧AB C．OE=AB D．CD⊥AB 【答案】C 【解析】本题考查垂径定理的推论。 【解答】解：弦的垂直平分线经过圆心，所以CD是直径，A正确；CD平分弧AB，B正确；CD⊥AB，D正确；OE是弦心距，不一定等于AB，C错误。 故选C。 5. （25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为4，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为（ ） 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：作ON⊥CD于N，连接OC。 对折后M与O重合，则ON=OM×=2。在Rt△OCN中，CN=。由垂径定理，CD=2×CN=4。 故选B。 6. 已知⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为（ ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【解析】本题考查垂径定理的综合应用，注意分类讨论。 【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F。 AE=AB×=3，CF=CD×=4。OE==4，OF==3。 当AB、CD在圆心同侧时，距离=4-3=1； 当AB、CD在圆心两侧时，距离=4+3=7。 故选C。 （二）填空题 7. 圆的对称轴是__直径所在直线____，它有___无数___条对称轴。 【答案】直径所在直线；无数 【解析】本题考查圆的轴对称性。 【解答】解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 8. ⊙O的半径为13，弦AB=24，则圆心O到弦AB的距离为___5___。 【答案】5 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则AC=AB×=12。在Rt△OAC中，OC2=13²-12²=25 ∴OC=5。 9. （2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，且CE=DE，CD=8，BE=2，则⊙O的半径长为__5____。 【答案】5 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：连接OC。 ∵CE=DE，AB是直径，∴AB⊥CD。 设半径为r，则OE=r-2，CE=CD×二分之一=4。 在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²， 即r²=4²+(r-2)²，解得r=5。 10. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1 m，水面宽AB=1.6 m，则此时排水管内水的最大深度是___0.4___ m。 【答案】0.4 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，交圆于D。 AC=AB×=0.8 m。 在Rt△OAC中，OC2=1²-0.8²=0.36 ∴OC=0.6 m。 水深=OD-OC=1-0.6=0.4 m。 11. 在⊙O中，直径AB=20，弦CD⊥AB于E，若OE=6，则弦CD的长为__16____。 【答案】16 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：连接OC。 半径OC=10，OE=6。 在Rt△OCE中，CE2=10²-6²=64 ∴CE=8。 由垂径定理，CD=2×CE=16。 （三）解答题 12. 如图，在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB于C，若OA=5，AB=8，求OC的长。 【答案】3 【解析】本题考查垂径定理和勾股定理。 【解答】解：∵OC⊥AB，∴AC=AB×=4。 在Rt△OAC中，由勾股定理得： OC2=OA²-AC²=5²-4)=9 ∴OC=3。 答：OC的长为3。 13. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB=24 m，拱高CD=8 m，求这段圆弧所在圆的半径。 【答案】13 m 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：设圆心为O，连接OA，设半径为R m。 由垂径定理，AD=AB×=12 m，OD=R-8。 在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即R²=12²+(R-8)²。 展开得R²=144+R²-16R+64， 解得16R=208，R=13。 答：这段圆弧所在圆的半径为13 m。 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心。AB=120 m，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20 m。求这段弯路的半径。 【答案】100 m 【解析】本题考查垂径定理的实际应用。 【解答】解：设半径为R m，则OD=R-20。 ∵OC⊥AB，∴AD=AB×=60 m。 在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即R²=60²+(R-20)²。 展开得R²=3600+R²-40R+400， 解得40R=4000，R=100。 答：这段弯路的半径为100 m。 三、中考链接题 1. （2026·四·中考真题）1.（26-27同步）如图，为直径，弦于E，，则长为（        ） A.1 B. C.2 D. 【答案】 B 【解析】 本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE的长，再在Rt△OCE中利用勾股定理求出OE的长即可. 【解答】 解：∵ AB为⊙O直径，CD⊥AB，OC=OB=CD=2， ∴ CE=CD=1， 在Rt△OCE中，OE=. 故选：B.  2.（25-26·山东中考）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了垂径定理,圆周角定理. 先根据垂径定理得到 , 再根据圆周角定理即可得到 . 【解答】 解：连接BD. 是 的直径, 是弦, , 故选：C.  3.（25·贵州中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【解答】 解：是线段的垂直平分线， 直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：． 4.（2026·江苏模拟）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为___13_____ ． 【答案】 13 【解析】 本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则 是 的直径，过O作OC TE，连接OD，再结合正方形的性质以及垂径定理得CE=5mm，CD=12mm，由勾股定理列式计算，即可作答. 【解答】 解：如图所示： 是 的直径，过O作 ，连接OD， 依题意， 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， 在Rt 中， 即这枚古钱币的半径为 故答案为：13 5.（25·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则点的坐标是__________________． 【答案】 【解析】 如图，连接，设圆与轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标． 【解答】 如图，连接，设圆与轴相切于点，连接交与点， 则轴， 为直径，则， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴， ． 故答案为：．   6.（22-23·辽宁中考）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点，若，，则 4 ． 【答案】 【解析】 利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题. 【解答】 解：根据题意可知，以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，垂直平分,即， ， 又在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，其中， ， 在中，， 故答案为：． 7.（25·湖北中考）如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度，拱高（圆弧中点到弦的距离）为． （1）请你用尺规确定圆弧所在圆的圆心； （2）求拱桥所在圆的半径长． 【答案】 见解析 这个拱桥所在圆的半径长为 【解析】 （1）根据弦的垂直平分线都经过圆心来作．作的垂直平分线，交弧于，连接，作的垂直平分线，与相交于，点就是所求的圆心． （2）连接，设这个门拱的半径为 ，则，根据垂径定理得到，在中，由勾股定理得，然后即可得到关于的方程，解方程即可求出． 【解答】 （1）解：如图，作的垂直平分线，交弧于， 连接，作的垂直平分线，与相交于， 点就是所求的圆心； （2）连接， 设这个拱桥的半径为 ，则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ． 这个拱桥所在圆的半径长为．  8.（26-27·江西模拟）已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 【答案】 7cm或1cm 【解析】 有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论. 【解答】 解：如图①，过O作OF AB于F交CD于E，连接OA，OC， 由垂径定理得 ， ① 如图 ②，过O作OF AB于F，OE CD于E，连接AO，CO，同理可得 OF=4cm，OE=3cm， 当AB，CD在圆心O的两侧时， EF=OF+OE=7(cm), AB与CD的距离为7cm或1cm. ② 9.（25·黑龙江中考）如图，内接于，高经过圆心．若，的半径为，求的面积． 【答案】 【解析】 本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【解答】 解：如图，连接， ，且经过圆心，， ， 的半径为． ， 在中，， ， ， ． 10.（25·四川模拟） 如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为，求大圆的半径的值． 【答案】 见解析 大圆的半径为 【解析】 （1）作于，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【解答】 （1）解：证明：如图：作于， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $