单元评价（十九）专题训练二 特殊三角形 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦特殊三角形性质与判定，通过构造辅助线、全等转化、勾股计算等方法，系统覆盖直角、等腰、等边三角形的概念生成与应用逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2、填空12|勾股定理逆定理、中线性质|从特殊三角形定义到性质推导，构建概念体系| |性质应用|选择3-7、填空11/13|折叠对称、面积转化|结合图形变换，强化性质在计算中的应用| |综合探究|解答19-24|全等判定(SAS/ASA)、辅助线构造|从单一性质到多知识点综合，形成问题解决链|

数学八年级(上册)单元评价(十九) 专题训练二 特殊三角形 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 选择题 1. 1.以下列长度的各组线段为边作三角形,不能构成直角三角形的是(　　) A.3,4,5 B.4,5,6 C.1,√3,2 D.1,2,√5 2. 2.在直角三角形中,若两条直角边长分别为3 cm和4 cm,则斜边上的中线长为(　　) A.3/2 cm B.2 cm C.5/2 cm D.3 cm 3. 3.如图,点E在正方形ABCD内,且满足∠AEB=90°,若AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　　) A.48 B.60 C.76 D.80 4. 4.如图,在2×4的正方形网格中,若每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,则点A到BC的距离为(　　) A.√2 B.√8 C.4/√10 D.2/√10 5. 5.如图,△ABC与△ADE的顶点A重合,点D,E分别在边BC,AC上,且AB=AC,AD=DE,若∠B=∠ADE=40°,则∠EDC的度数为(　　) A.20° B.30° C.40° D.50° 6. 6.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=18,将∠A沿DE折叠,使点A与点B重合,折痕分别交AB和AC于点D,E,若EC=5,则BC的长为(　　) A.9 B.12 C.15 D.18 7. 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AC边上,且AD=BD,M是BD的中点,若AC=8,BC=4,则CM等于(　　) A.5/2 B.3 C.4 D.5 8. 8.如图,AD是△ABC的高,以点B为圆心,适当长为半径画弧交AB于点M,交BC于点N;分别以M,N为圆心,以大于½MN的长为半径画弧交于点P;作射线BP交AD于点E。若∠ABC=45°,AB⊥AC,DE=1,则CD的长为(　　) A.√2 B.√2+1 C.√3 D.√2−1 9. 9.如图,在△ABC中,小聪按照以下步骤进行作图: ①在AB和BC上分别截取BM和BN,使BM=BN,分别以M,N为圆心,大于½MN的长为半径作弧,两弧交于点O,作射线BO交AC于点D; ②分别以点C和点D为圆心,大于½CD的长为半径作弧,两弧相交于点P和点Q,作直线PQ分别交AC,BC于点E和点F。 根据以上作图,若∠A=54°,∠C=18°,AD=4,BC=10,则CF的长为(　　) A.4 B.21/5 C.23/5 D.5 10. 10.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,AB上的点且满足CD=BE。连结AD,CE交于点F,连结BF。若已知线段AF的长度,则可求出(　　) A.△ABC的面积 B.△ACF的面积 C.△AEF的面积 D.△ABF的面积 填空题 11. 11.如图,要为一段高为5 m,水平长为13 m的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要______m长。 12. 12.写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题:________________。 13. 13.如图,在平面直角坐标系中,长方形AOBC的边OB,OA分别在x轴,y轴上,点D在边BC上,将该长方形沿AD折叠,点C恰好落在边OB上的E处。若点A(0,8),点B(10,0),则点D的坐标是______。 14. 14.如图,在等腰直角三角形ABC中,已知∠ACB=90°,AC=2。在斜边AB上取点E,使得AE=BC,连结CE,将△BCE沿着直线CE翻折,得到△CDE,点D与点B对应,CD交AB于点F,则四边形ACED的面积为______。 15. 15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”。当AC=8,BC=4时,阴影部分的面积为______。 16. 16.如图,已知∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点D,E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连结EF,BF,则下列结论:①△AED≌△AEF;②△AED为等腰三角形;③BE+DC>DE;④BE²+DC²=DE²。其中正确的是______(填序号)。 解答题 17. 17.(8分)如图,已知△ABC,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等。 (1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹)。 (2)连结AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数。 18. 18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A(−2,4),B(−4,1),C(−1,2)。 (1)在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁,并写出点A₁,B₁,C₁的坐标。 (2)请在x轴上画出点P的位置,使得PB+PC最短,并直接写出点P的坐标。 19. 19.(8分)如图,已知△ABC,△ADE都是等腰直角三角形,连结BD,CE。 (1)求证:△BAD≌△CAE。 (2)若延长BD交CE于点F,试判断BF与CE的位置关系,并说明理由。 20. 20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E,F分别是BC,AC的中点。 (1)求证:DF⊥DE。 (2)若AC=8,BC=6,求EF的长。 21. 21.(8分)如图,在△ABC中,∠A=60°,BE,CF交于点P,且分别平分∠ABC,∠ACB。 (1)求∠BPC的度数。 (2)连结EF,求证:△EFP是等腰三角形。 22. 22.(10分)如图,已知在△ABC中,AD是△ABC的高,作∠DCE=∠ACD,交AD的延长线于点E,点F是点C关于直线AE的对称点,连结AF。 (1)求证:CE=AF。 (2)若CD=1,AD=√3,且∠B=20°,求∠BAF的度数。 23. 23.(10分)如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D在线段BD的两侧作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x。 (1)用含x的代数式表示AC+CE的值。 (2)探究:当点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?最小值是多少? (3)根据(2)中的结论,请构造图形并求代数式√(x²+4)+√((12−x)²+9)的最小值。 24. 24.(12分)如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=20,BC=15,D为AC边上的动点,点D从点A出发,沿AC往C运动,当运动到点C时停止。若设点D运动的时间为t s,点D的运动速度为每秒1个单位长度。 (1)当t=5时,则CD=______。 (2)当t=______时,△ABD是直角三角形。 (3)当t为何值时,△CBD是等腰三角形?并说明理由。 参 考 答 案 选择题 1. B 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. B 解析:如图,连结DF。因为∠A=54°,∠C=18°,所以∠ABC=180°−∠A−∠C=108°。 由作法得BD平分∠ABC,PQ垂直平分CD,所以∠ABD=∠CBD=54°,CF=DF, 所以∠A=∠ABD=54°,所以BD=AD=4。 因为CF=DF,所以∠C=∠CDF=18°,所以∠DFB=∠C+∠CDF=36°, 所以∠BDF=180°−∠DFB−∠CBD=90°。 设CF=DF=x,则BF=BC−CF=10−x,则BF²=BD²+DF²,即(10−x)²=16+x²,解得x=21/5。故选B。 10. D 解析:如图,以AF为边,在AF的上方作等边三角形AFP,连结PC,则AP=AF,∠FAP=∠AFP=∠APF=60°, 所以∠BAF=60°−∠FAC=∠CAP,又在等边三角形ABC中,AB=AC,所以△ABF≌△ACP(SAS),所以S△ABF=S△ACP。 因为在等边三角形ABC中,AB=BC=AC,BE=CD,∠ABC=∠ACB=60°,所以△BCE≌△CAD,所以∠CAD=∠BCE, 所以∠CAF+∠ACF=∠BCE+∠ACF=60°,所以∠AFC=120°,所以∠PFC=∠AFC−∠AFP=60°,所以∠PFC=∠APF,所以AP∥FC,所以S△ACP=S△AFP。 过点P作AF的垂线段,交AF于点Q,所以AQ=FQ=½AF,所以PQ=√(AF²−(½AF)²)=√(3/4)AF, 所以S△ABF=S△ACP=S△AFP=½AF·PQ=½√(3/4)AF²,综上,已知线段AF的长度,则可求出△ABF的面积,故选D。 填空题 11. 18 12. 一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形 13. (10,3) 14. 2 15. 16 解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以AB=√(AC²+BC²)=√(8²+4²)=√80。 以AC为直径的半圆形的面积=π×4²/2=8π,以BC为直径的半圆形的面积=π×2²/2=2π,以AB为直径的半圆形的面积=π×(√80/2)²/2=10π, S△ABC=½AC·BC=½×8×4=16,所以S阴影=8π+2π+16−10π=16。故答案为16。 16. ①③④ 解析:因为∠DAF=90°,∠DAE=45°,所以∠FAE=45°=∠DAE。 在△AED与△AEF中,AE=AE,∠EAD=∠EAF,AD=AF,所以△AED≌△AEF(SAS),故①正确; 没有条件能证出△AED为等腰三角形,故②不一定正确; 因为∠BAC=∠DAF=90°,所以∠BAF=∠DAC。 在△ABF与△ACD中,AB=AC,∠FAB=∠DAC,AF=AD,所以△ABF≌△ACD(SAS),所以BF=CD。 因为△AED≌△AEF,所以DE=EF。因为BE+BF>EF,而BF=CD,所以BE+DC>DE,故③正确; 易知∠EBF=90°,所以BE²+BF²=EF²,即BE²+DC²=DE²,故④正确。 综上所述,①③④正确。故答案为①③④。 解答题 17. 解:(1)如图,点D即为所作。 (2)如图,因为△ABC中,∠C=90°,∠B=37°,所以∠BAC=53°。 因为AD=BD,所以∠B=∠BAD=37°, 所以∠CAD=∠BAC−∠BAD=16°。 18. 解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所作,A₁(2,4),B₁(4,1),C₁(1,2)。 (2)如图,作出点C关于x轴对称的点C₂,连结BC₂交x轴于点P,连结PC,此时PB+PC最短,点P的坐标为(−3,0)。 19. (1)证明:因为△ABC,△ADE都是等腰直角三角形,所以AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE, 所以∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即∠BAD=∠CAE。 在△BAD和△CAE中,因为AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以△BAD≌△CAE(SAS)。 (2)解:BF⊥CE。理由如下: 如图,设AC与BF交于点G。 因为△BAD≌△CAE,所以∠ABD=∠ACE。 因为∠AGB=∠CGF,所以∠BFC=∠BAC=90°,所以BF⊥CE。 20. (1)证明:因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠CDB=90°。 因为E,F分别是BC,AC的中点,所以DF=AF,DE=BE, 所以∠A=∠ADF,∠EDB=∠B。因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°, 所以∠FDA+∠EDB=90°,所以∠EDF=90°,即DF⊥DE。 (2)解:因为AC=8,BC=6,所以DF=4,DE=3,所以EF=√(DE²+DF²)=5。 21. (1)解:因为∠A=60°,所以∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°。 因为BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,所以∠ABE=∠CBE=½∠ABC,∠BCF=∠ACF=½∠ACB, 所以∠CBE+∠BCF=½∠ABC+½∠ACB=½×120°=60°, 所以∠BPC=180°−(∠CBE+∠BCF)=180°−60°=120°。 (2)证明:如图,在BC上截取BQ=BF,连结PQ。 在△FBP和△QBP中,BP=BP,∠FBP=∠QBP,BF=BQ, 所以△FBP≌△QBP(SAS),所以FP=QP,∠BPF=∠BPQ。 因为∠BPC=120°,所以∠BPF=∠CPE=∠BPQ=60°,所以∠CPQ=60°,所以∠CPE=∠CPQ。 在△CQP和△CEP中,∠QCP=∠ECP,CP=CP,∠CPQ=∠CPE, 所以△CQP≌△CEP(ASA),所以EP=QP,所以FP=EP,所以△EFP是等腰三角形。 22. (1)证明:因为AD是△ABC的高,所以∠ADC=∠EDC=90°。 又因为∠ACD=∠DCE,CD=CD,所以△ACD≌△ECD,所以AC=CE。 又因为点F是点C关于直线AE的对称点,所以AF=AC,所以CE=AF。 (2)解:在Rt△ACD中,CD=1,AD=√3,根据勾股定理得AC=√(AD²+CD²)=2, 所以CD=½AC,所以∠DAC=30°,所以∠DAF=30°。 在Rt△ABD中,∠B=20°,所以∠BAF=90°−∠B−∠DAF=40°。 23. 解:(1)AC+CE=√((8−x)²+25)+√(x²+1)。 (2)当A,C,E三点共线时,AC+CE的值最小。 当A,C,E三点共线时,如图1,过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F, 所以DF=AB=5,所以AE=√(8²+(5+1)²)=10,所以AC+CE的最小值为10。 (3)如图2,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,设BC=x,连结AE交BD于点C, AE的长即为代数式√(x²+4)+√((12−x)²+9)的最小值。 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,则AB=DF=2,AF=BD=12, 所以AE=√(12²+(3+2)²)=13,即√(x²+4)+√((12−x)²+9)的最小值为13。 24. 解:(1)因为∠ABC=90°,AB=20,BC=15,所以AC=√(AB²+BC²)=√(20²+15²)=25。 当t=5时,AD=5×1=5,所以CD=AC−AD=25−5=20。故答案为20。 (2)①当∠ADB=90°时,S△ABC=½AC·BD=½AB·BC,即½×25·BD=½×20×15,解得BD=12, 所以AD=√(AB²−BD²)=√(20²−12²)=16,所以t=16÷1=16(s); ②当∠ABD=90°时,点D和点C重合,t=25÷1=25(s)。 综上所述,t=16或25。故答案为16或25。 (3)①当CD=BD时,如图1, 因为CD=BD,所以∠BCD=∠DBC。 因为∠ABC=90°,所以∠A=∠ABD, 所以AD=BD,所以AD=CD, 所以AD=½AC=½×25=12.5,所以t=12.5÷1=12.5; ②当CD=BC=15时,AD=10,t=10÷1=10; ③当BD=BC时,如图2,过点B作BF⊥AC于点F,由(2)可知BF=12, 则CF=9,所以CD=2CF=9×2=18,所以AD=25−18=7,所以t=7÷1=7。 综上所述,t=12.5或10或7时,△CBD是等腰三角形。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $