专题 4：多位数乘两位数（思维拓展）人教版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 4：多位数乘两位数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：口算与算理 3 考点二：笔算乘法与规范书写 4 考点三：积的变化规律 5 考点四：估算与实际应用 6 考点五：格子乘法与巧算 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：笔算乘法数位对齐错误 8 易错点 2：计算时漏加进位 8 易错点 3：积的变化规律搞反 9 易错点 4：估算脱离实际情境 9 易错点 5：末尾 0 的个数数错 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版四年级上册第三单元《三位数乘两位数》核心内容，以 “口算奠基→笔算进阶→规律探究→实践应用→拓展巧算” 为主线，系统覆盖多位数乘两位数口算、笔算乘法、积的变化规律、估算解决问题、格子乘法与巧算五大核心模块，渗透运算能力、建模应用、推理分析、优化决策等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从两位数乘一位数、整百数口算拓展到三位数乘两位数口算；理解笔算乘法的算理与规范书写；探究积的变化规律与积不变规律；结合购物、行程等情境用估算解决实际问题；认识格子乘法，延伸错中求解、乘积最值、方案优化等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续运算律、小数乘法学习筑牢运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 口算与算理 两位数乘两位数、三位数乘两位数口算；末尾有 0 的乘法 拆分法、补零法 漏补末尾的 0；算理混淆 笔算乘法 三位数乘两位数笔算；数位对齐与进位 分步相乘法、数位对齐法 数位对错；进位漏加 积的变化规律 因数变化引起积的变化；积不变规律 规律应用法、对比验证法 规律搞反；两个因数都变时判断错误 估算与应用 乘法估算；解决够不够、方案类实际问题 估算法、方案对比法 估算脱离实际；估大估小判断失误 格子乘法与巧算 格子乘法计算；乘法凑整巧算 铺地锦法、拆数凑整法 格子斜行相加出错；凑整拆分错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 拆分补零法 末尾有 0 的乘法口算 ①先算 0 前面的数；②数末尾 0 的总个数；③积的末尾补对应 0 先算非零，再补零，几个零，补几个 分步笔算法 三位数乘两位数笔算 ①个位乘三位数，末位对个位；②十位乘三位数，末位对十位；③两次积相加 先个后十，数位对齐，分步相乘，求和得积 规律应用法 积的变化规律题 ①找不变的因数；②看另一个因数乘除几；③积对应乘除几 一个不变，另一个变，积跟着同样变 估算判断法 实际问题估算 ①根据情境估大或估小；②估算结果；③对比判断 够不够，估大些；剩多少，估小些 拆数凑整法 乘法巧算 ①拆数凑出 25×4、125×8；②结合相乘；③算出结果 25 配 4，125 配 8，拆分凑整，积不变 三、数学思维提升 1. 运算思维 核心要点：理解多位数乘法的算理，掌握口算、笔算的规范步骤，养成有序运算、准确计算的习惯，提升运算能力。 专题示例：笔算三位数乘两位数，分步相乘再相加，就是运算思维的体现。 2. 建模思维 核心要点：把行程、购物、促销等实际问题转化为乘法数学模型，用乘法运算解决实际问题，培养数学建模与应用能力。 专题示例：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量，就是建模思维的应用。 3. 推理思维 核心要点：根据积的变化规律推理未知积，根据错误的因数和积的差推理正确结果，培养逻辑推理与逆向思维能力。 专题示例：错中求解乘法题，根据积的差求不变的因数，就是推理思维的典型应用。 4. 优化思维 核心要点：结合促销、方案选择等场景，通过计算对比不同方案的结果，选择最优方案，培养优化决策与统筹规划能力。 专题示例：买几送几的促销问题，分组计算最省钱的方案，就是优化思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：口算与算理 能力进阶（★★★）—— 末尾有 0 的乘法口算 题目：口算 150×30，说出口算过程。 解题步骤： ① 拆分因数：把 150 看成 15 个十，30 看成 3 个十，先计算 0 前面的非零部分 15×3。 ② 计算非零部分：。 ③ 补 0：两个因数末尾一共有 2 个 0，在 45 的末尾添上 2 个 0，得到 4500。 【答案】4500 【知识点睛】本题考查多位数乘两位数的口算算理，对应教材口算核心知识点。 解题要点：末尾有 0 的乘法，先把 0 前面的数相乘，再看两个因数末尾一共有几个 0，就在积的末尾添上几个 0。 算理本质：利用计数单位的变化，15 个十乘 3 个十 = 45 个百，也就是 4500。 易错警示：只数一个因数末尾的 0，漏数另一个因数的 0，导致少补 0。 思维拓展（★★★★）—— 乘法错中求解 题目：小马虎计算一道乘法算式时，把其中一个因数 24 看成了 29，结果得到的积比正确的积多了 85。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 分析变化：另一个因数保持不变，一个因数多算了，积就多了 5 个不变的因数。 ② 求出不变的因数：积多了 85，对应 5 个不变因数，所以不变因数。 ③ 计算正确的积：。 【答案】正确的积是 408。 【知识点睛】本题是乘法错中求解的经典奥数题型，考查对乘法算理的深度理解。 解题核心：抓住不变的那个因数，用 “积的差 ÷ 因数的差 = 不变的因数”，再代入正确因数算出正确积。 方法总结：错中求解三步走：①算因数差；②求不变因数；③算正确积。 易错警示：直接用 85 减去除以 24，搞反数量关系。 考点二：笔算乘法与规范书写 能力进阶（★★★）—— 三位数乘两位数笔算 题目：用竖式计算 136×24。 解题步骤： ① 先用第二个因数个位上的 4 去乘 136：，积的末位和个位对齐。 ② 再用第二个因数十位上的 2 去乘 136：，积的末位和十位对齐。 ③ 把两次乘得的积相加：。 竖式规范： 【答案】3264 【知识点睛】本题考查三位数乘两位数的笔算方法与规范书写，对应教材核心重难点。 笔算规则：先用两位数个位上的数去乘三位数，得数末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，得数末位和两位数的十位对齐；最后把两次的积加起来。 易错警示：十位相乘的积末位对错数位；计算时忘记加进位。 思维拓展（★★★★）—— 乘积最值组数 题目：用数字 1、2、3、4、5 组成一个三位数和一个两位数，每个数字只能用一次，乘积最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 求乘积最大：要让两个因数都尽可能大，且差尽可能小。把最大的 5 放在两位数首位，第二大的 4 放在三位数首位，第三大的 3 放在三位数第二位，2 放在两位数个位，1 放在三位数个位，组成。 计算：。 ② 求乘积最小：要让两个因数都尽可能小，且差尽可能大。把最小的 1 放在两位数首位，第二小的 2 放在三位数首位，3 放在三位数第二位，4 放在两位数个位，5 放在三位数个位，组成。 计算：。 ③ 验证：对比其他组合的乘积，确认 22412 最大，3185 最小。 【答案】最大是 22412，最小是 3185。 【知识点睛】本题是乘积最值组数的奥数题型，考查数字组合与乘法规律的综合应用。 组数规律：乘积最大，大配小，小配大，差越小积越大；乘积最小，小配小，大配大，差越大积越小。 方法技巧：最大积口诀：数从大到小排，首大两，首大三，次大配个位。 易错警示：数字越大越往高位放，忽略两个因数差的大小对乘积的影响。 考点三：积的变化规律 能力进阶（★★★）—— 积的变化规律基础应用 题目：已知，直接写出下面算式的得数。 ① ② 解题步骤： ① 第①题：第一个因数 26 不变，第二个因数 15 变成 30，乘了 2，积也乘 2，。 ② 第②题：第二个因数 15 不变，第一个因数 26 变成 52，乘了 2，积也乘 2，。 ③ 验证：直接计算，，结果一致。 【答案】① 780；② 780 【知识点睛】本题考查积的变化规律，对应教材核心知识点。 核心规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几（0 除外），积也乘几。 拓展延伸：一个因数不变，另一个因数除以几（0 除外），积也除以几。 易错警示：一个因数乘几，另一个因数也乘几，积也乘几，忽略两个因数都变的情况。 思维拓展（★★★★）—— 积不变规律应用 题目：已知，填空。 ① ② 解题步骤： ① 第①题：积不变，第二个因数 24 变成 12，除以了 2，第一个因数就要乘 2，。 ② 第②题：积不变，第一个因数 18 变成 36，乘了 2，第二个因数就要除以 2，。 ③ 验证：，，符合积不变规律。 【答案】① 36；② 12 【知识点睛】本题考查积不变规律，属于拓展奥数题型。 核心规律：两个数相乘，一个因数乘几（0 除外），另一个因数除以相同的数，积不变。 易错警示：积不变时，两个因数的变化方向搞反，一个乘另一个也乘。 考点四：估算与实际应用 能力进阶（★★★）—— 估算解决够不够问题 题目：学校准备给 128 名学生每人发一套文具，每套文具 32 元。老师带 4000 元够吗？ 解题步骤： ① 估算：把 128 看成 130，32 看成 30，元。 ② 分析：128 估大了 2，32 估小了 2，实际总钱数元。 ③ 对比判断：，所以带 4000 元不够。 【答案】带 4000 元不够。 【知识点睛】本题考查乘法估算解决实际问题，对应教材应用重难点。 解题要点：解决 “够不够” 的问题，尽量估大不估小，避免钱不够；估算后要验证实际结果，确保判断准确。 易错警示：只估算不验证，因为估算结果小于 4000 就判断够，忽略估算偏差。 思维拓展（★★★★）—— 促销方案优化 题目：商店钢笔促销，每支 15 元，买 4 支送 1 支。要给 120 名同学每人买 1 支钢笔，最少需要花多少钱？ 解题步骤： ① 分析促销规则：买 4 支送 1 支，也就是付 4 支的钱可以得到 5 支，5 支为一组。 ② 计算组数：组。 ③ 计算总花费：每组花费元，总花费元。 【答案】最少需要花 1440 元。 【知识点睛】本题是促销方案优化的奥数应用题，考查方案优化与乘法应用。 解题方法：先算一组的数量和价格，再算总组数，最后乘每组价格。 规律总结：买 n 送 m，一组就是 n+m 支，花 n 支的钱。 易错警示：直接用 120 乘单价，忽略送的部分；或者组数算错。 考点五：格子乘法与巧算 能力进阶（★★★）—— 格子乘法（铺地锦） 题目：用格子乘法计算。 解题步骤： ① 画 2 行 2 列的格子，格子上方依次写 3、4，格子右侧从上到下依次写 2、5。 ② 每个格子对应相乘：，；，，结果写在对应格子里，十位在上个位在下。 ③ 从右往左斜行相加：个位 0，十位，百位，千位 0，合起来是 850。 【答案】850 【知识点睛】本题考查格子乘法（铺地锦），对应教材拓展内容。 计算方法：格子对应相乘，斜行相加，满十进一。 易错警示：斜行相加时数位对错；忘记满十进一。 思维拓展（★★★★）—— 乘法凑整巧算 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 拆分中间数：把 32 拆成，方便和 25、125 凑整。 ② 结合凑整：。 ③ 计算结果：。 【答案】100000 【知识点睛】本题是乘法凑整巧算的奥数题型，考查运算技巧与数感。 解题核心：见到 25 找 4，见到 125 找 8，把中间的数拆成两个数相乘，分别凑整再相乘。 易错警示：拆分 32 拆成 30+2，用乘法分配律，四年级阶段重点掌握凑整拆分法。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：笔算乘法数位对齐错误 错误示例：十位上的数乘三位数，积的末位和个位对齐。 正确分析：十位上的数表示几个十，乘出来的结果是多少个十，末位要和十位对齐。 修正方法：个位乘，末位对个位；十位乘，末位对十位。 易错点 2：计算时漏加进位 错误示例：三位数乘一位数时，进位忘记加到前一位。 正确分析：哪一位相乘满几十，就要向前一位进几，前一位计算完要加上进位。 修正方法：每算完一位，先加进位，再写得数。 易错点 3：积的变化规律搞反 错误示例：一个因数乘 3，另一个因数不变，积除以 3。 正确分析：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。 修正方法：因数和积的变化方向一致，同乘同除。 易错点 4：估算脱离实际情境 错误示例：带钱买东西，把单价估小，导致判断钱够，实际不够。 正确分析：购物带钱问题，要把单价、数量估大，确保钱够。 修正方法：够不够，估大些；剩多少，估小些。 易错点 5：末尾 0 的个数数错 错误示例：，算 15×2=30，补 1 个 0，得 300。 正确分析：两个因数末尾一共 2 个 0，要补 2 个 0，结果是 3000。 修正方法：数两个因数末尾 0 的总数，积的末尾补相同个数的 0。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 口算： 2. 用竖式计算： 3. 已知，那么（ ），（ ）。 4. 估算： 5. 每套校服 65 元，四年级 112 名学生每人一套，一共需要（ ）元。 6. 两个因数的积是 120，一个因数乘 2，另一个因数不变，积是（ ）。 7. 用格子乘法计算： 8. 一辆汽车每小时行驶 85 千米，12 小时行驶（ ）千米。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎做乘法时，把一个因数 16 看成了 19，结果积多了 96，正确的积是多少？ 10. 用 2、3、4、5、6 组成三位数乘两位数，乘积最大是多少？ 11. 已知，填空：，。 12. 商店笔记本促销，每本 8 元，买 3 本送 1 本，买 40 本最少需要多少钱？ 13. 用简便方法计算： 14. 一个长方形绿地，长不变，宽增加到 24 米，原来的面积是 240 平方米，宽原来是 8 米。扩大后的绿地面积是多少平方米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】4800 解题步骤： ① 先算； ② 两个因数末尾共 2 个 0，补 2 个 0，得 4800。 【知识点睛】考查末尾有 0 的乘法口算。核心方法：先算非零部分，再补 0。易错警示：少补一个 0。 2. 【答案】7310 解题步骤： ① ； ② ； ③ 。 【知识点睛】考查三位数乘两位数笔算。核心规则：分步相乘，数位对齐，再相加。易错警示：十位相乘的积末位对错。 3. 【答案】960；240 解题步骤： ① 第一个因数不变，第二个因数乘 2，积乘 2，； ② 第二个因数不变，第一个因数除以 2，积除以 2，。 【知识点睛】考查积的变化规律。核心：一个因数不变，积随另一个因数同乘同除。易错警示：变化方向搞反。 4. 【答案】5000 解题步骤： ① 把 49 看成 50，103 看成 100； ② 。 【知识点睛】考查乘法估算。核心方法：把数看成接近的整十整百数。易错警示：估成 49×100，估算不简便。 5. 【答案】7280 解题步骤： ① 总价 = 单价 × 数量； ② 元。 【知识点睛】考查乘法实际应用。核心数量关系：总价 = 单价 × 数量。易错警示：计算错误。 6. 【答案】240 解题步骤： ① 一个因数乘 2，另一个不变，积也乘 2； ② 。 【知识点睛】考查积的变化规律。核心：积随因数同步变化。易错警示：积除以 2。 7. 【答案】414 解题步骤： ① 格子相乘：1×2=02，8×2=16；1×3=03，8×3=24； ② 斜行相加：个位 4，十位 3+2+6=11 进 1，百位 0+1+0+1=2，结果 414。 【知识点睛】考查格子乘法。核心方法：对应相乘，斜行相加。易错警示：斜行相加数位错。 8. 【答案】1020 解题步骤： ① 路程 = 速度 × 时间； ② 千米。 【知识点睛】考查行程问题乘法应用。核心公式：路程 = 速度 × 时间。易错警示：计算错误。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的积是 512。 解题步骤： ① 因数差：； ② 不变因数：； ③ 正确积：。 【知识点睛】考查乘法错中求解。核心方法：积的差 ÷ 因数的差 = 不变因数。易错警示：直接用 96 减 16。 10. 【答案】34146 解题步骤： ① 乘积最大组合：； ② 计算：。 【知识点睛】考查乘积最值组数。核心规律：大配小，差越小积越大。易错警示：组成 65×432，不是最大。 11. 【答案】12；30 解题步骤： ① 积不变，第二个因数乘 2，第一个因数除以 2，； ② 积不变，第一个因数除以 2，第二个因数乘 2，。 【知识点睛】考查积不变规律。核心：一个乘一个除，积不变。易错警示：两个都乘。 12. 【答案】240 元 解题步骤： ① 买 3 送 1，4 本一组，组； ② 每组花费元； ③ 总花费元。 【知识点睛】考查促销方案优化。核心方法：分组计算，算每组花费。易错警示：直接 40×8。 13. 【答案】7000 解题步骤： ① 把 56 拆成； ② 。 【知识点睛】考查乘法凑整巧算。核心：125 配 8，拆分凑整。易错警示：拆成 50+6，计算麻烦。 14. 【答案】720 平方米 解题步骤： ① 宽从 8 米到 24 米，乘了 3； ② 长不变，面积也乘 3，平方米。 【知识点睛】考查积的变化规律的实际应用。核心：长不变，宽乘几，面积乘几。易错警示：先算长再算面积，步骤繁琐。 1 学科网（北京）股份有限公司 $